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データ解析
第5回
確率分布２ - 連続確率分布
H26年11月6日
全 眞嬉
1
連続確率変数

連続型確率変数（continuous probability variable ）
◦ 実現値が連続した値(任意の実数値) をとる確率変数。連続
型確率変数の分布を連続型確率分布という。

確率密度関数(probability density function)
◦ 確率を分配する規則を表す連続曲線。単に密度関数とも呼
ばれる。
f ( x)
X
2
確率密度関数
(probability density function)
累積分布関数が連続で微分可能なとき, その
導関数を確率密度関数と言う
 連続型確率変数Xが開空間(a,b)に入る確率は、
この区間での確率密度関数とX軸との間の
面積で表される
b
P(a < X < b) = ∫ f ( x)dx

a
f ( x)
a　b
X
3
確率密度関数の性質
b
f ( x) ≥ 0, ∫ f ( x)dx = 1
a
Xが期待値aをとる確率はX = aという線分の面積
a
P( x = a) = P(a ≤ X ≤ a) = ∫ f ( x)dx = 0
a
となる。このことから
P ( a ≤ X ≤ b) = P ( a < X ≤ b)
= P ( a ≤ X < b)
= P ( a < X < b)
が成立する。
4
正規分布(Normal Distribution)
平均値の付近に集積するようなデータの
分布を表した連続的な変数に関する確率
分布
 統計学で最も多用される分布
 自然現象や社会現象の多くの確率現象を
説明するために利用される

5
正規分布(Normal Distribution)

次の確率密度関数に従う確率分布を正規分
布と言う
( x− µ ) 2
−
2σ 2
1
f ( x) =
e
µ − σ　µ　µ + σ
2π σ
この分布に従う確率変数Xの平均値はµ ,
分散はσ 2となる

2
µ
σ
正規分布は平均値 と分散
によって決
2
(
,
) と表記する
N
µ
σ
まり、
6
正規分布の確率密度関数
確率密度関数f(x)のグラフの形は分散
σ 2 の値だけで決まる
 平均値 µ は頂点の横軸を決める

N (0,0.52 )
N (0,12 )
N (0,2 2 )
7
正規分布

正規分布とは
N (0,0.52 )
◦ ある標本集団のばらつきが、その平均値を
境として前後同じ程度にばらついている状
態を示す
◦ 表した分布図で見ると、平均値を線対称軸
とした左右対称の釣鐘型でなだらかな曲線
を描く
◦ つまり、平均値の周辺にサンプルが多く集
まり、値が大小の左右の裾野に向かうとサ
ンプル数が急激に減る
8
正規分布関数

正規分布の分布関数は次のようになる
F ( x) = P( X ≤ x)
∞
∞
−∞
−∞
= ∫ f (t )dt = ∫

1　e
2π σ
−
(t − µ )2
2σ 2
dt
積分値を解析的に求めることはできないの
で，正規分布表を用いて確率を求める
平均値はµ , 分散はσ 2の正規分布をN ( µ , σ 2 )と表す
確率変数Xが正規分布N ( µ , σ 2 )に従うことを
X ~ N ( µ , σ 2 )と書く
9
正規曲線

正規分布の確率密度関
数をグラフで表すと次
の様になる。これを正
規曲線と呼ぶ。
,σ 2 )
N ( µ　
正規曲線の特徴
正規曲線は正の値をと
り、正規曲線の下側の
面積は１
 正規曲線は平均 x = µ　に関して左右対称


正規曲線の平均、メ
ディアン、モードはす
べて等しくµ　となる
µ − 2σ　µ − σ　µ　µ + σ　µ + 2σ
10
パーセント点

上側100p％点と両側100p％点
◦ 確率密度関数の上側又は両側の確率がpに
なる時の確率変数Xの値xのこと
◦ パーセント点と呼ばれる

数式
上側100 p％点：P ( X ≥ x) = p
p
両側100 p %点：P ( X ≥ x) =
2
11
パーセント点
確率密度関数のグラフ
確率p
上側100 p %点のx
確率
p
2
確率
p
2
両側100 p %点のx
12
正規分布の両側5％点、両側1％点

,σ 2 )
推定や検定で利用される正規分布 N ( µ　のパーセント点
N ( µ　,σ 2 )
合計確率
0.05
µ − 1.96σ　µ − σ　µ　µ + σ　µ + 1.96σ
N ( µ　,σ 2 )
合計確率
0.01
µ − 2σ　µ − σ　µ　µ + σ　µ + 2σ　µ − 2.58σ　µ + 2.58σ
P ( µ − 1.96σ ≤ X ≤ µ + 1.96σ ) = 0.95 P( µ − 2.58σ ≤ X ≤ µ + 2.58σ ) = 0.99
13
正規分布の上側5％点、上側1％点

,σ 2 )
推定や検定で利用される正規分布 N ( µ　のパーセント点
N ( µ　,σ 2 )
確率
0.05
µ − σ　µ　µ + σ　µ + 1.64σ
P( X ≤ µ + 1.64σ ) = 0.95
N ( µ　,σ 2 )
確率
0.01
µ − 2σ　µ − σ　µ　µ + σ　µ + 2σ　µ + 2.33σ
P( X ≤ µ + 2.33σ ) = 0.99
14
標準正規分布
(Standard Normal Distribution)
2
平均値が０、分散が1の正規分布 N (0,1 )
 次の確率密度関数に従う確率分布を標準正
規分布と言う

x2
−
2
1
f ( x) =
e
2π
この分布に従う確率変数Xの平均値は0,
分散は12となる
15
正規分布における標準化
= E[ X ] を引き、標準偏差
確率変数Xから期待値 µ　σ = σ ( X ) で割った変数ｚを確率変数Xの標準化された
変数と言う
X −µ

Z=

σ
標準化を行うことによって、任意の正規分布
を標準正規分布に変換できる。
N ( µ , σ 2 ) とすると X ~ N ( µ , σ 2 )
Z=
X −µ
σ
とおけば、確率変数Zは E[ Z ] = 0,V [ Z ] = 1
16
正規分布における標準化
確率変数うXが正規分布N ( µ , σ 2 )に従う時
X −µ
これを標準化を行う　Z =
σ
この標準化された分布は標準分布N(0,12 )になる
N (0,12 )
N (µ ,σ 2 )
標準
17
正規分布表
N (0,12 )
N (0,12 )
P ( Z > zα ) = α
0　zα
18
標準正規分布表
N (0,12 )
P( Z > 1.96) = 0.025
0.025
0　1.96
19
標準正規分布の両側5％点、両側1％点
N (0 ,1 )
,12 )
N (0 2
合計確率
0.05
− 1.96 0 1.96
合計確率
0.01
− 2.58　0 2.58
20
標準正規分布の上側5％点、上側1％点
,12 )
N (0 ,12 )
N (0 確率
0.05
1.65
確率
0.01
2.33
21
t分布(t Distribution)

小さな標本を使っての母平均の推定に使う
分布
◦ 母平均を推定した時には、母集団の分散が分
かっていない

次の確率密度関数に従う確率分布を自由度
ｎのｔ分布という
2 − n+1
x 2
f ( x) = k (1 + ) （kは定数）
n
この分布に従う確率変数Xの平均値µ , 分散σ 2
n
2
µ = 0, σ =
n−2
22
t分布
t分布は自由度nの値だけで決まる
 グラフは正規分布に似た釣鐘型
 自由度nを大きくするとt分布は標準正
規分布に近づく

自由度＝５
,1 )
N (0 2
t分布
自由度＝10
,12 )
N (0 t分布
23
t分布表
自由度nが１０のとき
両側５％点は2.229
24
ｔ分布の確率密度関数
自由度1
自由度2
自由度3
自由度∞
25
χ 分布
2
母集団から標本を抽出しそれから不偏分散
を求める
 この不偏分散に関する分布
 母集団の分散を探る重要な役割
 次の確率密度関数に従う確率分布を自由度
2
χ
ｎの
分布と言う

f ( x) = kx
n
x
−1 −
2
2
e
この分布に従う確率変数Xの平均値µ , 分散σ 2
µ = n, σ 2 = 2 n
26
χ 分布の確率密度関数
2
自由度1
自由度2
自由度3
自由度4
自由度5
27
χ 分布表
2
28
エクセルの関数
分布名
Excel 関数名
説明
正規分布
NORMDIST
正規分布の累積分布関数
正規分布の％点逆引
NORMINV
標準正規分布
NORMDIST の「逆関数」
NORMSDIST 標準正規分布の累積分布関数
NORMSDIST の「逆関数」
標準正規分布の％点逆引
NORMSINV
カイ２乗分布
CHIDIST
カイ２乗分布の上側確率
カイ２乗分布の％点逆引
CHIINV
CHIDIST の「逆関数」
F分布
ＦDIST
Ｆ分布の上側確率
Ｆ分布の％点逆引
ＦINV
ＦDISTの「逆関数」
t 分布
TDIST
t 分布の片側・両側尾部確率(x 以上・± x
以遠)
t 分布の％点逆引
TINV
TDIST の「逆関数」
29