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数理科学特論 B2 §3 スカラー場の勾配 演習問題
スカラーを表す文字 (A, B, C, . . . ) とベクトルをあらわす文字 (A, B, C, . . . ) を必
ず使い分けること. また, スカラー倍 kA, 内積 A · B, 外積 A × B の記号も使い分け
ること. 混同して使用した場合は不正解とする.
課題 次の問題を解き, 裏面の解答を見て答え合わせをし, 誤りがあれば訂正せよ.
問題 1. φ = 3x2 y − y 3 z 2 とするとき gradφ を求めよ.
問題 2. φ = x2 yz + 4xz 3 とするとき, P (1, −2, 1) における ∇φ の値を求めよ.
問題 3. φ = cos(xy) + xeyz とするとき ∇φ を求めよ.
問題 4. φ = exy − log(y + 2z) とするとき ∇φ を求めよ.
y
問題 5. φ = x2 z + e x , ψ = 2yz 2 − xy 2 とするとき ∇φ, ∇ψ, ∇(φψ) の P (1, 0, −2)
における値を求めよ.
問題 6. r = (x, y, z), r = |r| とするとき ∇r3 を r, r を用いて表わせ.
(
√
6 )
問題 7. ∇ 3r2 − 4 r + √
を r, r を用いて表わせ.
3
r
問題 8. ∇(r2 e−r ) を r, r を用いて表わせ.
問題 9. スカラー場
φ = x2 yz + 4xz 3 の点 P (1, −2, 1) における単位ベクトル e =
(
)
( ∂φ )
2
1
2
, − , −
の方向への方向微分係数
を求めよ.
3
3
3
∂e P
√
問題(10. スカラー場
φ = xy 2 − y 2 + z 2 の点 P (2, −4, 3) における単位ベクトル
)
( ∂φ )
2 2 1
e=
, ,
の方向への方向微分係数
を求めよ.
3 3 3
∂e P
問題 11. 曲面 x2 y + 2xz = 4 の上の点 P (2, −2, 3) における単位法ベクトル n[すな
わち曲面に垂直で長さ 1 のベクトル] を求めよ.
追加課題 答案は添削して次回返却する1.
問題 12. 次の等式を証明せよ:
(φ)
1
∇
= 2 (ψ∇φ − φ∇ψ)
ψ
ψ
問題 13. 2 変数関数 f (u, v) とスカラー場 u(x, y, z), v(x, y, z) について次が成り立つ
ことを証明せよ:
∂f
∂f
∇f (u, v) =
∇u +
∇v
∂u
∂v
問題 14. 質問があれば具体的に述べよ.
1解答例の公開
(約 2 週間) → http://www.lab2.toho-u.ac.jp/sci/c/math/noda/
解 1.
(
gradφ =
∂φ ∂φ ∂φ
,
,
∂x ∂y ∂z
)
= (6xy, 3x2 − 3y 2 z 2 , −2y 3 z)
解 2. ∇φ = (2xyz + 4z 3 , x2 z, x2 y + 12xz 2 ) より, P (1, −2, 1) における値は
(∇φ)P = (0, 1, 10)
解 3. ∇φ = (eyz − y sin(xy), xzeyz − x sin(xy), xyeyz )
(
)
1
2
xy
xy
解 4. ∇φ = ye , xe −
, −
y + 2z
y + 2z
)
(
y y 1 y
解 5. ∇φ = 2xz − 2 e x , e x , x2 より (∇φ)P = (−4, 1, 1),
x
x
2
2
∇ψ = (−y
( , 2z) − 2xy, 4yz) より (∇ψ)P = (0, 8, 0). また φ(P ) = −1, ψ(P ) = 0
なので ∇(φψ)
P
= ψ(P )(∇φ)P + φ(P )(∇ψ)P = (0, −8, 0).
解 6.
∇r3 =
d 3
r
(r )∇r = 3r2 = 3rr
dr
r
解 7.
(
(
√
6 )
6 )
d( 2 √
1
2 )r
2
4
4
3r − r + √
∇ 3r − r + √
=
∇r = 6r − √
− √
4
3
3
dr
r
r
4 r3 r 3 r r
(
1
2 )
= 6− √
− √ r.
4
4r r3 r2 3 r
解 8.
d 2 −r
r
(r e )∇r = (2r − r2 )e−r = (2 − r)e−r r
dr
r
3
2
2
2
解 9. ∇φ = (2xyz + 4z , x z, x y + 12xz
( ) より, P (1,
) −2, 1) における値は
( ∂φ )
2
1
2
(∇φ)P = (0, 1, 10). ゆえに
, − , −
· (0, 1, 10) = −7.
=
∂e P
3
3
3
(
)
y
z
解 10. ∇φ = y 2 , 2xy − √
, −√
より, P (2, −4, 3) における値は
y2 + z2
y2 + z2
(
(
)
) (
)
( ∂φ )
3
2 2 1
3
76
76
1
=
, ,
(∇φ)P = 16, − , − . ゆえに
· 16, − , −
= .
5
5
∂e P
3 3 3
5
5
3
∇(r2 e−r ) =
解 11. 問題の曲面はスカラー場 φ = x2 y + 2xz の等位面 φ = 4 なので, ∇φ に垂
2
直. ∇φ = (2xy +
( 2z, x , 2x)
) であるから P での値は (∇φ)P = (−2, 4, 4). よって
(∇φ)P
1 2 2
n=
= − , ,
.
|(∇φ)P |
3 3 3
)
(
[−n = 13 , − 23 , − 23 でもよい.]