1. No category

2014
高校数学前期 1 回目
1.
√
x2 + 1 − (ax + b)
=2
x→0
x
が成り立つように，a, b を定めよ．
lim
解: a = −2, b = 1
2. 無限等比級数 1 + (1 − x2 ) + (1 − x2 )2 + · · · が収束するような実数 x の
範囲を求めよ．また，収束するときの和を求めよ．
解: 0 < x <
√
√
2 または − 2 < x < 0 で，和は
1
x2
3. 次の極限を求めよ．
5−3n2
(n+1)(n+2)
4x
limx→−∞ 1−4
x
(1) limn→∞
(3)
(2) limx→0
sin 3x
tan x
(2) limx→−∞ (x +
解: (1) −3, (2) 3, (3) 0, (4)
√
x2 − x + 1)
1
2
4. 次の関数を微分せよ．
(1) y =
√
4−x2
x2 −2x+3
(3) y = ex log x
(2) y =
(4) y = 3
(5) y = log2 (cos x) (6) y =
1
2x2 −14x+8
−4/3
,
(x2 −2x+3)2 , (2) − 3 (x+4)
1
1
(5) − log 2 tan x, (6) 1−sin x
解: (1)
1
cos2 x ,
1
x+4
tan x
3
cos x
1−sin x
(3) ex (log x+ x1 ), (4) (log 3)3tan x ×
5. 次の関数の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べ，そのグラフ
を描け．
x2
y= 2
x −1
1
6
4
2
-2
1
-1
-2
-4
解:
x
y
−∞
−1
′
′′
y
y
1
0
∞
1
+
×
+
0
−
+
↗
×
−
↗
−
0
− × +
↘
↘
6. 次の不定積分を求めよ．
∫
∫
ex
(1)
dx,
(2)
(x + 3) cos 2x dx,
1 − ex
解: (1) − log |1 − ex |, (4)
1
2 (x
+ 3) sin 2x +
1
4
×
−
∫
(3)
1
2x − 11
dx
2x2 − x − 6
cos 2x (3) 2 log |x + 32 | −
log |x − 2|
7. 次の定積分を求めよ．
∫ 2√
(1)
|x − 1| dx,
−1
解: (1)
2
3 (2
√
2 + 1), (2)
∫
0
128
105
2
2
(2 − x)4 x2 dx
(2)
2
2014
高校数学前期 2 回目
1. 次の極限値を求めよ
(
3 )x
(1) lim 1 −
,
x→∞
x
(2) lim
x→−0
sin x
|x|
解: (1) e−3 , (2) −1
2. 次の関数の導関数を求めよ．
(1) x22x+1
+x+1
(4) sin ex
(2) x3 (1 + 4x)7
(5) (1 + tan2 x)2
(7) (cos x)log x
(0 < x <
(3) log | cos x|
(6) xsin x (x > 0)
π
2)
1−2x−2x2
2
6
x
x
(x2 +x+1)2 , (2) x (1 + 4x) (40x + 3), (3) − tan x, (4) e cos e ,
sin x
sin x
sin x
log x log cos x
(cos x log x+ x ), (7) (cos x)
( x −log x tan x)
4 cos5 x , (6) x
解: (1)
(5)
3. 次の関数の増減，凹凸，極値，変曲点を調べ，必要なら極限も考慮し
て，グラフの概形を描け
(−π ≤ x ≤ x)
x + 2 cos x
解:
−π
···
− π2
′
+
+
+
+
y ′′
+
+
0
−
y
−π − 2
↗
− π2
↗
x
y
···
π
6
3
π
6
···
π
2
···
0
−
−
−
0
+
+
−
0
+
+
+
+
↘
π
2
↘
↗
π−2
−
√
+ 3
···
5
6π
5
6π
−
√
3
π
3
2
1
-3
-2
1
-1
2
3
-1
-2
-3
4. 次の関数の不定積分を求めよ．
(1)
1
x(log x)2
(4) 2x sin 2x
√
(2) x2 x − 1
(5) (log x)2
(3) √
(6)
1
(1+x2 )3
1
x2 −4x−5
解: (1) − log1 x , (2) 23 (x − 1)3/2 + 45 (x − 1)5/2 + 27 (x − 1)7/2 , (3)
√ x
1+x2
1
1
2
(4) −x cos 2x + 2 sin 2x, (5) x(log x) − 2x log x + 2x, (6) 6 log x−5
x+1 ,
5. 次の定積分の値を求めよ．
(1)
∫ π/2
(4)
解: (1)
8
15 ,
0√
∫
3
cos5 x dx
0
x
1+x2
(2)
π
2,
dx
(2)
(5)
∫π
∫01
0
sin2 x dx
(3)
∫π
0
ex cos x dx
xe−x dx
(3) − 12 (eπ + 1), (4) log 2, (5) 1 − 2e−1
6. 次の不等式を示せ．
ex > 1 + x +
4
x2
2
(x > 0)
,
解:
x2
)
2
とおくと，f (0) > 0, f ′ (0) > 0 であることと，f ′′ (x) > 0 より導かれる．
f (x) = ex − (1 + x +
5
2014
高校数学前期 3 回目
1. 次の極限値を求めよ．
√
√
(2) limx→∞ x( x + 1 − x)
(4) x sin x1
(1) limx→1 x x−3x+2
2 −1
x
(3) limx→1+0 x−1
3
解: (1) − 12 , (2) +∞, (3) +∞, (4) 0
2. 次の関数を微分係数の定義にしたがって x = 1 で微分せよ．また，点
(1, 1) における接線の方程式を求めよ．
f (x) =
1
x
解: f ′ (1) = −1(定義通りに極限で求めること), y = −x + 2
3. 次の関数を微分せよ．
(1) (3x + 2)(x2 + 1) (2) e−x log x
(3) √ sin x 2
(4) 13 tan3 x (5) 21/x
1+sin x
解:
(1) 9x2 + 4x + 3, (2) e−x ( x1 − log x), (3)
cos x
,
(1+sin2 x)3/2
(4)
sin2 x
cos4 x ,
1/x
(5) (− log 2) 2x2
4. f (x) = x2 e−x の増減，凹凸，極値などを調べて，グラフの概形を描け．
解:
f ′ (x) = x(2 − x)e−x ,
x
+∞ · · ·
0
···
f ′′ (x) = (x − 2 −
2−
√
2 ···
√
√
2)(x − 2 + 2)e−x
2
···
2+
√
2 ···
′
×
−
0
+
+
+
0
−
−
−
′′
+
+∞
+
+
0
+
0
−
−
4/e2
−
0
+
f
f
f
6
0
0
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
1
-1
5. 0 < x <
π
2
のとき， π2 <
sin x
x
2
3
4
であることを証明せよ．
解: 例えば，f (x) = sin x − π2 x を考えればよい
6. 次の不定積分を求めよ．
∫
∫
x
(2) (2x+3)
(1) √dx
2 dx
x+1
∫
∫ −2x
(3) x log x dx (4) e
sin 3x dx
√
√
解: (1) 2 x − 2 log | x + 1| (2)
1
log |2x + 3| + 43 2x+3
, (3) 12 x2 log x −
1 2
1 −2x
(2 sin 3x + 3 cos 3x)
4 x , (4) − 13 e
1
4
7. 次の定積分の値を求めよ．
∫π
(1) 0 cos2 x dx
∫2
(3) 0 |x(1 − x)| dx
解: (1)
π
2,
(2) log
e2 +1
e+1 ,
(3) 1, (4) log
7
(2)
(4)
4
3
∫2
∫12
ex
ex +1
dx
1 x(x+1)
5
6
2014
高校数学後期 1 回目
1.
(1 − x) + (1 − x)x(3 − 4x) + (1 − x)x2 (3 − 4x)2 + · · ·
の値を求めなさい．
解: 初項 1−x, 公比 x(3−4x) の等比級数なので収束するのは − 14 < x ≤ 1
その場合の和は
1−x
4x2 −3x+1
2.
(1) lim
3x2 − 1
+ 2x + 2
x→∞ x3
|x|
x→0 x
(2) lim
1 − cos x
x→0
tan x
(3) lim
ax − 1
x→0
x
(4) lim
解: (1) 0, (2) 存在しない, (3) 0, (4) log a
3. ax の微分を定義に基づき計算しなさい．
解:
ax+h − ax
= ax log a
h→0
h
f ′ (x) = lim
4. 次の式の微分を求めなさい．
(1) (sin x + cos x)3
(2) ax log x (3) log tan x
(4) xe1/x
(5)
ex − e−x
ex + e−x
(1) 3(sin x + cos x)2(cos x − sin x), (2) ax log a log x + ax x1 , (3)
1
1/x
(1 − x1 ), (5) (ex +e4−x )2
sin x cos x , (4) e
解:
5. [0, 1] における f (x) = xe−x の最大値と最小値を求め，グラフを描きな
さい．
2
解:
x
0
···
′
+
0
+
↗
f
f
√
1/ 2 · · ·
0
√1
2e
8
−
↘
1
−
1/e
√
最大値 1/ 2, 最小値 0
0.4
0.3
0.2
0.1
0.2
0.4
6. 次の積分を求めなさい．
∫ √1
(1)
3 − 2 dx
(2)
∫
2x−1
2x+1
0.6
dx (3)
∫
0.8
(log x)2 dx
解: (1) 2( 13 x − 2)3/2 , (2) x − log |2x + 1|, (3)x{(log x)2 − 2 log x + 2}
7. 次の定積分を求めなさい．
(1)
∫5√
∫1
∫1 √
x − 1 dx (2) 0 ex x2 dx (3) 0 x 5x2 + 4 dx
0
解: (1) 6, (2) e − 2, (3)
19
15
9
1.0
2014
高校数学後期 2 回目
1. 次の極限値を求めよ．
x2 − 3x
,
x→∞ 2x2 + x + 1
(1) lim
解: (1)
1
2,
(2) lim (x−
x→∞
√
x2 − x),
(3) lim
x→0
log(1 + x)
sin x
(2) 12 , (3) 1
2. 次の関数の導関数を求め，グラフ上の点 (1, 1) における接線の方程式を
求めよ．
解: y = 53 x −
2
3
3. 次の関数の導関数を求めよ
3+4
(1) x+2
,
(2) x3 (1 + 4x)7 , (3) cos12 x
√
2
(4) log | tan x|, (5) xe x −1 ,
(6) (sin x)x (0 < x < π)
2
2
6
2 , (2) x (1 + 4x) (3
√(x+2)
2
2
x2 −1 x
√ −1+x , (6) (log(sin x)x
x2 −1
解: (1)
e
√
+ 40x), (3)
+
3 sin x
cos4 x ,
x
(4)
1
sin x cos x ,
(5)
1
tan x )(sin x)
4. 次の関数の増減，凹凸極値，変曲点を調べ，必要なら極限も考慮してグ
ラフの概形を描け．
y = x + 2 cos x (−π ≤ x ≤ π)
10
2
Π
Π
2
2
-
-Π
Π
-2
-4
解:
x
−π
···
′
y
y ′′
y
−π − 2
− π2
···
+
+
0
+
−
↗
− π2
↗
···
π
6
π
6
+
√
3
π
2
···
5π
6
···
−
−
0
0
−
+
+
+
↘
π
2
↘
5π
6
−
√
3
↗
5. 次の不等式を示せ．
ex > 1 + x +
x2
2
(x > 0)
解:
x2
)
2
とおいて，x > 0 で f ′′ (x) ≥ 0 および f ′ (0) > 0 を示せば，f は単調増
f (x) = ex − (1 + x +
加であり，f (0) = 0 より導かれる．
6. 次の関数の不定積分を求めよ．
(1) x2 cos 4x,
2
解: (1) ( x4 −
1
32 ) sin 4x
+
(2)
x
8
x2
,
x2 − 4
(3)
1
x(log x)
cos 4x, (2) x + log x−1
x+2 , (3) log | log x|
11
π
π−2
7. 次の定積分を求めよ．
∫
(1)
0
√
3
x
dx,
1 + x2
∫
∫
π
ex cos x dx,
(2)
0
解: (1) log 2, (2) − 12 (eπ + 1), (3)
12
0
1
2π
π
sin2 x dx
(3)
2014
高校数学後期 3 回目
1. 次の極限値を求めよ．
(
)x
1
(1) lim
1−
,
x→+∞
x
解: (1) e−1 , (2)
√
x+1−1
x→0
x
(2) lim
1
2
2. 次の関数の導関数を求めよ．
√
(1) e
解: (1)
x2 −1
√
x2 −1
xe
√
,
x2 −1
(2) xx log x,
,
(3) x1/x ,
(4)
1
sin x
cos x
(2) x2 (2 log x + 1), (3) x1/x−2 (1 − log x), (4) − sin
2x
3. y = x3 − 6x2 + 9x − 1 の増減，凹凸，極値，変曲点を調べ，極限も考
慮してグラフの概形を描け．
解:
5
1
-1
2
3
-5
x
2
3
+
0
−
−
−
0
′′
−
−
−
0
+
+
↗
3
↘
1
↘ −1 ↗
y
y
1
′
y
13
+
4
5
4. 次の不定詞気分を求めよ．
∫
∫ 3
√
x − 2x2 + 5
(1)
x x + 1 dx, (2)
dx,
x2 − 1
解: (1) 25 (x+1)5/2 − 23 (x+1)3/2 , (2) 12 x2 −2x+log
∫
(3)
(x−1)2
|x+1| ,
xe3x dx
(3) 13 xe3x −
1 3x
9e
5. 次の定詞気分を求めよ．
∫ π
(1)
te3x cos 4x dx,
0
解: (1)
3
3π
25 (e
− 1), (2)
π
3
−
∫
(2)
x3
√
dx
1 − x2
√
3
2
6. 放物線 y = x2 と直線 y = x + 2 により囲まれた図形の面積 S を求めよ．
解:
9
2
14