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工業力学 (B コース) 中間テスト
茨城大学 工学部 知能システム工学科
解答例・解説
井上 康介
2014/12/11 17:35∼19:05 実施
全体的なでき
いった書き方について．そもそも力はベクトルなの
平均点は 66.4 点．かなり危機的な状況．ヒストグラム
は以下のとおり．
で，R2 と書かなくてはいけないし，要素は 2 つある
のだから「R2 = (R2x , R2y )T とする」あるいは「ジョ
イントから受ける反力の大きさを R2 とし，その角度
を x 軸から反時計回りに θ2 とする」などと規定しな
ければならない．記述の厳密性について，無頓着す
ぎる．
各設問について
1. (44 点) 以下の文章の空欄に入る言葉・数式を記せ．
‫ع‬
‫ع‬
‫ع‬
‫ع‬
‫ع‬
‫ع‬
‫ع‬
‫ع‬
‫ع‬
‫ع‬
‫ع‬
‫ع‬
‫ع‬
‫ع‬
‫ع‬
‫ع‬
‫ع‬
‫ع‬
‫ع‬
‫ع‬
• 力のはたらく点を ( 1：着力点 )，この点を通り
力の方向に伸ばした直線を ( 2：作用線 ) という．
• 複数の力が同時に作用している時，これらの力
各設問の平均点は以下のとおり．必ず出すと宣言してお
が作用しているのと同じ効果を持つ単一の力を
いた問題 4 の正答率が半分しかなく，問題 3 の正答率も異
( 3：合力 ) という．xy 平面上に作用する力を x
軸方向および y 軸方向に分解した時，それぞれの
分力を ( 4：直角分力 ) という．
常に低い．
配点
平均点
最高点
最低点
平均得点率
1
2
3
4
全体
44
37.2
44
23
84.6%
20
12.8
20
0
63.9%
18
7.2
17
0
40.1%
18
9.1
18
0
50.8%
100
66.4
97
33
66.4%
全体的な注意
• 全体的に，図をきちんと描くとか，式を綺麗に書くと
いうことができない学生が目立つ．汚く書くことは，
• 物体を並進運動させる作用を「力」と呼ぶ一方で，
物体を回転運動させる作用は ( 5：力のモーメン
ト ) と呼ばれる．物体上の一点に力 F を作用さ
せたとするとき，この力の (2：作用線) と，物体
上の回転軸との距離が x であるとすると，回転軸
まわりの (5：力のモーメント) の大きさは ( 6：
F x ) であり，その値の正負は，回転作用の方向
が時計回りの時 ( 7：負 ) となる．
• 物体どうしを拘束する支点はにはいくつかの種類
があり，一定方向への移動と回転が可能な支点は
他の人に対する読みやすさというだけでなく，自分自
( 8：移動支点 ) と呼ばれ，移動は不可能で回転
身のミスにもつながる．
のみが可能な支点は ( 9：回転支点 ) と呼ばれる．
• 変数を定義するなどにおいて，どちらをプラスとし
て定義したかが厳密ではないことが非常に多い．例
えば問題 2 で「ジョイントにおいて受ける反力を
• 内部構造を有する物体の簡単なモデルとして，
( 10：部材 (メンバ) ) と呼ばれる棒状の要素が，
節点と呼ばれる回転自由なピンで結合されたモデ
ルを ( 11：トラス ) と呼ぶ．(10：部材) にかかっ
R2 = (R2x , R2y )T とする」としたときに，平気で
ている負荷を解析する方法の一つとして，(11：
R2x を左を正として定義していたりする．xy 座標系
トラス) 全体を仮想的に切断し，切断面の片側の
をとるなら，右が正でなくてはならない．これを場当
部分を一つの剛体とみなしてそのつりあい条件か
たり的にランダムに決めてしまうと，計算途中で自分
ら (10：部材) の負荷を導出する方法を ( 12：切
が取り違えることとなる．
断法 ) という．
• 例えば「ジョイントから受ける反力を R2 とする．」と
• 物体に作用する重力の (2：作用線) は，物体をど
のように傾けても必ず物体上の一定点を通る．こ
の点を物体の ( 13：重心 ) という．物体上の微小
部位の質量が dm，位置が x であるとき，
(13：重
心) は積分の計算を用いて ( 14： x dm
dm )
のように求まる．また，物体 1 の質量と (13：重
心) の位置が m1 ，x1 ，物体 2 の質量と (13：重
心) の位置が m2 ，x2 であるとき，これらを結合
した物体の (13：重心) の位置は ( 15：(m1 x1 +
m2 x2 ) (m1 + m2 ) ) のように計算される．
• xy 平面上に長さ L の曲線があり，この曲線の
(13：重心) の座標が (xG ，yG )T であるとき，こ
の曲線を y 軸のまわりに 1 回転させてできる回
転体の表面積は ( 16：2πxG L ) のように計算で
きる．
• 物体の並進運動の基本式である Newton の運動
方程式は f = ma と表され，ここで質量 m は
「物体が現在の速度を維持しようとする傾向の大
きさ」つまり並進運動に関する慣性を表してい
る．一方，回転運動に関する慣性，すなわち「現
在の角速度を維持しようとする傾向の大きさ」は
( 17：慣性モーメント ) と呼ばれる．物体上の微
小部位を考え，微小部位と回転軸との距離を r ，
微小部位の質量を dm とすると，(17：慣性モー
メント) は積分の計算を用いて ( 18： r 2 dm )
のように計算できる．こうして求めた (17：慣性
モーメント) を I とし，作用しているトルクを
N ，物体の角加速度を ω˙ とすると，回転運動の
基本式は ( 19：N = I ω˙ ) のように記述できる．
この式を ( 20：角運動方程式 (Euler の運動方程
式) ) と呼ぶ．
• 平面板上に直交する xy 座標軸をとり，これに直
交する z 軸を考える．x 軸および y 軸まわりの平
面板の (17：慣性モーメント) をそれぞれ Ix ，Iy
とするとき，z 軸まわりの (17：慣性モーメント)
は ( 21：Ix + Iy ) のように計算される．この性
質は ( 22：直交軸の定理 ) と呼ばれる．
配点・部分点
44 点：各 2 点．
(1) 作用点：OK．(3) 力の合成：1．(4) 垂直分力：1，
直交分力：1．(5) モーメント，トルク：OK．(6) F d：
1，(14) 未定義の m を分母に使っている：1，分母な
し：0．(16) 2πyG L：1．
でき具合・多かった間違い (14)，(22) の出来がかな
り悪かった．また，試験中に口頭で注意したが，ベク
トルとスカラーの書き方ができていない例があまりに
も多い．
.
2. Fig.1 に示すように，長さ 40 [cm]，質量 3 [kg] の細
RA
A
い棒の一端を回転自由なジョイントで固定し，他端を
3
2 l
なめらかで鉛直な壁面に立てかけたとする．壁面と棒
がなす角を 30 [deg] とするとき，棒が壁面及びジョイ
ントから受ける反力を求めよ．
RB
mg
l/4
30r
B
Fig.2
鉛直方向の力のつりあい式は以下のとおりである：
−30 + RBy = 0
Fig.1
(2.2)
棒の長さを l (= 0.4 [m]) とし，壁からの反力および
重力のモーメントアームを Fig.2 のとおり考慮する
と，点 B まわりの力のモーメントのつりあい式は以
考え方
剛体のつりあいの問題は，物体に作用している力およ
下のとおりである：
力のモーメントのつりあい式」の 3 つであり，未知数
√
3
l
− RA ·
l=0
(2.3)
30 ·
4
2
√
式 (2.3) より RA = 5 3 8.66 [N]，これを式 (2.1)
√
に代入して RBx = −5 3 −8.66 [N]，また式 (2.2)
より RBy = 30 [N] である．
3 つまでは求められる．
配点・部分点 20 点．鉛直・水平の力のつりあい式お
び力のモーメントをそれぞれ合計すると 0 になってい
るというつりあい条件を利用して解く．平面の問題で
は，力は水平・鉛直方向それぞれでつりあうため，利
用可能な条件式は「水平方向の力のつりあい式」
，
「鉛
直方向の力のつりあい式」および「任意の点まわりの
問題を解く際にまずやるべきことは，注目している物
よびモーメントのつりあい式：各 5 点．変数定義など
体に作用している力を全て列挙することである．こ
の問題設定部分と連立方程式をとく部分をあわせて 5
こでは，棒の重心 (中点) に鉛直下向きに作用する重
点．
力 3g = 30 [N] と，壁およびジョイントから受ける
反力である．壁からの反力は，
「なめらか」とあるた
め摩擦を無視できるので，水平右方向である．ジョイ
ントは回転支点であるため，ジョイントから受ける反
力は水平・鉛直方向の 2 成分を持ちうる．これを変数
化し，3 つのつりあい式を立てて連立させて解けば良
い．力のモーメントのつりあい式は任意の点まわりで
立てて良いため，計算が簡単となるジョイントまわり
で立てるのが良い．
解答例
Fig.2 のように，壁との接触点を点 A，ジョイント
を点 B とする．点 A において壁面から棒が受ける
反力は摩擦を無視できるため水平であり，これを
RA = (RA , 0)T とし，点 B においてジョイントから
棒が受ける反力を RB = (RBx , RBy )T とする．重力
は棒の中点において鉛直下方向に 3g = 30 [N] の大き
さで作用している．
水平方向の力のつりあい式は以下のとおりである：
RA + RBx = 0
(2.1)
• 壁との節点での反力の方向の間違い：−3
• 各力の方向や向きについて言及不足：−1∼ − 2
• ジョイントでの反力の方向を既知としている：
−2
• l = 40 としている (0.4 とすべき)：−1
√
• 5 3 = 8.66 の小数点以下第 2 位の値がおかし
い：OK
• それ以前の間違いの結果，方程式を解く部分にお
いて 3 元 1 次連立方程式ではなく 2 元連立方程
式を解いたのみ：−1
多かった間違い
図などを用いて，各力をどのように
定義したかをきちんと示すことができていない解答
がかなり多い．また，ジョイントでの反力の水平成分
を，左右どちらを正として定義したかが混乱している
例も多い．
y [m]
3. Fig.3 に示すように，1∼2 階部分がくぼんだ感じのオ
シャレな 10 階建てビルを建てたい．このビルの地上
部分が安定のすわりとなるためには，1，2 階部分の
長さ l [m] はどのような範囲になければならないか．
40
x1
ただし，ビルの内部構造等は考えず，ビルを均一な密
度を持つ物体と見なす．
※ 当然「ギリギリ安定ですけど？」みたいな建物は法
10
令上許されないが，そんなことはここでは考えない．
m]
0[
2
x2
20 [m]
O
x [m]
A
l
20
Fig.4
30 [m]
40 [m]
ビルが転倒する際の回転軸は Fig.4 上の点 A を通り
z 軸に平行な直線であることから，安定のすわりとな
るための条件は，ビルの重心が点 A よりも左にある
こと，すなわち xG < l である．よって，
5l2 + 6000
<l
10l + 600
l [m]
より
Fig.3
l2 + 120l − 1200 > 0.
これを解くと，
考え方
1∼2 階部分をくぼませていくときの転倒方向は図上
√
√
l < −60 − 40 3, l > −60 + 40 3.
右方向であり，このとき奥行き方向は関係しないた
め，正面方向から見た図形的考察だけをすれば良い．
一方，0 < l < 20 であるから，まとめるとビルが安定
転倒時の回転中心は Fig.4 の点 A となることは明ら
のすわりとなる条件は
全体の重心 (図心) を求めるには，Fig.4 のようにビル
√
−60 + 40 3 < l < 20
√
となり，l は −60 + 40 3 9.28 [m] より大でなけれ
を 2 つの長方形の結合体と見なし，それぞれの重心
ばならない．
かであり，転倒するかどうかの条件はビル地上部分の
重心が点 A よりも左にあるか否かとなる．
(図心) と面積を求めて，結合体の重心の式を用いる
か，もしくは高さ 40，幅 20 の長方形から，高さ 10，
幅 20 − l の長方形をくりぬく式を用いれば良い．
解答例
Fig.4 のビルの正面図に示すとおり，ビルを高さ 10∼
40 [m] 部分の直方体と高さ 10 [m] までの直方体の 2
つの部分の結合体と見なし，上部を物体 1，下部を物
体 2 とする．
物体 1 の正面図上の図心を x1 ，正面図上の面積を A1
とすると，x1 = (10, 25)T , A1 = 20 · 30 = 600．
物体 2 の正面図上の図心を x2 ，正面図上の面積を A2
とすると，x2 = (l/2, 5)T , A2 = 10l．
以上から，ビル全体の正面図上の図心の x 座標を xG
とすると，(A1 + A2 )xG = A1 x1 + A2 x2 より
xG =
5l2 + 6000
.
10l + 600
配点・部分点
18 点．2 つのパーツの重心：各 5 点，
全体の重心：5 点，その他：3 点．
• 上部の重心を求め，これが l より左ならよいと
した：5
• 安定な範囲ではなく中立のすわりのときの l を求
めた：−2
400
4. Fig.5 に示すように，質量 100 [kg]，直径 1 [m] の均
一な円柱を斜度 30 [deg] の斜面上に乗せ，円柱に巻
きつけたワイヤを斜面に沿って上方向に 400 [N] で引
[N
]
いたところ，円柱は滑ることなく斜面上方向に転がっ
1000 [N]
た．このときの円柱中心の加速度および円柱と斜面の
R
間に作用する摩擦力の大きさを求めよ．
F’
※ 質量 m [kg]，半径 r [m] の円柱の中心軸まわりの
慣性モーメントは I = mr2 /2 [kg m2 ] である．
400
[N
]
Fig.6
斜面上方向に大きさ a の加速度が作用するとし，円柱
の角加速度を反時計回りに ω˙ とする．また，円柱の
質量を m (= 100 [kg])，半径を r (= 0.5 [m])，ワイ
ヤ張力の大きさを F (= 400 [N]) と表記する．
以上の値を用いて，運動方程式は
F + F − 500 = ma,
Fig.5
(4.1)
角運動方程式は
(F − F )r =
考え方
mr2
ω˙
2
(4.2)
物体に作用している全ての力を列挙することから始め
と書ける．また，円柱と斜面の間に滑りが生じないこ
る．これにより物体が受ける力・力のモーメントが求
とから，
まったら，これらに基いて Newton-Euler 法を適用す
る．つまり，運動方程式・角運動方程式を立てて連立
させて解く．
a = rω˙
(4.3)
である．
ただし，未知数は加速度 a，角加速度 ω˙ ，摩擦力 F の
3 つとなり，これでは拘束条件が不足する．
足りないもう一つの拘束条件とは「滑らずに転がる」
式 (4.3) を式 (4.2) に代入し，
F − F =
ということである．斜面に沿って上方向に x 軸を取
るとき，物体が距離 x 進むには，物体は θ = x/r だけ
1
ma.
2
式 (4.1) と式 (4.4) を足して F を消去し，
回転する必要があり，x = rθ の式が立てられる．こ
の式を 2 階微分すると，a = r ω˙ となる．
なお，摩擦力は斜面に沿って作用するが，上向きか下
向きかがよくわからない場合でも，どちらかを正とし
て定義した時，逆向きなら値がマイナスになるだけな
ので問題はない．
解答例
Fig.6 に示すとおり，円柱が受ける力は重心において
鉛直下方向に作用する重力 1000 [N]，ワイヤ離脱点に
おいて斜面上方向に作用するワイヤ張力 400 [N]，斜
(4.4)
2F − 500 =
3
ma．
2
よって，
a=
2
(2F − 500) = 2 [m/s2 ].
3m
これを式 (4.4) に代入し，F = 300 [N]．
つまり加速度は斜面上方向に 2 [m/s2 ]，摩擦力は斜面
上方向に 300 [N] である．
配点・部分点 18 点．運動方程式・角運動方程式・す
面との接地点において斜面に垂直な方向に作用する垂
べらない条件式がそれぞれ 4 点．変数の設定等と方
直抗力 R，および斜面上方向に作用する摩擦力 F で
程式を解く部分が 6 点．
ある．
重力を斜面に沿った方向と斜面に垂直な方向に分解す
ると，斜面下方向の力 500 [N] と斜面に向かう方向の
√
力 500 3 [N] となる．
• 運動方程式や角運動方程式で，ワイヤ張力と摩擦
力の片方を忘れた：−2
• r = 1 とした：−1
• F の方向について定義していない：−2
多かった間違い
角運動方程式で，張力・摩擦力の片
方を忘れる例が異常に多い．
以上