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位相空間論 B（担当：小森）６月２５日：完備距離空間（宿題）
この講義のホームページの URL
http://www.f.waseda.jp/ykomori/topology1-2014.html
問題１以下を示せ。
(1) 距離空間の収束列はコーシー列である。
(2) 距離空間のコーシー列が収束部分列を持てば収束列である。
(3) 距離空間が点列コンパクトならば完備である。
問題２以下を示せ。
(1) 実数直線 R は完備である。
(2) 開区間 (0, 1) は R の部分距離空間として完備でない。
(3) 有理数全体 Q は R の部分距離空間として完備でない。
(4) R は点列コンパクトでない。
(5) 閉区間 [0, 1] は R の部分距離空間として点列コンパクトである。
問題３２つの完備距離空間 (X, dX ) と (Y, dY ) の直積距離空間 (X × Y, d) も完備で
あることを示せ。よって特に n 次元ユークリッド空間 Rn は完備距離空間である。
∑∞
ℓ1 はベ
問題４ n=1 |xn | < ∞ を満たす実数列 {xn } の全体を ℓ1 とする。このとき
∑∞
1
クトル空間となり、{xn }, {yn } ∈ ℓ に対し、d({xn }, {yn }) := n=1 |xn − yn | とす
ると (ℓ1 , d) は完備距離空間になることを示せ。
∑∞
ℓ2 は
問題５ n=1 |xn |2 < ∞ を満たす実数列 {xn } の全体を ℓ2 とする。このとき
√
∑
∞
2
ベクトル空間となり、{xn }, {yn } ∈ ℓ2 に対し、d({xn }, {yn }) :=
n=1 |xn − yn |
2
とすると (ℓ , d) は完備距離空間になることを示せ。
問題６ sup |xn | < ∞ を満たす実数列 {xn } の全体を ℓ∞ とする。このとき ℓ∞ はベ
クトル空間となり、{xn }, {yn } ∈ ℓ∞ に対し、d({xn }, {yn }) := sup |xn − yn | とする
と (ℓ∞ , d) は完備距離空間になることを示せ。
問題７閉区間 [a, b] 上の連続関数全体の集合 C[a, b] はベクトル空間となり、f, g ∈
C[a, b] に対し、d1 (f, g) := sup{|f (x) − g(x)| | x ∈ [a, b]} とすると、(C[a, b], d1 )
∫b
は完備距離空間になることを示せ。また d2 (f, g) := a |f (x) − g(x)| dx とすると、
(C[a, b], d2 ) は距離空間だが完備でないことを示せ。
問題８距離空間 (X, d) の部分集合 A が有界であるとは、ある点 c ∈ X と δ > 0 が
存在して A ⊂ U (c; δ) を満たすこととする。
(1) A が有界ならば、X の任意の点 b に対してもある η > 0 が存在して A ⊂
U (b; η) を満たすことを示せ。
(2) コーシー列は有界列であることを示せ。
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