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第１節 ベクトル
ベクトルの和、差、定数倍




２つの n 次元ベクトル x = 





x1

y1






 y 
x2 
, y =  2  に対し、和、差、定数倍を次で定
 .. 
.. 
 . 
. 



xn
yn
義する（ただし、λ は定数とする）。






x1 + y1
x1 − y1
λx1












 x2 + y2 
 x2 − y2 
 λx2 






x+y =
, x − y = 
 , λx =  .. 
..
..




 . 
.
.






xn + yn
xn − yn
λxn
ベクトルの和と差と定数倍は、次のように図示できる。
x+y
y
y
x
0
x−y
2x
x
0
x
0
注
ベクトルを矢印で表すとき，矢印の根元を始点，矢印の先端を終点と呼ぶ。
注
ベクトル＝力と解釈できる。このとき，矢印の方向＝力の向き，矢印の長さ＝力の大
きさである。
1




1
2
 


 


例 x =  2 , y =  −1  のとき、
 


3
0


1+2


x+y = 2−1

3+0


3
  
  
 =  1 ,
  
3

1−2


x−y = 2+1

3−0


−1

 

 

=
  3 ,
 

3


3
 
 
3x =  6 
 
9
線形結合
ベクトル a1 , a2 , · · · , aℓ と定数 k1 , k2 , · · · , kℓ に対し，
k1 a1 + k2 a2 + · · · + kℓ aℓ
をベクトル a1 , a2 , · · · , aℓ の線形結合という。
列ベクトルと行ベクトル
成分が縦に並んだベクトルを列ベクトルと呼び、成分が横に並んだベクトルを行ベク
トルと呼ぶ。列ベクトルを行ベクトルに、または、行ベクトルを列ベクトルに変形す
ることを転置と呼び、ベクトルの左肩に t を付けて表す。




3
2








t
t
例 x =  4 , y = (2, −5, 1) を転置すると x = (3, 4, −2), y =  −5  となる。




−2
1
2
内積と長さ





２つの n 次元ベクトル x = 



x1







, y = 






x2
..
.
xn

y1
y2
..
.



 に対し、内積を次で定義する。



yn





t
x · y = (x1 , x2 , · · · , xn ) · 



y1
y2
..
.



 = x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn



yn
ここで、t x · y = t y · x であることに注意する。また、ベクトル x の長さを次で定義
する。
∥ x ∥=
√
tx
·x=
√
x21 + x22 + · · · + x2n




−2
1


 


 
例 x =  1 , y =  2  のとき、


 
3
4
t
x · y = −2 + 2 + 12 = 12,
∥ x ∥=
√
√
4 + 1 + 9 = 14,
∥ y ∥=
例
√
√
1 + 4 + 16 = 21
n 種類の財があり、第 i 財 (i = 1, 2, . . . , n) の単価は pi であり、これを qi 個購入する。




p
q
 1 
 1 




 p2 
 q2 



p=
 .. ：単価ベクトル、q =  .. ：購入量ベクトルとおく。
 . 
 . 




pn
qn
このとき、購入代金の総額はこの２つのベクトルの内積
t
p · q = p1 q1 + p2 q2 + · · · + pn qn
として表される。
3
ゼロベクトルと単位ベクトル
n 次元ベクトルで、すべての成分が 0 であるベクトルをゼロベクトルとよび 0 と表す。
また、長さ 1 のベクトルを単位ベクトルとよぶ。単位ベクトルのうち，第 i 成分が 1
で，他の成分が 0 のベクトルを ei (i = 1, 2, · · · , n) と表す
なお、任意のベクトルは単位ベクトル e1 , e2 , · · · , en の線形結合（１次式）として表
せる。
例
3 次元の場合、ゼロベクトルと単位ベクトルは
 
 
 
0
1
0
 
 
 
 
 
 
0 =  0  , e1 =  0  , e2 =  1  ,
 
 
 
0
0
0



0
 
 
e3 =  0 
 
1

3




である。また、ベクトル x =  −5  を次のように単位ベクトルの線形結合で表せる。


2






3
1
0


 



 

x =  −5  = 3  0  − 5  1


 

2
0
0


0

 

 
 + 2  0  = 3e1 − 5e2 + 2e3

 
1
内積の双線形性
x, y, z を n 次元ベクトル、a, b を定数とする。このとき以下が成り立つ。
(1) t (ax + by) · z = at x · z + bt y · z
(2) t x · (ay + bz) = at x · y + bt x · z
4
三角比
xy 平面において、x 軸の右半分の半直線を原点を中心にして反時計回りに θ 度回転さ
せた半直線と単位円 ( x2 + y 2 = 1 ) との交点の座標を (cos θ, sin θ) と表す。
特に、
(cos θ, sin θ)
| cos θ| ≦ 1.
θ
0◦ ≦ θ ≦ 180◦ のとき、cos θ = 0 ⇐⇒ θ = 90◦ .
ベクトルの直交
２つのベクトル x と y のなす角を θ (0◦ ≦ θ ≦ 180◦ ) とするとき、次の関係式が成り
立つ。
t
x · y =∥ x ∥∥ y ∥ cos θ
y
特に、x と y が直交 (θ = 90◦ ) することと、
θ
0
t
x
x·y =0
は同値である。このとき、x ⊥ y と表す。
証明
∥ x ∥2 = t x · x, t x · y = t y · x であることを用いて、余弦定理より、
}
1{
∥ x ∥2 + ∥ y ∥2 − ∥ x − y ∥2
2
}
1 {t
x · x + t y · y − t (x − y) · (x − y)
=
2
}
1 {t
=
x · x + t y · y − t x · x − t y · y + 2t x · y
2
∥ x ∥∥ y ∥ cos θ =
= tx · y
□


例
a=
1
 と直交する長さ 1 のベクトル x を求めよ。
2
5

解
x=

x
y
 とおく。a ⊥ x より
a · x = x + 2y = 0
(1)
∥ x ∥2 = x2 + y 2 = 1
(2)
t
x の長さが 1 であるから、
(1) と (2) を連立して解くと


2
1
,
x= √ 
5
−1

−2

1
.
√ 
5
1
□
１次独立と１次従属
ベクトル a1 , a2 , · · · , aℓ のうち，少なくとも１つのベクトルが残りのベクトルの線形結
合で表せるとき，ベクトル a1 , a2 , · · · , aℓ は１次従属であるという。また，１次従属で
ないとき，１次独立であるという。

例
a1 = 

1

 , a2 = 

0

 , a3 = 
0
1
トル a1 , a2 , a3 は１次従属である。





1
 のとき，a3 = a1 + 2a2 と表せるから，ベク
2


1
0
0
 
 
 
 
 
 
例 a1 =  0  , a2 =  1  , a3 =  1  のとき，どのベクトルも他のベクトルの線
 
 
 
0
0
1
形結合で表せないから，ベクトル a1 , a2 , a3 は１次独立である。



1
−1



 


 
a1 =  2 , a2 =  1 , a3 =


 
−2
3
ベクトル a1 , a2 , a3 は１次従属である。
例
直線のベクトルによる表現

−1





 7  のとき，a3 = 2a1 + 3a2 と表せるから，


0
直線 ℓ が与えられている。ベクトル a は（始点を原点 O と
したときに終点が）直線 ℓ にあるとする。ベクトル b は直線 ℓ と平行とする。
6
6
b 1
ℓ
a
-
O
このとき，直線 ℓ 上の任意の点は
a + tb （t は定数）
と表すことができる。よって，直線 ℓ を
ℓ = {a + tb | t ∈ R}
と表現できる。ただし，R は実数全体である。

例

直線 ℓ : y = 2x + 3 をベクトルで表す。a = 
1

5
b=

1
（の終点）は直線 ℓ 上にある。
 は直線 ℓ と平行である。よって，直線 ℓ は
2

 
 

 



 1
1+t
1






+t
ℓ = {a + tb | t ∈ R} =
t ∈ R =
t ∈ R

  5 + 2t
 5
2




 x=1+t
と表せる。実際，



 y = 5 + 2t
で t を消去すると，y = 2x + 3 になる。


例
a=
1
2


, b = 
3
 のとき，
4
ℓ = {a + tb ; t ∈ R}
7
はどのような直線であるか，軌跡の問題として考えてみよう。
 


x
1 + 3t
  = a + tb = 

y
2 + 4t
4
2
x + を得る。
3
3
とおく。ここで t を消去して，y =
平面のベクトルによる表現
平面 Π が与えられている。ベクトル a は（始点を原点 O と
したときに終点が）直線 Π にあるとする。ベクトル b と c は平面 Π と平行とする。また，
b と c は１次独立とする。このとき，平面 Π 上の任意の点は
a + sb + tc （s と t は定数）
と表すことができる。よって，平面 Π を
Π = {a + sb + tc | s, t ∈ R}
と表現できる。
例
（正射影ベクトル）
ベクトル y の終点からベクトル x の延長線上への垂線の足を終点とするベクトルを z と
おく。このとき、z を x と y を用いて表せ。
（なお、z を y の x 方向への正射影ベクトルと
呼ぶ。）
y
x
0
z = λx
z = λx とおく。x ⊥ (λx − y) より、t x · (λx − y) = λ ∥ x ∥2 −t x · y = 0. よって、
t
x·y
. 従って、
λ=
∥ x ∥2
t
x·y
z = λx =
x.
∥ x ∥2
解
□
コーシー・シュワルツの不等式
n 次元ベクトル x と y に対して、次の不等式が成り立つ。
|t x · y| ≦∥ x ∥∥ y ∥
8
証明
x と y のなす角を θ とおくと、
|t x · y| =∥ x ∥∥ y ∥ | cos θ| ≦∥ x ∥∥ y ∥
□
別証
0 ≦∥ tx + y ∥2 = t (tx + y) · (tx + y) = t2 ∥ x ∥2 +2tt x · y+ ∥ y ∥2
すなわち、t の 2 次関数のグラフが t 軸の下を通過することがない。よって、判別式より
D/4 = (t x · y)2 − ∥ x ∥2 ∥ y ∥2 ≦ 0
□
例
a を正の定数とする。x と y が x2 + y 2 = a2 を満たすとき、x + y の最大値と最小値を
求めよ。

解
x=

x

, y = 
y

1
 とおく。コーシー・シュワルツの不等式より
1
|x + y| = |t x · y| ≦∥ x ∥∥ y ∥=
√
2a
よって、
√
√
− 2a ≦ x + y ≦ 2a
(√
( √
√ )
√ )
2a 2a
2a
2a
一方で、(x, y) =
,
,
−
,−
のとき x2 + y 2 = a2 を満たし、
2
2
2
2
√
√
かつ x + y の値がそれぞれ 2a と − 2a になる。
√
√
以上のことから、x + y の最大値は 2a であり、最小値は − 2a である。
(√
√ )
√
2a 2a
注 (x, y) =
,
の座標を求めるには、x2 + y 2 = a2 と x + y = 2a を連立
2
2
( √
√ )
2a
2a
,−
の座標を求めるには、x2 + y 2 = a2 と
すればよい。同様に、(x, y) = −
2
2
√
x + y = − 2a を連立すればよい。
最適消費問題への応用
x = t (x1 , x2 , . . . , xn ) を財の量、p = t (p1 , p2 , . . . , pn ) を価格ベクトル、M を予算とす
る。予算制約式 t p · x = M は n 次元空間内の超平面 Π （予算平面）を表す。
9
このとき、Π と価格ベクトル p は直交する。実際、Π 上の２点 x = t (x1 , x2 , . . . , xn ) と
y = t (y1 , y2 , . . . , yn ) に対し、t p · (x − y) = t p · x − t p · y = M − M = 0 となり、Π 上の
すべてのベクトルと p が直交していることがわかる。
最適消費問題を幾何学的に考える。まず、最適消費問題はベクトルの記号を使うと、

 maximize
u(x)
 subject to
t
p·x=M
と表せる。ただし、u(x) は効用関数である。さて、無差別曲線 (indifference curve) u(x) = c
は、c を大きくする（満足度が大きくなる）と、原点から遠ざかる（より大きな消費を必
要とする）。そして、c (c > 0) をうまくとると、無差別曲線と予算平面 Π : t p · x = M が
一点 x∗ で交わるようにできる。この x∗ が最適消費である。
例

 maximize
 subject to

の最適消費 x∗ = 
u(x) = min{2x, y}
3x + 4y = 11

x
 を求める。まず、与えられた効用の無差別曲線は、
y
} {
}
} {
c
c
(x, y)| min{2x, y} = c = t (x, y)|x = , y ≧ c ∪ t (x, y)|x ≧ , y = c
2
2
( ∗ )
c ∗
であるから、最適効用を c∗ とおくと最適消費は x∗ = t
, c と表すことができる。こ
2
れを予算制約式に代入して、c∗ = 2 , x∗ = t (1, 2) を得る。
{t
10