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代数学 XC（本郷）ノート
高木 俊輔
Contents
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
群の定義
環・加群の定義
群の表現
群の指標
誘導表現
素イデアル・極大イデアル
ネーター性
局所化
正則局所環
完備化
代数的 McKay 対応
1
5
10
18
25
27
30
33
35
40
46
1. 群の定義
定義 1.1. 集合 G が群 (group) であるとは，写像 Φ : G × G → G が存在して，
xy := Φ(x, y) と書いたとき，次を満たす．Φ を G の演算という．
(i) 任意の x, y, z ∈ G に対し，x(yz) = (xy)z.
(ii) ある元 e ∈ G が存在して，任意の x ∈ G に対し，xe = ex = x．e を G を単
位元 (identity element) と言う．
(iii) 任意の x ∈ G に対し，x−1 ∈ G が存在して，xx−1 = x−1 x = e．x−1 を x の
逆元 (inverse element) と言う．
さらに，任意の x, y ∈ G に対し xy = yx が成り立つとき，G をアーベル群 (abelian
group) と言う．このとき，xy を x + y, x−1 を −x, e を 0 と書くこともある．
注意 1.2. 単位元 e, x の逆元 x−1 は一意に定まる．
定義 1.3. G を群とし，H ⊂ G を部分集合とする．H が G の部分群 (subgroup)
とは，G の演算で H が群になることである．つまり，
(i) 任意の x, y ∈ H に対し，xy ∈ H (xy は G の元の積として定義している)
(ii) 任意の x ∈ H に対し，x−1 ∈ H (x−1 は G の元 x の逆元として定義している)
(iii) e ∈ G を G の単位元としたとき，e ∈ H.
の 3 条件を満たすことである．これは
1
(a) H ̸= ∅,
(b) 任意の x, y ∈ H に対し x−1 y ∈ H
の 2 条件が成り立つことと同値．
例 1.4. (1) GLn (R) = {n 次正則行列全体 } は行列の積を演算とする群．単位元
は単位行列，逆元は逆行列．SLn (R) = {A ∈ GLn (R) | det A = 1} は GLn (R) の部
分群．
(2) n ∈ N とし，[n] = {1, 2, . . . , n} とおく．
Sn = {f : [n] → [n] 全単射 }
とおくと，Sn は写像の合成を演算とする群．単位元は恒等写像 id[n] , f の逆元は f の
逆写像 (f は全単射なので，逆写像が存在する)．Sn を n 次対称群 (symmetric group)
と言う．
σ ∈ Sn のとき，
(
)
1
2
···
n
σ=
σ(1) σ(2) · · · σ(n)
と書くこともある．例えば n = 3 のとき，
(
)(
) (
1 2 3
1 2 3
1 2
=
2 1 3
1 3 2
2 3
(
)(
) (
1 2 3
1 2 3
1 2
=
1 3 2
2 1 3
3 1
3
1
3
2
)
,
)
なので，S3 は非可換群．
(3) Z は足し算を演算とするアーベル群．n ∈ N に対し，nZ は Z の部分群．任
意の整数 i に対し，Z の部分集合 i + nZ := {i + nm | m ∈ Z} とおき，
Z/nZ = {i + nZ | i = 0, . . . , n − 1}
という集合を考える．(i + nZ) + (j + nZ) = (i + j) + nZ と演算を定義すると，Z/nZ
はアーベル群．
問題. 群 G とその部分群 H ⊂ G が与えられたとき，G/H という群が定義でき
るか？
非可換群の場合は，正規部分群を考える必要がある．
定義 1.5. G を群，H ⊂ G を G の部分群する．
(i) 任意の x ∈ G を 1 つ固定する．
G の部分集合 xH := {xh | h ∈ H} を x の H による左剰余類 (left coset)
G の部分集合 Hx := {hx | h ∈ H} を x の H による右剰余類 (right coset)
と言う．
(ii) H が G の正規部分群 (normal subgroup) であるとは，任意の x ∈ G に対し，
(集合として) xH = Hx が成り立つこと．これは，任意の x ∈ G と任意の
h ∈ H に対し，xhx−1 ∈ H が成り立つことと同値．このとき H ◁ G と記す．
(iii) G/H := {xH | x ∈ G} と定義し，G の H による左剰余集合と言う．
注意 1.6. 任意の x, y ∈ G に対し，xH = yH が成り立つことと x−1 y ∈ H は同値．
2
(
1 2 3
2 1 3
)
∈ S3 とし，H := {id, σ} ⊂ S3 とおくと，σ −1 = σ よ
(
)
1 2 3
り，H は S3 の部分群．τ =
∈ S3 とおくと，τ −1 = τ で，
1 3 2
(
)(
)(
) (
)
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
−1
τ στ =
=
∈
/ H.
1 3 2
2 1 3
1 3 2
3 2 1
例 1.7. σ =
よって，H は S3 の正規部分群ではない．
命題 1.8. H ◁ G のとき，
G/H × G/H → G/H
(xH, yH) → xyH
と G/H 上の演算を定義すると，これは well-defined で，G/H はこの演算に関して
群になる．
証明. well-defined であることをチェックするためには，剰余類の取り方に依らず
演算が定まっていることを確認すれば良い．つまり，xH = x′ H, yH = y ′ H のとき，
xyH = x′ y ′ H となることを示せば良い．上の注意より，y −1 x−1 x′ y ′ = (xy)−1 (x′ y ′ ) ∈
H を示せば良い．xH = x′ H より，x−1 x′ ∈ H. H ◁ G より，y −1 (x−1 x′ )y ∈ H.
yH = y ′ H より y −1 y ′ ∈ H なので，y −1 x−1 x′ y ′ = (y −1 x−1 x′ y)(y −1 y ′ ) ∈ H.
G/H が群になることは容易に確認できる．G/H の単位元は eH, xH の逆元は
x−1 H である．
□
定義 1.9. G, G′ を群とする．写像 f : G → G′ が群準同型 (group homomorphism)
とは，任意の x, y ∈ G に対し f (x)f (y) = f (xy) を満たす．群準同型 f : G → G′ が
全単射のとき，f を同型写像と言い，G ∼
= G′ と記す．
注意 1.10. f : G → G′ を群準同型とする．
(1) e ∈ G を G の単位元, e′ ∈ G′ を G′ の単位元としたとき，f (e) = e′ が成り立つ．
(2) 任意の x ∈ G に対し，f (x−1 ) = f (x)−1 .
証明. (1) のみ示す．e2 = e より，f (e) = f (e2 ) = f (e)f (e)．左から f (e)−1 をか
けると，e′ = f (e)−1 f (e) = f (e)−1 f (e)f (e) = e′ f (e) = f (e) を得る．
□
命題 1.11. f : G → G′ を群準同型とする．
(1) f の像 (image) Im f := {f (x) | x ∈ G} は G′ の部分群.
(2) f の核 (kernel) ker f := {x ∈ G | f (x) = e′ } は G の正規部分群．
証明. (2) のみ証明する．まず ker f が G の部分群であることを示す．任意の x, y ∈
ker f に対し，
f (x−1 y) = f (x−1 )f (y) = f (x)−1 f (y) = e′−1 e′ = e′
なので，x−1 y ∈ ker f ．よって ker f は G の部分群．
次に ker f ◁ G を示す．任意の g ∈ G と x ∈ ker f に対し，
f (gxg −1 ) = f (g)f (x)f (g −1 ) = f (g)e′ f (g)−1 = f (g)f (g)−1 = e′
なので，gxg −1 ∈ ker f . よって ker f ◁ G．
□
例 1.12. H ◁ G のとき，
f : ρ : G → G/H
x → xH
は群準同型で，ker ρ = {x ∈ G | xH = eH} = {x ∈ G | x ∈ H} = H.
3
定理 1.13 (群の準同型定理). f : G → G′ を群準同型とする．このとき，
G/ ker f → Im f
x(ker f ) → f (x)
は同型写像．
証明. f が well-defined であることを示す．x(ker f ) = x′ (ker f ) ならば，f (x) =
f (x′ ) を示せば良い．x(ker f ) = x′ (ker f ) より，x−1 x′ ∈ ker f ，つまり f (x−1 x′ ) = e′ .
両辺に f (x) をかけると，f (x) = f (x)f (x−1 x′ ) = f (x)f (x−1 )f (x′ ) = f (x′ ).
f (x(ker f ))f (y(ker f )) = f (x)f (y) = f (xy) = f (xy(ker f )) なので，f は群準
同型．
f が全単射であることを示す．定義より全射は明らか．単射を示すには，f (x) =
f (x′ ) ならば x(ker f ) = x′ (ker f ) を示せば良いが，これは上の議論を逆に辿れば良
い．
□
例 1.14. (1) 行列式の性質より，det : GLn (R) → R \ {0} は群準同型．SLn (R) の
定義より，ker det = SLn (R). 任意の 0 ̸= α ∈ R に対し，


α


1
=α
det 
.


..
1
より，Im det = R \ {0}. よって GLn (R)/SLn (R) ∼
= R \ {0}.
(2) 変数 x1 , . . . , xn に対し，
∏
∆(x1 , . . . , xn ) =
(xi − xj )
1≤i<j≤n
とおく．σ ∈ Sn に対し，
∆(xσ(1) , . . . , xσ(n) ) = sgn(σ)∆(x1 , . . . , xn )
と sgn(σ) を定義する．sgn(σ) ∈ {±1} で，sgn : Sn → {±1} は群準同型になる．
ker sgn =: An を n 次交代群 (alternating group) と言う．準同型定理より，Sn /An ∼
=
{±1}.
注意 1.15. n ≥ 5 のとき，An は単純群 ({e} とそれ自身以外正規部分群を持たな
い群) になる．
定義 1.16. G を群として，g1 , . . . , gn ∈ G とする．
⟨g1 , . . . , gn ⟩ := {giϵ11 giϵ22 · · · giϵss | s ∈ N, ij ∈ [n], ϵj ∈ {±1}}
とおくと，これは G の部分群になる．⟨g1 , . . . , gn ⟩ を g1 , . . . , gs で生成される G の部
分群と言い，g1 , . . . , gs を ⟨g1 , . . . , gn ⟩ の生成系 (system of generators) と言う．特に
1 つの元で生成される群のことを巡回群 (cyclic group) と言う．
補題 1.17. H をアーベル群 Z の部分群とする．ある n ∈ Z≥0 が存在して，H = nZ.
証明. H ̸= {0} として良い．集合 {n ∈ H | n ≥ 1} に属する最小の整数を n0 とす
る．任意の m ∈ H に対し，m = n0 q + r (q, r ∈ Z, 1 ≤ r ≤ n0 − 1) とおく．n0 ∈ H
より，−n0 ∈ H ，−n0 q ∈ H. よって r = m − n0 q ∈ H となるので，n0 の最小性より，
r = 0．つまり H ⊂ n0 Z. 逆に，n0 ∈ H より，n0 Z ⊂ H. まとめると，H = n0 Z. □
4
命題 1.18. G を巡回群とすると，ある n ∈ Z≥0 が存在して，G ∼
= Z/nZ.
証明. g を G の生成元とする．
f : Z → G n → gn
と f を定義すると，f (m + n) = g m+n = g m g n = f (m)f (n) より，f は群準同型．G
は巡回群なので，f は全射．補題 1.17 より，ある n0 ∈ Z≥0 が存在して，ker f = n0 Z.
よって準同型定理より，Z/n0 Z = Z/ ker f ∼
□
= Im f = G.
定義 1.19. G を群とし，g ∈ G とする．
(1) #G < ∞ のとき，G を有限群と言い，#G を G の位数 (order) と言う．
(2) g n = e となる最小の n ∈ N を g の位数 (order) と言う．任意の n ∈ N に対
し g n ̸= e のとき，g の位数は無限と定義する．
系 1.20. G を有限巡回群，g ∈ G をその生成元とする．このとき，G の位数=g
の位数．
証明. g の位数を n0 ∈ N とおく．このとき，上の証明より，G ∼
= Z/n0 Z となる．
よって #G = n0 .
□
2. 環・加群の定義
定義 2.1. R をアーベル群とし，その演算を +，単位元を 0 で表すこととする．つ
まり，
(1) 任意の x, y, z ∈ R に対し，x + (y + z) = (x + y) + z.
(2) 任意の x ∈ R に対し，x + 0 = 0 + x.
(3) 任意の x ∈ R に対し，−x ∈ R が存在して，x + (−x) = 0.
(4) 任意の x, y ∈ R に対し，x + y = y + x.
(i) R が環 (ring) とは，写像 Φ : R × R → R が存在して，xy := Ψ(x, y) と書いたと
き，次を満たす．Ψ を R の乗法，+ を R の加法と言う．
(5) 任意の x, y, z ∈ R に対し，(xy)z = x(yz).
(6) ある元 e ∈ R が存在して，任意の x ∈ R に対し，ex = xe = x. e を 1 と
記す．
(7) 任意の x, y, z ∈ R に対し，x(y + z) = xy + xz, (x + y)z = xz + yz.
(ii) 環 R が次の条件
(8) 任意の x, y に対し, xy = yx.
を満たすとき，R は可換環 (commutative ring) であると言う．
(iii) 環 R が次の条件
(9) 任意の x ∈ R \ {0} に対し, x−1 が存在して，xx−1 = x−1 x = 1.
を満たすとき，R は可除環 (division ring) であると言う．
(iv) 可換な可除環を体 (field) と言う．
注意 2.2. R を環とする．
(1) 任意の x ∈ R に対し，0x = (0 + 0)x = 0x + 0x より，0x = 0. 同様に x0 = 0.
(2) 1 = 0 のとき，R は零環 (zero ring) であると言う．このとき，任意の x ∈ R に
対し x = 1x = 0x = 0 より，R = {0}.
以下，環と言えば零環でないとする．
5
例 2.3. (1) Z は足し算を加法，掛け算を乗法とする可換環．C は体．
(2) R を可換環とする．R 上 1 変数多項式環 R[X] とは，
{ n
}
∑
R[X] :=
ri X i n ∈ Z≥0 , ri ∈ R
i=0
という集合に，次のように加法・乗法を定義したものである．ただし，
X 0 = 1 ∈ R,
∑n
∑
i
i
ri X = ri ̸=0 ri X と同一視し，全ての i = 0, . . . , n に対し ri = 0 のときは
∑i=0
n
i
i=0 ri X = 0 ∈ R とする．
m
n
m
n
∑
∑
∑
∑
i
j
i
(加法) m ≤ n ならば，
ai X +
bj X =
(ai + bi )X +
bj X j .
(
(乗法)
m
∑
i=0
)(
ai X i
i=0
n
∑
j=0
bj X j
)
=
j=0
n+m
∑
i=0
ck X k , ただし ck =
k=0
j=m+1
∑
a i bj .
i+j=k
R[X] は可換環になる．R 上 2 変数多項式環 R[X, Y ] は R[X, Y ] := R[X][Y ] と定義
する．n 変数多項式環も同様に定義する．
(3) n ≥ 2 とし，Mn (R) = {R の元を成分にもつ n 次正方行列全体 } とおくと，
行列の足し算を加法，掛け算を乗法とする環になる．この環は一般に非可換である．
(4) (ハミルトンの四元数体) H を 1, i, j, k を基底とする R 上の 4 次元ベクトル空
間とし，乗法を次のように定義する．1 は単位元, i2 = j 2 = k 2 = −1, ij = −ji = k,
ik = −ki = −j, jk = −kj = i. このとき H は加除環．
定義 2.4. R を環とする．M をアーベル群とし，その演算を +，単位元を 0 で表す．
M が左 R 加群 (left R-module) とは，写像 Ψ : R×M → M が存在して，rx := Ψ(r, x)
と書いたとき，次を満たす．Ψ を M のスカラー乗法 (scalar multiplication) と言う．
(1) 任意の x ∈ M に対し，1x = x.
(2) 任意の a, b ∈ R, x ∈ M に対し，a(bx) = (ab)x (i.e. Ψ(a, Ψ(b, x)) =
Ψ(ab, x)).
(3) 任意の a, b ∈ R, x ∈ M に対し，(a + b)x = ax + bx.
(4) 任意の a ∈ R, x, y ∈ M に対し，a(x + y) = ax + ay.
M が右 R 加群 (right R-module) とは，写像 Ψ : R × M → M が存在して，
xr := Ψ(r, x) と書いたとき，次を満たす．
(1)’ 任意の x ∈ M に対し，x1 = x.
(2)’ 任意の a, b ∈ R, x ∈ M に対し，(xb)a = x(ba) (i.e. Ψ(a, Ψ(b, x)) =
Ψ(ba, x)).
(3)’ 任意の a, b ∈ R, x ∈ M に対し，x(a + b) = xa + xb.
(4)’ 任意の a ∈ R, x, y ∈ M に対し，(x + y)a = xa + ya.
R が可換環のときは，右加群=左加群なので，単に R 加群と言う．
注意 2.5. (1) R 自身は左 R 加群かつ右 R 加群である．
(2) R が体のとき，R 加群とは R 上のベクトル空間のことに他ならない．
(3) R = Z のとき，R 加群とはアーベル群のことに他ならない．
定義 2.6. M , N を左 R 加群する．写像 f : M → N が R 準同型であるとは，
(1) 任意の x, y ∈ M に対し，f (x + y) = f (x) + f (y).
(2) 任意の a ∈ R, x ∈ M に対し，f (ax) = af (x).
6
R 準同型 f : M → N が全単射のとき，f は R 同型と言い，M ∼
= N と記す．
注意 2.7. (1) R が体のときは，R 準同型とは k 上の線形写像のことに他ならな
い．
(2) R = Z のときは，R 準同型とはアーベル群の群準同型に他ならない．
ベクトル空間の場合と異なり，一般に加群の基底は存在しない．基底が存在する
加群を自由加群と言う．
定義 2.8. R を環とし，M を左 R 加群とする．
(1) {xλ }λ∈Λ (xλ ∈ M ) が M の生成系 (system of generators) とは，任意の元
y ∈ M に対し，
∑n {xλ }λ∈Λ の有限部分集合 xλ1 , . . . , xλn と a1 , . . . , an ∈ R が存
在し，y = i=1 ai xλi と書けること．Λ が有限集合のとき，M は (左 R 加
群として) 有限生成 (finitely generated) であると言う．
(2) M が自由 R 加群 (free R-module) とは，次を満たす M の生成系 {xλ }λ∈Λ
(xλ ∈ M
∑)nが存在すること．{xλ }λ∈Λ の任意の有限部分集合 xλ1 , . . . , xλn に
対し， i=0 ai xλi = 0 となる a1 , . . . , an ∈ R は a1 = · · · = an = 0 に限る．
{xλ }λ∈Λ を M の自由基底 (free basis) と言う．
定義
⊕ 2.9. R を環とし，Λ を添字集合とする．左 R 加群の族 {Mλ }λ∈Λ の直和 (direct
sum) λ∈Λ Mλ を次のように定義する．
⊕
Mλ := {(xλ )λ∈Λ | xi ∈ Mλ は有限個の λ を除いて，xλ = 0}.
⊕
λ∈Λ
λ∈Λ
Mλ に加法とスカラー乗法を次のように定義する．
(xλ )λ∈Λ + (yλ )λ∈Λ := (xλ + yλ )λ∈Λ
⊕
r · (xλ )λ∈Λ := (rxλ )λ∈Λ
これによって
λ∈Λ Mλ は左 R 加群の構造を持つ．
⊕
R
は左
(右) R 加群の構造を持つ．任意の µ ∈ Λ に対し，eµ := (eµ,λ )λ∈Λ ∈
⊕ λ∈Λ
λ∈Λ R を
{
1 if λ = µ
eµ,λ =
0 if λ ̸= µ
⊕
と定義すると，
{eµ }µ∈Λ を
λ∈Λ R は {eµ }µ∈Λ を基底とする自由 R 加群である．
⊕
⊕
R
を
R⊕n とも
R
の標準基底と言う．
Λ
が位数
n
の有限集合の場合は，
λ∈Λ
λ∈Λ
書く．
命題 2.10. M を左 R 加群とする．
⊕
(1) M が自由 R 加群であることと，ある添字集合 Λ と R 同型 M ∼
= λ∈Λ R が
存在することは同値．
(2) M が有限生成であることと，ある n ∈ N と全射 R 準同型 f : R⊕n ↠ M が存
在することは同値．
⊕
証明. ⊕
(1) M の自由基底を {xλ }λ∈Λ とし， λ∈Λ R の標準基底を {eλ }λ∈Λ とする．
このとき λ∈Λ R → M を eλ → xλ と定義すれば良い．
(2) R⊕n の標準基底を e1 , . . . , en としたとき，xi := f (ei ) ∈ M とおくと，f が
全射なので x1 , . . . , xn は M の生成系になる．よって M は有限生成．逆は (1) と同
様．
□
7
例 2.11. (1) n ≥ 1 のとき，Z/nZ は有限生成 R 加群だが，自由 R 加群ではない．
(2) R[X] は {X i }i∈Z≥0 を基底とする自由 R 加群．
定義 2.12. R を環とし，M を左 R 加群，N を M の部分集合とする．N が R の
部分 R 加群 (R-submodule) であるとは，
(1) N はアーベル群 M の部分群，
(2) 任意の r ∈ R と x ∈ N に対し，rx ∈ N
を満たす．これは M の加法 (アーベル群としての演算) とスカラー乗法で N が左
R 加群になることに他ならない．左 R 加群 R の部分 R 加群を R の左イデアル (left
ideal) と言う．右イデアルも同様に定義する．左イデアルかつ右イデアルのとき，両
側イデアル (two-sided ideal) と言う．
注意 2.13. (1) R が体のとき，R のイデアルは {0} か R のみである．
(2) R = Z のとき，R のイデアルは nZ (n ∈ Z) という形をしている．このような環
を PID と言う．
定義 2.14. R を環とする．
(i) R が整域 (integral domain) とは，任意の x, y ∈ R \ {0} に対し xy ̸= 0 が成
り立つこと．
(ii) R を可換な整域とする．R が単項イデアル整域 (Principal ideal domain, 略
して PID) とは，R の全てのイデアルは 1 つの元からなる生成系を持つこと．
(iii) R を可換環とし，
∑r I ⊂ R をイデアルとする．f1 , . . . , fr ∈ I が I の生成系 (つ
まり，I = i=1 Rfi ) のとき，I = (f1 , . . . , fr ) と書く．
例 2.15. k を体とすると，k[X] は PID.
∑
証明. 任意の非零多項式 f = i ai X i ∈ k[X] に対し，f の次数 (degree) deg f を
deg f := max{i ∈ Z≥0 | ai ̸= 0} と定義する．f = 0 のときは，deg f := −∞ と定義
する．
任意の非零イデアル I ⊂ k[X] に対し，d0 := min{deg f | 0 ̸= f ∈ I} ≥ 0 とお
く．g ∈ I を deg g = d0 となる多項式とする．任意の f ∈ I は f (X) = g(X)h(X) +
r(X) (h, r ∈ k[X], deg r < d0 ) と書けるが，I はイデアルなので，r = f − gh ∈ I. d0
の最小性より，r = 0 となり，f ∈ (g). 逆に，g ∈ I より，(g) ⊂ I. 従って I = (g). □
命題 2.16. M を左 R 加群，N を M の部分 R 加群とする．M, N をアーベル群と
見たとき，アーベル群 M/N が定義できる．つまり，
M/N = {x + N | x ∈ M },
x, y ∈ M に対し (x + N ) + (y + N ) = (x + y) + N.
この M/N に次のようにスカラー乗法を定義する．
r ∈ R, x + N ∈ M/N に対し r(x + N ) := rx + N ∈ M/N.
これは well-defined で，このスカラー乗法によって M/N は左 R 加群になる．
証明. well-defined であることを示す．x + N = y + N のとき，任意の r ∈ M に
対し rx + N = ry + N を示せば良い．x + N = y + N より，y − x ∈ N . N は部分
R 加群なので，ry − rx = r(y − x) ∈ N となり，rx + N = ry + N .
□
8
定理 2.17. f : M → N を R 準同型とする．
ker f := {x ∈ M | f (x) = 0} ⊂ M,
Im f := {f (x) | x ∈ M } ⊂ N
とおくと，ker f は M の部分 R 加群，Im f は N の部分 R 加群．さらに
f : M/ ker f → Im f
x + ker f → f (x)
は R 同型．
□
証明. 証明は他の準同型定理と同様．
定義 2.18. A, B を環とする．写像 f : A → B が環準同型 (ring homomorphism)
とは，
(1) 任意の x, y ∈ R に対し，f (x + y) = f (x) + f (y),
(2) 任意の x, y ∈ R に対し，f (ab) = f (a)f (b),
(3) 1A (resp. 1B ) を A (resp. B) の単位元とすると，f (1A ) = 1B
を満たす．環準同型 f : A → B が全単射のとき，f は環同型であると言い，A ∼
=B
と記す．
定義 2.19. B を環とする．部分集合 A ⊂ B が B の部分環 (subring) であるとは，
B の加法・乗法で A が環になること．つまり，A はアーベル群 B の部分群で，R の
単位元を 1 としたとき 1 ∈ S, 任意の x, y ∈ S に対し xy ∈ S が成り立つ．
命題 2.20. R を環，I を R の両側イデアルとする．I を R の部分アーベル群と見
て，剰余アーベル群 R/I が定義できる．つまり，
R/I = {x + I | x ∈ R},
x, y ∈ R に対し (x + I) + (y + I) = (x + y) + I.
この R/I に次のように乗法を定義する．
x + I, y + I ∈ R/I に対し (x + I)(y + I) := xy + I ∈ R/I.
これは well-defined で，この乗法によって R/I は環になる．
証明. well-defined であることを示す．x + I = x′ + I, y + I = y ′ + I のとき，
xy +I = x′ y ′ +I を示せば良い．y +I = y ′ +I より，y −y ′ ∈ I. I は左イデアルなので，
xy−xy ′ = x(y−y ′ ) ∈ I となる．また x+I = x′ +I より，x−x′ ∈ I. I は右イデアルで
もあるので，I ∋ (x−x′ )y ′ = xy ′ −x′ y ′ ．従って，xy−x′ y ′ = (xy−xy ′ )+(xy ′ −x′ y ′ ) ∈ I
となり，xy + I = x′ y ′ + I が成り立つ．
□
定理 2.21. f : A → B を環準同型とする．
ker f := {x ∈ A | f (x) = 0} ⊂ A,
Im f := {f (x) | x ∈ A} ⊂ B
とおくと，ker f は R の両側イデアル，Im f は B の部分環．さらに
f : A/ ker f → Im f
は環同型．
9
x + ker f → f (x)
証明. ker f が A の両側イデアルになることを確かめる．命題 1.11 (2) より，ker f
はアーベル群 A の部分群になる．任意の a ∈ A と x ∈ ker f に対し，f (ax) =
f (a)f (x) = 0 より，ax ∈ ker f . 同様に xa ∈ ker f も成り立つ．よって ker f は
A の両側イデアル．
次に f が well-defined で単射であることを確認する．x + ker f = y + ker f であ
ることと f (x) = f (y) であることの同値性を確認すれば良いが，
x + ker f = y + ker f ⇐⇒ x − y ∈ ker f ⇐⇒ f (x) − f (y) = f (x − y) = 0.
f が環準同型なので，f も環準同型．f の全射性は明らかなので，定理が従う． □
例 2.22. k を体とし，
f : k[X, Y ] → k[t] X → t2 , Y → t3
となる環準同型を考える (任意の a ∈ k に対し，f (a) = a とする)．Im f = k[t2 , t3 ] ⊂
k[t]．ker f = (Y 2 −X 3 ) ⊂ k[X, Y ]（確認せよ）．準同型定理より，k[X, Y ]/(X 3 −Y 2 ) ∼
=
2 3
k[t , t ].
定義 2.23. R を環とし，
f : Z → R n → 1 + 1 + ··· + 1
n
という環準同型を考える．ker f は Z のイデアルなので，ker f = nZ となる n ∈ Z≥0
が存在する．この n を R の標数 (characteristic) と言う．
命題 2.24. R が整域ならば，R の標数は 0 もしくは素数．
証明. n を R の標数とし，n ̸= 0 とする．環の準同型定理より Z/nZ ∼
= Im f ⊂ R
となるが，整域の部分環は整域なので，Z/nZ も整域．n が素数でないとすると，
n = pq となる整数 n > p, q ≥ 2 が存在する．p + nZ, q + nZ は Z/nZ の非零元で，
(p + nZ)(q + nZ) = pq + nZ = 0 + nZ となるので，Z/nZ が整域であることに反す
る．
□
定義 2.25. K を体とする．任意の f (T ) ∈ K[T ] が
f (T ) = β(T − α1 )(T − α2 ) · · · (T − αd ) (αi , β ∈ K, β ̸= 0)
と書けるとき，K を代数閉体 (algebraically closed field) と言う．
例 2.26. C は標数 0 の代数閉体．p が素数のとき Z/pZ は標数 p の体（代数閉体
ではない）．
3. 群の表現
この節では，群の表現について学ぶ．群の表現とは，抽象的な群をより馴染みの
ある行列を使って「表現」することである．
定義 3.1. G を群とし，V を体 K 上のベクトル空間とする．
GL(V ) := {f : V → V | f は K 線形同型 }
とする．このとき，群準同型 ρ : G → GL(V ) のことを G の K 上の表現 (representation) と言い，V を ρ の表現空間 (representation space)，dim V を ρ の次元
(dimension) と言う．(V, ρ) のことを表現と言うこともある．群準同型が文脈から明
らかな場合は，しばしば ρ を省略して，単に V のことを表現と言う．
10
注意 3.2. dim V = n ならば，GL(V ) ∼
= GLn (K)（群同型）.
例 3.3. (1) G → K × := K \ {0} g → 1 は群準同型．これを G の自明な表現
(trivial representation) と言う．
(2) Sn → K × σ → sgn(σ) は群準同型．これを Sn の符号表現 (sign representation)
と言う．
(3) σ ∈ Sn に対し，(σ(i), i) 成分が 1 で他の成分が 0 の行列を σ の置換行列と言い，


(
)
0 1 0
1 2 3
Pσ と書くことにする．例えば，σ =
∈ S3 ならば，Pσ =  0 0 1 .
3 1 2
1 0 0
∑n
n
V := {(x1 , . . . , xn ) ∈ K | i=1 xi = 0} とおくと，V は n − 1 次元ベクトル空間で，
Pσ (V ) = V . よって
ρ : Sn → GL(V ) σ → Pσ
という写像を考えることができる．Pσ Pτ = Pσ◦τ より，これは群準同型になる．つ
まり ρ は Sn の表現．これを Sn の標準表現 (standard representation) と言う．
定義 3.4. G を群，V1 , V2 を体 K 上のベクトル空間とする．ρ1 : G → GL(V1 ), ρ2 :
G → GL(V2 ) を G の表現とする．ρ1 と ρ2 が同値 (equivalent) もしくは同型 (isomorphic) とは，K 線形同型 f : V1 → V2 が存在して，任意の g ∈ G に対し ρ2 (g) =
f ◦ ρ1 (g) ◦ f −1 が成り立つことを言う．
Vy 1
ρ1 (g)
G V1
f −1
V2
ρ2 (g)
f
G V2
このとき，ρ1 ∼
= ρ2 と書く．
定義 3.5. G を群，V を体 K 上のベクトル空間，ρ : G → GL(V ) を G の表現と
する．
(1) W ⊂ V を部分ベクトル空間し，任意の g ∈ G に対し ρ(g)(W ) = W が成り
立つとき，
ρW : G → GL(V ) g → ρ(g)|W
を ρ の部分表現 (subrepresentation) と言う．
(2) ρ の部分表現 ρW : G → GL(W ) とすると，W = {0} もしくは W = V とな
るとき，ρ は既約 (irerducible) であると言う．
例 3.6. 1 次元表現は既約．
定義 3.7. G を群とし，K を体とする．このとき G の K 上の群環 (group ring)
K[G] とは，G の元を基底とする自由 K 加群



∑
K[G] :=
ag g ag ∈ K, g ∈ G


有限和
に，次のように乗法を定義したものである．ただし全ての g に対し ag = 0 のときは
∑
ag g = 0 ∈ K と同一視する．
任意の a, b ∈ K, g, h ∈ G に対し，
(ag)(bh) := (ab)(gh)
11
K[G] は 1e (1 は K の単位元，e は g の単位元) を単位元とする環になる．
（左）K[G]
加群のことを K 上の（左）G 加群とも言う．
ρ : G → GL(V ) を G の表現とし，V をその表現空間とする．V に次のようにス
カラー乗法を定義する．
(
)
∑
∑
∑
任意の
ag g ∈ K[G], v ∈ V に対し，
ag g · v :=
ag ρ(g)(v)
g
g
g
これによって，V を左 K[G] 加群と見なすことができる．
逆に W を左 K[G] 加群とする．任意の λ ∈ K と w ∈ W に対し，
λ · w := (λe)w
(e は G の単位元)
とスカラー乗法を定めることにより，W は K 上のベクトル空間と見なせる．この
とき，任意の g ∈ G に対し，次のように W の間の K 線形写像を定める:
ρ(g) : W → W
w → (1K g)w
(1K は K の単位元)
ρ(g −1 ) は ρ(g) の逆写像を与えるので，ρ(g) は K 線形同型．従って，g → ρ(g) とい
う対応を考えると，G の W 上の表現が得られる．
定義 3.8. R を環とし，M を左 R 加群とする．M の部分 R 加群が {0} と M のみ
しか存在しないとき，M を単純 (simple) と言う．
命題 3.9. G を群，K を体とし，ρ : G → GL(V ) を G の K 上の表現とする．
(1) (G の K 上の表現) = (左 K[G] 加群)．
(2) G の表現 ρi に対応する K[G] 加群を Vi と書いたとき，
ρ1 ∼
= ρ2 ⇐⇒ V1 ∼
= V2 (K[G] 加群として).
(3) (ρ の部分表現)=(V の部分 K[G] 加群).
(4) (G の K 上の既約表現)=(単純 K[G] 加群).
証明. (1) は既に証明した．(3), (4) も同様なので，(2) のみ証明する．
ρ1 ∼
= ρ2 とすると，定義から K 線形同型 f : V1 → V2 が存在して，任意の g ∈ G
に対し ρ2 (g) = f ◦ ρ1 (g) ◦ f −1 が成り立つ．このとき，任意の g ∈ G と v1 ∈ V1 に
対し，
g · f (v1 ) = ρ2 (g)(f (v1 )) = f (ρ1 (g)(v1 )) = f (g · v1 )
が成り立つので，f が K[G] 準同型．よって，K[G] 加群として，V1 ∼
= V2 . 逆も同
様．
□
定義 3.10. R を環，M を左 R 加群とし，N1 , N2 を M の部分 R 加群とする．M =
N1 ⊕ N2 (∼
= ではなく = であることに注意) とは，
N1 ⊕ N2 → M
(x1 , x2 ) → x1 + x2
が R 同型であることである．これは，M = N1 + N2 := {x1 + x2 | x1 ∈ N1 , x2 ∈ N2 }
でかつ N1 ∩ N2 = {0} であることと同値．
定理 3.11 (Maschke の定理). G を有限群，K を標数 p ≥ 0 の体とし，|G| は p で
割り切れないと仮定する．ρ : G → GL(V ) を G の有限次元表現，ρW : G → GL(W )
を ρ の部分表現とすると，ρ の部分表現 ρW ′ : G → GL(W ′ ) で，V = W ⊕ W ′ を満
たすものが存在する．
12
証明. πW : V → W をベクトル空間の射影とし，
1 ∑
f :V →W v→
ρ(g)−1 (πW (ρ(g)(v)))
|G|
g∈G
とおく．|G| は p で割り切れないので，1/|G| ∈ K. f が K[G] 準同型であること確認
する．任意の h ∈ G と v ∈ V に対し，
1 ∑
1 ∑
f (h · v) =
ρ(g)−1 (πW (ρ(g)(ρ(h)(v)))) =
ρ(g)−1 (πW (ρ(gh)(v)))
|G|
|G|
g∈G
1 ∑
ρ(h)ρ(h)−1 (ρ(g)−1 πW (ρ(gh)(v)))
=
|G| g∈G
(
)
1 ∑
= ρ(h)
ρ(gh)−1 πW (ρ(gh)(v))
|G| g∈G
g∈G
= h · f (v)
となるので，f は K[G] 準同型．よって W ′ := ker f ⊂ V とおくと，W ′ は V の部
分 K[G] 加群，つまり，ρ′W : G → GL(W ′ ) は ρ の部分表現になる．また，任意の
w ∈ W に対し，
1 ∑
1 ∑
1 ∑
f (w) =
ρ(g)−1 (πW (ρ(g)(w))) =
ρ(g)−1 (ρ(g)(w)) =
w=w
|G|
|G|
|G|
g∈G
g∈G
g∈G
が成り立つ．任意の v ∈ V に対し，f (v) ∈ W より，
f (v − f (v)) = f (v) − f (f (v)) = f (v) − f (v) = 0
となるので，v − f (v) ∈ W ′ . v = f (v) + (v − f (v)) と書けるので，V = W + W ′ .
w ∈ W ∩ W ′ とすると，0 = f (w) = w となるので，W ∩ W ′ = {0}. 以上より，
V = W ⊕ W ′.
□
注意 3.12. 「|G| は p で割り切れない」という仮定を外すと，反例がある．例え
ば，p を素数とし，K = Z/pZ とする．また G =< g > を位数 p の巡回群とする．
(
)
1 i
i
ρ : G → GL2 (K) g →
0 1
という 2 次元表現を考えると，これは既約ではないが，1 次元表現の直和で書くこ
とはできない．
系 3.13. G を位数 g の有限群，K を標数 p ≥ 0 の体とし，g は p で割り切れない
と仮定する．このとき，G の有限次元表現 ρ : G → GL(V ) は
̸= Wj )
V ∼
= W ⊕m1 ⊕ · · · ⊕ W ⊕mr (ρW : G → GL(Wi ) は既約表現，i ̸= j ならば Wi ∼
1
r
i
と書ける．これを表現 V の既約分解と言う．また mi を V における Wi の重複度と
言い，[V : Wi ] と書く．
定義 3.14. R を環とし，M, N を左 R 加群とする．このとき，
HomR (M, N ) := {f : M → N | f は R 準同型 }
とおく．HomR (M, N ) はアーベル群の構造を持つ．実際，f, g ∈ HomR (M, N ) に対
し，(f + g)(x) = f (x) + g(x) (x ∈ M ) と f + g ∈ HomR (M, N ) を定義すれば良い（単
13
位元は零射 0）．R = K[G] で, M = V, N = W が K[G] 加群のとき，HomR (M, N )
を HomG (V, W ) と書く．
HomR (M, M ) を EndR (M ) と書く．写像の合成で乗法を定義すると，EndR (M )
は環になる．R = K[G] で, M = V が K[G] 加群のとき，EndR (M ) を EndG (V ) と
書く．
注意 3.15. HomR (M, N ) は一般に左 R 加群の構造を持たない．R が可換環ならば，
HomR (M, N ) は R 加群の構造を持つ．
定理 3.16 (Schur の補題). G を群とし，ρ1 : G → GL(V1 ), ρ2 : G → GL(V2 ) を G
の既約表現とする．
(1) HomG (V1 , V2 ) ̸= {0} ⇐⇒ ρ1 ∼
= ρ2 .
(2) K を代数閉体とし，ρ : G → GL(V ) を G の有限次元表現とする．このとき，ρ
が既約ならば，EndG (V ) ∼
= K. さらに，G が有限群で |G| が K の標数で割り切れな
いならば，逆も正しい．
証明. (1) (⇐) は明らかなので，(⇒) を示す．0 ̸= f ∈ HomG (V1 , V2 ) をとる．
Im f は V2 の部分 K[G] 加群だが，仮定より V2 は単純 K[G] 加群なので，f ̸= 0 より，
Im f = V2 . つまり f は全射．ker f は V1 の部分 K[G] 加群だが，仮定より V1 は単純
K[G] 加群なので，f ̸= 0 より，ker f = {0}. つまり f は単射．よって f は同型．
(2) (⇒) K → EndG (V ) t → (v → tv) は自然な環準同型で，単射は明らか．任意の
0 ̸= f ∈ EndG (V ) を 1 つ固定する．f : V → V は K 線形写像なので，K の元を成分に
持つ行列と見なせる．t を f の固有値の 1 つとすると，K は代数閉体なので，t ∈ K. こ
こで f −t·idV ∈ EndG (V ) に注意すると，W := ker(f −t·idV ) = {v ∈ V | f (v) = tv}
は V の部分 K[G] 加群であり，t は f の固有値なので W ̸= {0}. しかし (V, ρ) は既約
表現だったので，V は単純 K[G] 加群である．よって W = V とならざるを得ない．
これは任意の v ∈ V に対し，f (v) = tv を意味する．つまり，K → EndG (V ) は全射．
(⇐) Maschke の定理より，V ∼
= W1⊕m1 ⊕ · · · ⊕ Wr⊕mr (ρWi : G → GL(Wi ) は既約
表現，i ̸= j ならば Wi ∼
̸= Wj ) と書ける．Hom と有限直和の可換性より，
EndG (V ) ∼
=
⊕
HomG (Wi , Wj )
⊕mi mj
=
i,j
r
⊕
HomG (Wi , Wi )
m2i
∼
=
i=1
r
⊕
K ⊕mi
2
i=1
という K ベクトル空間の同型が得られる．真ん中の等号は (1) から，一番右の同型
∼
は (2) の前半の主張から従う．仮定より
G (V ) = K なので，K ベクトル空間とし
∑r End
2
ての次元を比較することにより， i=1 mi = 1 が得られる．つまり，ある 1 ≤ i ≤ r
が存在して，mi = 1 かつ任意の j ̸= i に対し mj = 0. このとき V ∼
= Wi となるので，
ρ : G → GL(V ) は既約．
□
系 3.17. G を有限群，K を標数 p ≥ 0 の代数閉体とし，|G| は p で割り切れない
と仮定する．ρ : G → GL(V ) を G の有限次元表現とし，ρW : G → GL(W ) を既約
部分表現とする．このとき，[V : W ] = dimK HomG (W, V ) = dimK HomG (V, W ).
アーベル群の代数閉体上の既約表現はすべて 1 次元表現である．
例 3.18. G をアーベル群，K を代数閉体とし，ρ : G → GL(V ) を G の有限次元
既約表現とする．任意の g ∈ G を 1 つ固定する．ρ(g) : V → V は K 上の線形写像．
任意の v ∈ V と任意の h ∈ G に対し，G がアーベル群であることに注意すると，
h · ρ(g)(v) = ρ(h)(ρ(g)(v)) = ρ(hg)(v) = ρ(gh)(v) = ρ(g)(ρ(h)(v)) = ρ(g)(h · v)
14
なので，ρ(g) は K[G] 準同型．つまり，ρ(g) ∈ EndG (V ). これより，Schur の補題 (2)
から，ある t(g) ∈ K が存在して，ρ(x) = (v → t(g)v) と書ける．任意の 0 ̸= v ∈ V を
とり，W := Kv ⊂ V とおく．任意の g ∈ G と w ∈ W に対し，ρ(g)(w) = t(g)w ∈ W
より，W は (V, ρ) の部分表現．ρ の既約性より，V = W となる．つまり，dim V = 1.
定義 3.19. G を群とし，x, y ∈ G とする．x と y が共役 (conjugate) とは，ある
g ∈ G が存在して，y = g −1 xg と書けるときに言う．このとき x ∼ y と書く．任意の
x ∈ G に対し，
OG (x) := {y ∈ G | x ∼ y}
と定義し，この集合を x の共役類 (conjugacy class) と言う．
注意 3.20.
OG (x) ∩ OG (y) ̸= ∅ ⇐⇒ x ∼ y ⇐⇒ OG (x) = OG (y)
実際，g ∈ OG (x) ∩ OG (y) とすると，ある hx , hy ∈ G が存在して，g = h−1
x xhx ,
−1
−1
−1
−1 −1
−1
g = hy yhy が成り立つ．よって y = hy (hx xhx )hy = (hx hy ) x(hx hy ) となるの
で，x ∼ y.
⨿
注意 3.20 から，{xi }i∈I が存在して，G = i∈I OG (xi ) (disjoint union) と書ける．
|I| を G の共役類の個数と言う．
例 3.21. (1) G をアーベル群とする．このとき x ∼ y ならば x = y なので，
OG (x) = {x} である. よって G の共役類の個数と |G| は一致する．
(2) S3 の共役類は，{e}, {(1 2), (1 3), (2 3)}, {(1 2 3), (1 3 2)} の 3 つ．例えば，
(
) (
)(
)(
)
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
(1 2) =
=
2 1 3
2 3 1
3 2 1
3 1 2
(
)−1
(
)
1 2 3
1 2 3
=
(1 3)
3 1 2
3 1 2
より，(1 2) ∼ (1 3).
例 3.21 (1) より，OG (x) の元の個数は x の非可換性の尺度と見なすこともできる．
定義 3.22. G を群，K を体とする．
∑
∑
ah gh)
ρreg : G → GL(K[G]) g → (
ah h →
h∈G
h∈G
という群準同型を，G の（左）正則表現 (regular representation) と言う．これは
（左）K[G] 加群 K[G] に対応する表現である．
定理 3.23 (Wedderburn の構造定理の特別な場合). G を有限群，K を標数 p ≥ 0
の代数閉体とし，|G| は p で割り切れないとする．
K[G] ∼
= W ⊕m1 ⊕ · · · ⊕ W ⊕mr
1
r
を G の左正則表現の既約分解とする．
(1) 次の環同型が存在する．
K[G] ∼
= Mm1 (K) × Mm2 (K) × · · · × Mmr (K)
∑
(2) mi = dimK Wi であり，|G| = ri=1 (dimK Wi )2 が成り立つ．
15
(3) r = (G の互いに同値でない既約表現の個数) = (G の共役類の個数). 特に，
G の全ての既約表現は，同値な表現を同一視すると，G の左正則表現の既約分解に
現れる．
定義 3.24. R を環とする．
Z(R) := {x ∈ R | 任意の r ∈ R に対し，
rx = xr}
を R の中心 (center) と言う．Z(R) は R の部分環になる．
定義 3.25. 環 R の反対環 (opposite ring) Rop とは，次の 2 条件を満たす環であ
る．
(i) アーベル群としては，Rop = R.
(ii) Rop の乗法 · を次のように定義する: 任意の x, y ∈ Rop = R に対し，x · y := yx ∈
R = Rop ．
注意 3.26. (1)
φ : Rop → EndR (R) r → (x → xr)
は自然な環同型．実際，φ(r)φ(s) = (x → xs → xsr)，φ(r · s) = φ(sr) = (x → xsr)
なので，φ(r)φ(s) = φ(r · s) となり，φ は環準同型．φ の単射性は明らかなので，全射
性を証明する．任意の f ∈ EndR (R) に対し，f (1) = r とおく．f は R 準同型なので，
任意の x ∈ R に対し，f (x) = f (x · 1) = xf (1) = xr となる．つまり，f = (x → xr)
なので，f は全射．
(2) K を体とすると，Mn (K)op ∼
= Mn (K). 実際，Mn (K)op → Mn (K) A → t A
という写像を考えると，A · B = BA → t (BA) = t At B より，これは環同型を与える．
定理の証明. (1) Vi := Wi⊕mi とおく．定理 3.16 (Schur の補題) より，i ̸= j なら
ば HomG (Vi , Vj ) ∼
= HomG (Wi , Wj )⊕mi mj = 0 であることに注意すると，
EndG (K[G]) ∼
= EndG (V1 ) × · · · × EndG (Vr ).
V i := Wi⊕mi より，Schur の補題を使うと，EndG (Vi ) ∼
= Mmi (EndG (Wi )) ∼
= Mmi (K)
という環同型が得られる．以上をまとめると，
op
K[G] = (K[G]op )op ∼
= EndG (K[G])op ∼
= (Mn (K) × · · · × Mn (K))
r
1
= Mn1 (K)op × · · · × Mnr (K)op
∼
= Mn (K) × · · · × Mn (K).
1
r
(2) K ベクトル空間の同型
HomG (K[G], Wi ) ∼
= Wi
(x → xwi ) → wi
があるので，Schur の補題より，ni = dimK HomG (K[G], Wi ) = dimK Wi が成り立
つ．K[G] は {g}g∈G を基底とする K ベクトル空間であることに注意して，
∑r (1) の両辺2
∑r
2
の K ベクトル空間としての次元を比較すると，|G| = i=1 mi = i=1 (dimK Wi )
が得られる．
(3) まず r = (G の互いに同値でない既約表現の個数) を示す．G の任意の既約表
現 (V, ρ) に対し，ある 1 ≤ i ≤ r が存在し，V ∼
= Wi（K[G] 加群の同型）となること
を示せば良い．0 ̸= v ∈ V を 1 つ固定し，
φ : K[G] → V
16
x → xv
という K[G] 準同型を考える．0 ̸= Im φ ⊂ V だが，V は単純 K[G] 加群なので，
V = Im φ. つまり φ は全射．任意の 1 ≤ i ≤ r に対し，V ∼
̸= Wi とすると，Schur の
補題より，HomG (Wi , V ) = {0}. 従って
φ ∈ HomG (K[G], V ) ∼
=
r
⊕
HomG (Wi , V )⊕mi = {0}
i=1
となるが（真ん中は K ベクトル空間としての同型），φ は全射なのでこれは矛盾．
次に r = (G の共役類の個数) を示す．(1) の環同型の両辺の中心を比較する．
Z(Mmi (K)) = {A ∈ Mmi (K) | 任意の B ∈ Mmi (K) に対し，
BA = AB}
= {λEn | λ ∈ K}
より，K ベクトル空間として，Z(Mmi (K)) ∼
= K. 従って (1) の右辺の中心は
Z(Mm1 (K) × Mm2 (K) × · · · × Mmr ) = Z(Mm1 (K)) × · · · × Z(Mmr (K)) ∼
= Kr.
∑
一方 g∈G ag g ∈ Z(K[G]) とすると，任意の h ∈ G に対し，
(
)
∑
∑
∑
ag g = h−1
ag g h =
ag (h−1 gh)
g∈G
g∈G
g∈G
が成り立つ．K[G] は {g}g∈G を基底とする K ベクトル空間なので，基底の係数を
比較すると，任意の g, h ∈ G に対し ag = ah−1 gh を得る．つまり，
⨿s x ∼ y ∈ G な
らば，a∑
s とし，G = i=1 OG (gi ) とする．
x = ay が成り立つ．G の共役類の個数を
∑
∑
c(gi ) = h∼gi 1h ∈ K[G] とおくと， g∈G ag g = si=1 agi c(gi ).
∑s
逆に i=1 bi c(gi ) ∈ K[G] (bi ∈ K) という元を考えると，任意の h ∈ G に対し，
( s
)
s
s
∑
∑
∑
−1
−1
h
bi c(gi ) h =
bi (h c(gi )h) =
bi c(gi ).
よって
∑s
i=1 bi c(gi )
i=1
i=1
i=1
∈ Z(K[G]). まとめると，(1) の左辺の中心は，
Z(K[G]) = {
s
∑
ai c(gi ) | ai ∈ K} ∼
= Ks
i=1
（最後は K ベクトル空間としての同型）. 以上より，r = s を得る．
□
例 3.27. K を標数 p ≥ 0 の代数閉体とし，|G| は p で割り切れないとする．
(1) G を有限アーベル群とする．G の共役類の個数を
G はアーベル
∑r r とおくと，
2
群なので，r = |G|．一方，定理 3.23 (3) より |G| = i=1 (dimK Wi ) なので，任意
の i = 1, . . . , r に対し dimK Wi = 1. つまり，G はちょうど |G| 個の既約表現を持ち，
全て 1 次元である（アーベル群の既約表現が 1 次元であることは例 3.18 で示したが，
この仮定の下では定理 3.23 からも従う）．
(2) 定理 3.23 (1) より，r, m1 , · · · , mr ∈ N が存在して，K[S3 ] ∼
= Mm1 (K) × · · · ×
Mmr (K) と書ける．S3 は非可換なので，
m
=
·
·
·
=
m
=
1
ということはあり得な
1
r
∑r
い．定理 (3) から 6 = |S3 | = i=1 m2i なので，m1 = m2 = 1, m3 = 2 となる．従って
K[S3 ] ∼
= K × K × M2 (K)
で，S3 はちょうど 3 つの既約表現を持ち，2 つは 1 次元で 1 つは 2 次元である．
17
4. 群の指標
この節では G を有限群とし，K = C とする．
定義 4.1. ρ : G → GL(V ) を G の有限次元表現とする．任意の g ∈ G に対し，
ρ(g) の表現行列を A(g) と書くことにする．このとき，関数
χV : G → C g → tr(A(g))
を ρ の指標 (character) と言い，dim V を ρ の次元 (dimension) と言う．V が既約表
現ならば，χ を既約指標 (irreducible character) と言う．
注意 4.2. 任意の A, B ∈ GLn (C) に対し tr(B −1 AB) = tr(A) なので，tr(A(g)) は
表現行列の取り方 A(g) に依らず定まる．つまり χV は well-defined.
指標は複素数値関数であるから，表現よりもはるかに扱いやすい．その上，表現
に関する重要な性質のほとんどは指標を使って調べることができる．
定義 4.3. 関数 f : G → C が類関数 (class function) とは，x ∼ y ならば f (x) =
f (y) を満たす．
注意 4.2 から，指標は類関数である．
命題 4.4. χV を (V, ρ) の指標とする．
(1) e を G の単位元とすると，χV (e) = dim V .
(2) v1 , . . . , vn を V の基底，v1∗ , . . . , vn∗ をその双対基底とすると，任意の g ∈ G に
対し，
n
∑
χV (g) =
vi∗ (ρ(g)(vi )).
i=1
(3) λ ∈ C に対しその複素共役を λ と記すことにすると，任意の g ∈ G に対し，
χV (g) = χV (g −1 ).
証明. (1) ρ は群準同型なので，ρ(e) は GL(V ) の単位元，つまり V 上の恒等写像
である．よって A(g) は単位行列なので，χV (e) = tr(A) = dim V .
(2) 基底 v1 , . . . , vn に関する ρ(g) の表現行列を A(g) = (aij )i,j とおくと，
Vy
Cn
ρ(g)
A(g)
GV
y
vj ✤
G ρ(g)(vj ) =
G Cn
❴
ej ✤
G
y
∑n
y
∑n ❴
i=1
i=1
aij vi
aij ei
より，aij = vi∗ (ρ(g)(vj )) を得る．よって
χV (g) = tr(A(g)) =
n
∑
i=1
aii =
n
∑
vi∗ (ρ(g)(vi )).
i=1
(3) G は有限群なので，g = e となる m ∈ N が存在する．このとき A(g)m = En
となるので，A(g) は対角化可能．A(g) の固有値を λ1 , . . . , λn とおくと，任意の i =
−1
1, . . . , n について λm
i = 1 となる．よって λi = λi なので，
n
n
∑
∑
−1
−1
−1
χV (g) = tr(A(g)) =
λi =
λ−1
i = tr(A(g) ) = tr(A(g )) = χV (g ).
m
i=1
i=1
18
□
命題 4.5. ρV : G → GL(V ), ρW : G → GL(W ) を G の有限次元表現とし，ρV の
指標を χV , ρW の指標を χW とする．
(1) G の表現
ρV ⊕W : G → GL(V ⊕ W ) g → ((v, w) → (ρV (g)(v), ρW (g)(w))
の指標を χV ⊕W と書くと，任意の g ∈ G に対し，χV ⊕W (g) = χV (g) + χW (g).
(2) G の表現
ρV ⊗W : G → GL(V ⊗ W ) g → (v ⊗ w → ρV (g)(v) ⊗ ρW (g)(w))
の指標を χV ⊗W と書くと，任意の g ∈ G に対し，χV ⊗W (g) = χV (g)χW (g).
(3) G の表現 ρV ∗ : G → GL(V ∗ ) を
ρV ∗ (g)(f ) = f ◦ ρ(g)−1
(g ∈ G, f ∈ V ∗ = HomC (V, C))
と定義し，これを ρV の双対表現 (dual representation) と言う．ρV ∗ の指標を χV ∗ と
書くと，χV ∗ (g) = χV (g).
証明. (1) ρV (g), ρW (g) の表現行列をそれぞれ AV (g), AW (g) と書くと，ρV ⊗W (g)
の表現行列は
(
)
AV (g)
0
AV ⊗W (g) =
0
AW (g)
となるので，χV ⊗W (g) = tr(AV ⊗W (g)) = tr(AV (g)) + tr(AW (g)) = χV (g) + χW (g).
∗
(2) v1 , . . . , vm を V の基底，w1 , . . . , wn を W の基底とし，v1∗ , . . . , vm
, w1∗ , . . . , wn∗
をそれぞれの双対基底とする．
n
m ∑
∑
(vi ⊗ wj )∗ (ρV ⊗W (g)(vi ⊗ wj ))
ρV ⊗W (g) =
=
i=1 j=1
m ∑
n
∑
(vi∗ ⊗ wj∗ )(ρV (g)(vi ) ⊗ ρW (g)(wj ))
i=1 j=1
=
m ∑
n
∑
vi∗ (ρV (g)(vi ))wj∗ (ρW (g)(wj ))
i=1 j=1
= χV (g)χW (g).
(3) まず ρV ∗ が G の表現であることを確かめる．
ρV ∗ (gh)(f ) = f ◦ ρV (gh)−1 = f ◦ ρV (h)−1 ◦ ρV (g)−1 = ρV ∗ (g)(f ◦ ρV (h)−1 )
= ρV ∗ (g)(ρV ∗ (h)(f ))
より，ρV ∗ は群準同型．
次に指標を計算する．v1 , . . . , vn を V の基底とし，v1∗ , . . . , vn∗ をその双対基底と
する．
n
n
n
∑
∑
∑
∗
∗
−1
χV ∗ (g) =
vi (ρV ∗ (g)(vi )) =
vi (vi ◦ ρ(g) ) =
(vi∗ ◦ ρ(g −1 ))(vi )
i=1
i=1
i=1
−1
= χV (g ) = χV (g).
□
19
例 4.6. (1) 1 次元表現 ρ : G → GL(C) = C× の指標 χ は表現 ρ と一致する．よっ
て任意の g, h ∈ G に対し，χ(g)χ(h) = χ(gh) が成り立つ（2 次元以上では正しくな
い）．特に g ∈ G の位数を m(g) ∈ N とすると，χ(g)m(g) = 1.
(2) (C[G], ρreg ) を G の正則表現とし，その指標を χreg と書くことにする．この
とき，χreg (e) = dim C[G] = |G|．e ̸= g ∈ G とすると，任意の h ∈ G に対し h ̸= gh
なので，
∑
∑
χreg (g) =
h∗ (ρreg (g)(h)) =
h∗ (gh) = 0.
h∈G
h∈G
まとめると，
{
χreg (g) =
|G| (g = e)
0 (g =
̸ e)
(3) V = {(x, y, z) ∈ C3 | x + y + z = 0} とし，(V, ρ) を S3 の標準表現とする．V
は ρC3 : S3 → GL(C3 ) σ → P (σ) の部分表現と見なせる．W = {λ(1, 1, 1) | λ ∈ C}
とおくと，任意の σ ∈ S3 に対し
   
1
1



1 
P (σ) 1
=
1
1
より，ρW : S3 → GL(W ) は (C3 , ρC3 ) の自明な部分表現で，C = V ⊕ W . よって置
換行列 P (σ) の定義から，
χV (σ) = χC3 (σ) − χW (σ) = χC3 (σ) − 1
= tr(P (σ)) − 1 = |{i | σ(i) = i}| − 1
となり，χV (e) = 2, χV ((1 2)) = 0, χV ((1 2 3)) = −1.
定義 4.7. φ, ψ : G → C を類関数とする．⟨φ, ψ⟩ ∈ C を次のように定義する:
1 ∑
⟨φ, ψ⟩ =
φ(g)ψ(g).
|G|
g∈G
次がこの節の主定理である．
定理 4.8. V, W を G の有限次元表現とすると，
⟨χV , χW ⟩ = dimC HomG (V, W ).
定理の証明を始める前に，定理の系を 3 つ挙げる．
系 4.9. V を G の有限次元表現とし，
V ∼
= W ⊕m1 ⊕ · · · ⊕ W ⊕mr
1
r
を V の既約分解とする．このとき，mi = ⟨χV , χWi ⟩.
証明. Schur の補題より mi = dimC HomG (V, Wi ) なので，定理 4.8 から明らか．
□
系 4.10. (V1 , ρV1 ), (V2 , ρV2 ) を G の有限次元表現とすると，
ρV ∼
= ρV ⇐⇒ χV = χV
1
2
1
20
2
証明. (⇐) W1 , . . . , Wr を G の全ての（互いに同値でない）既約表現とし，
V1 ∼
= W ⊕m1 ⊕ · · · ⊕ W ⊕mr , V2 ∼
= W ⊕n1 ⊕ · · · ⊕ W ⊕nr
1
1
r
r
を V1 , V2 の既約分解とする．mi = ⟨χV1 , χWi ⟩ = ⟨χV2 , χWi ⟩ = ni より，V1 ∼
= V2 .
□
系 4.11. V を G の有限次元表現とする．
V は既約表現である ⇐⇒ ⟨χV , χV ⟩ = 1
証明. Schur の補題と定理 4.8 から直ちに従う．
□
定義 4.12. (V, ρ) を G 上の有限次元表現とする．このとき
V G := {v ∈ V | 任意の g ∈ G に対し，
ρ(g)(v) = v}
と定義する．
補題 4.13. (V, ρ) を G の有限次元表現としたとき，
1 ∑
dimC V G =
χV (g).
|G|
g∈G
証明.
π :V →VG
v→
1 ∑
ρ(g)(v)
|G| g∈G
という C 線形写像を考える．任意の w ∈ V G に対し π(w) = w が成り立つので，π
π
は全射．よって U = ker π とおくと，V = V G ⊕ U が成り立つ．V −
→ V G → V を同
じ記号 π で表すことにする．w1 , . . . , wm を V G の基底，u1 , . . . , ul を U の基底とする
と，w1 , . . . , wm , u1 , . . . , ul に関する π の表現行列は
(
)
Em 0
0 0l
となるので，tr(π) = m = dim V G . 一方，v1 , . . . , vn を V の基底とすると，
tr(π) =
n
∑
i=1
vi∗ (π(vi )) =
n
1 ∑∑ ∗
1 ∑
vi (ρ(g)(vi )) =
χV (g).
|G| g∈G i=1
|G| g∈G
□
補題 4.14. (V, ρV ), (W, ρW ) を G の有限次元表現とし，HomC (V, W ) に次のよう
に C[G] 加群の構造を入れる: 任意の g ∈ G と f ∈ HomC (V, W ) に対し，
g · f := ρW (g) ◦ f ◦ ρV (g)−1 ∈ HomC (V, W ).
このとき
HomG (V, W ) = HomC (V, W )G .
証明.
f ∈ HomC (V, W ) が C[G] 準同型 ⇔ 任意の g ∈ G に対し，
f ◦ ρV (g) = ρW (g) ◦ f
⇔ 任意の g ∈ G に対し，
ρW (g) ◦ f ◦ ρV (g)−1 = f
⇔ 任意の g ∈ G に対し，
g · f = f.
□
21
補題 4.15. (V, ρV ), (W, ρW ) を G の有限次元表現としたとき，次の C[G] 同型が
存在する．
HomC (V, W ) ∼
= V∗⊗W
証明.
φ : V ∗ ⊗ W → HomC (V, W ) f ⊗ w → (v → f (v)w)
という C 線形写像を考える．v1 , . . . , vm を V の基底，w1 , . . . , wn を W の基底とする
と，{vi∗ ⊗ wj }i,j は V ∗ ⊗ W の基底，{fji : vi → δij wj }i,j は HomC (V, W ) の基底であ
ることに注意する．φ(vi ⊗ wj ) = fij なので，φ は C 線形写像として同型．後は φ が
C[G] 準同型であることを確かめれば良い．任意の g ∈ G, f ∈ V ∗ , w ∈ W に対し，
g · (φ(f ⊗ w)) = ρW (g) ◦ (v → f (v)w) ◦ ρV (g)−1
= (v → ρV (g)−1 (v) → f (ρV (g)−1 (v))w → f (ρV (g)−1 (v))ρW (g)(w))
= φ((f ◦ ρV (g)−1 ) ⊗ ρW (g)(w)) = φ(g · (f ⊗ w))
より，φ は C[G] 準同型である．
□
定理の証明. χW (g) = χW (g −1 ) より，⟨χV , χW ⟩ = ⟨χW , χV ⟩ であることに注意
する．
dimC HomG (V, W ) = dimC HomC (V, W )G = dimC (V ∗ ⊗ W )G
1 ∑
1 ∑
=
χV ∗ ⊗W (g) =
χV ∗ (g)χW (g)
|G| g∈G
|G| g∈G
1 ∑
χV (g)χW (g) = ⟨χW , χV ⟩ = ⟨χV , χW ⟩.
=
|G| g∈G
□
例 4.16. S3 の既約表現を分類する．例 3.27 (2) より，S3 は 1 次元表現を 2 つ，2 次元
既約表現を 1 つ持つ．1 次元表現のうち，1 つは自明表現 ρ1 : S3 → GL(C) = C× σ →
1 である（どんな群も自明表現を持つ）．対称群は符号表現という 1 次元表現が持つ
ことを既に見たので，もう 1 つの 1 次元表現が符号表現 ρ2 : S3 → C× σ → sgn(σ)
であることもすぐに分かる．残りの 2 次元既約表現を ρ3 とおく．ρ3 はすぐには分
からないので，とりあえず指標を計算する．定理 3.23 から，S3 の正則表現 ρreg は
ρreg = ρ1 ⊕ ρ2 ⊕ ρ⊕2
3 と書けるので，ρreg の指標を χreg , ρi の指標を χi と書くと，
χreg = χ1 + χ2 + 2χ3
が成り立つ．一方で，例 4.6 (2) より，χreg (e) = |S3 | = 6, χreg (σ) = 0 (σ ̸= e) なの
で，上の式から χ3 が計算できる（χ1 , χ2 は 1 次元表現なので，χ1 = ρ1 , χ2 = ρ2 と
なることに注意する）．指標は類関数なので，値は共役類毎に見れば良い．S3 の共
役類は，{e}, {(1 2), (1 3), (2 3)}, {(1 2 3), (1 3 2)} の 3 つだったので，S3 の指標の
値をまとめた表は次のようになる．このような表を指標表 (character table) と言う．
ここで対称群は標準表現という表現を持つことを思い出そう．標準表現が既約表現
であることはまだ証明していないので，ρ3 が標準表現がどうか分からなかった．指
標を使って ρ3 が標準表現
ρ : S3 → GL(V ) σ → P (σ) (V = {(x, y, z) ∈ C3 | x + y + z = 0})
22
σ
|OS3 (σ)|
χ1
χ2
χ3
χreg
e (1 2) (1 2 3)
1
3
2
1
1
1
1 -1
1
2
0
-1
6
0
0
と同値であることを確かめる．ρ の指標を χ とおくと，例 4.6 (3) より，χ(e) = 2,
χ((12)) = 0, χ((1 2 3)) = −1 である．よって χ = χ3 なので，ρ ∼
= ρ3 ．
例 4.17. (1) V := ⟨a, b | a2 = b2 = e, ab = ba⟩ = {e, a, b, ab} ∼
= Z/2Z × Z/2Z の
指標表を求める．V は位数 4 のアーベル群なので，V の既約表現は 1 次元表現が 4
つである．ρ1 を自明表現とし，ρ2 , ρ3 , ρ4 を残りの 1 次元表現とする．ρi の指標を χi
と書くと（1 次元表現だから ρi = χi なので，本当は書き分ける必要はない），任意
の g ∈ V に対し g 2 = e が成り立つので，
χi (g)2 = ρi (g)2 = ρi (g 2 ) = ρi (e) = 1.
よって χi (g) = ±1 である．χi (a), χi (b) のとりうる値が 4 通り考えられ，1 次元指標
もちょうど 4 つなので， これで指標表が完成する（χi (ab) = χi (a)χi (b) であること
g
e a b ab
|OV (g)| 1 1 1 1
χ1
1 1 1 1
χ2
1 1 -1 -1
χ3
1 -1 1 -1
χ4
1 -1 -1 1
に注意する）．既約表現は全て 1 次元表現，すなわち指標だったので，指標表が求
まれば，既約表現を分類したことになる．
(2) D4 := ⟨σ, τ | σ 4 = τ 2 = e, τ στ = σ −1 ⟩ = {e, σ, σ 2 , σ 3 , τ, στ, σ 2 τ, σ 3 τ } の指
標表を求める．定理 3.23 より，r, m1 , · · · , mr ∈ N が存在して，C[D4 ] ∼
= Mm1 (C) ×
· · · × Mmr (C) と書ける．D4 は非可換なので，m1 = · · · = mr = 1 ということはあり
∑r
得ない．また自明表現があるので，m1 = 1 として良い．8 = |D4 | = i=1 m2i より，
m1 = · · · = m4 = 1, m5 = 2 と決まる．よって D4 の既約表現は，1 次元表現が 4 つ，
2 次元表現が 1 つである．まず D4 の共役類を求める．
τ −1 στ = τ στ = σ −1 = σ 3 より σ ∼ σ 3 ,
στ σ −1 = στ (τ στ ) = σ 2 τ より τ ∼ σ 2 τ
σ(στ )σ −1 = σ 2 τ (τ στ ) = σ 3 τ より στ ∼ σ 3 τ
であり，5 = r = (D4 の共役類の個数) であることに注意すると，D4 の共役類は
{e}, {σ, σ 3 }, {σ 2 }, {τ, σ 2 τ }, {στ, σ 3 τ } の 5 つである．ρ1 を自明表現とし，残りの 1 次
元表現を ρ2 , ρ3 , ρ4 ，2 次元既約表現を ρ5 とする．ρ2 , ρ3 , ρ4 を計算するために，
f : D4 → V
σ, σ 3 → a τ, σ 2 τ → b
という群準同型を考える．V の 1 次元表現を ρV : V → C× とすると，ρV ◦f : D4 → C×
は D4 の 1 次元表現になる．V の 1 次元表現は 4 つあるので，これにより D4 の 1 次
23
g
|OV (g)|
χ1
χ2
χ3
χ4
χ5
e
1
1
1
1
1
σ σ 2 τ στ
2 1 2 2
1 1 1 1
1 1 -1 -1
-1 1 1 -1
-1 1 -1 1
元表現 4 つが全て得られる．ρi の指標を χi と書くと，V の指標表から，次の表が得
られる．
ここで，V の指標を χi と書いて D4 の指標と区別すると，χi (σ) = χi (a), χi (τ ) =
χi (b) であることに注意する．χ5 を計算するために，D4 の正則表現の指標 χreg を
計算する．m1 = · · · = m4 = 1, m5 = 2 なので，χreg = χ1 + χ2 + χ3 + χ4 + 2χ5 .
χreg (e) = |D4 | = 8, χreg (g) = 0 (g ̸= e) なので，これより χ5 が計算でき，D4 の指標
表は次のようになる．
g
|OV (g)|
χ1
χ2
χ3
χ4
χ5
χreg
e
1
1
1
1
1
2
8
σ σ 2 τ στ
2 1 2 2
1 1 1 1
1 1 -1 -1
-1 1 1 -1
-1 1 -1 1
0 -2 0 0
0 0 0 0
ρ5 （と同値な表現）を具体的に記述したい．ここでは，やや天下り的になるが，
次の 2 次元表現を考える．
(
)
(
)
0 −1
1
0
2
ρ : D4 → GL(C ) σ → S =
τ →T =
1
0
0 −1
tr(S) = 0, tr(S 2 ) = −2, tr(T ) = 0, tr(ST ) = 0 なので，ρ の指標を χ と書くと，
χ(e) = 2, χ(σ) = 0, χ(σ 2 ) = −2, χ(τ ) = 0, χ(στ ) = 0 となる．よって χ = χ5 なの
で，ρ ∼
= ρ5 .
一般に，1 次元表現を見つけるには，次の命題が有用である．まず G の交換子群
[G, G] を定義する．
定義 4.18. G を（有限とは限らない）群とし，G の交換子群 (commutator group)
[G, G] を
[G, G] := ⟨xyx−1 y −1 | x, y ∈ G⟩
と定義する．
注意 4.19. [G, G] = {xyx−1 y −1 | x, y ∈ G} ではない．G は xyx−1 y −1 の形の元で
生成される群であり，xyx−1 y −1 の形の元以外も含みうる．
補題 4.20. (1) G がアーベル群 ⇐⇒ [G, G] = {e}.
(2) [G, G] は G の正規部分群.
(3) N を G の正規部分群とすると，G/N はアーベル群 ⇐⇒ N ⊃ [G, G]．
24
証明. (1)
G がアーベル群 ⇐⇒ 任意の x, y ∈ G に対し, xyx−1 y −1 = e
⇐⇒ [G, G] = {e}.
(2) [G, G] が部分群であることは明らか．任意の x, y, g ∈ G に対し，
g −1 (xyx−1 y −1 )g = (g −1 xg)(g −1 yg)(g −1 x−1 g)(g −1 y −1 g)
= (g −1 xg)(g −1 yg)(g −1 xg)−1 (g −1 yg)−1 ∈ [G, G]
より，g −1 [G, G]g ⊂ [G, G] となるので，[G, G] は G の正規部分群．
(3)
G/N がアーベル群 ⇐⇒ 任意の x, y ∈ G に対し, xyN = yxN
⇐⇒ 任意の x, y ∈ G に対し, x−1 y −1 xy ∈ N
⇐⇒ [G, G] ⊂ N.
□
命題 4.21. G を有限群とし，π : G → G/[G, G] を自然な準同型とする．任意の
G の 1 次元表現 ρ : G → C× に対し，G/[G, G] の 1 次元表現 ρ0 : G/[G, G] → C× が
存在して，ρ = ρ0 ◦ π と書ける．
証明. C× はアーベル群なので，
ρ(xyx−1 y −1 ) = ρ(x)ρ(y)ρ(x)−1 ρ(y)−1 = ρ(x)ρ(x)−1 ρ(y)ρ(y)−1 = e
となる．よって [G, G] ⊂ ker ρ となるので，準同型定理より，ρ は群準同型 ρ0 :
G/[G, G] → G/ ker ρ ∼
□
= C× を誘導する．
例 4.22. [D4 , D4 ] = {e, σ 2 } であり，D4 の指標表を求める際に考えた群準同型
f : D4 → V は，同型 D4 /[D4 , D4 ] ∼
= V を誘導する1．D4 の指標表を求める際にこの
ような群準同型を考えた理由は，命題 4.21 に由来する．
5. 誘導表現
この節では，部分群の表現から，元々の群の表現を構成する方法について触れ
る．まず加群のテンソル積を定義する．
定義 5.1. R を環とし，M を右 R 加群，N を左 R 加群とする．このとき，M と
N の R 上のテンソル積 (tensor product) M ⊗R N を次のように定義する．
/⟨
⟩
(x + x′ , y) − (x, y) − (x′ , y) (x, x′ ∈ M )
(x, y + y ′ ) − (x, y) − (x, y ′ ) (y, y ′ ∈ N )
M ⊗R N := M ⊕ N
(xr, y) − (x, ry)
(r ∈ R)
π : M ⊕ N → M ⊗R N を自然な全射準同型としたとき，x ⊗ y := π((x, y)) (x ∈
M, y ∈ N ) と書くと，M ⊗R N の定義から次が成り立つ．
(x + x′ ) ⊗ y = x ⊗ y + x′ ⊗ y (x, x′ ∈ M )
x ⊗ (y + y ′ ) = x ⊗ y + x ⊗ y ′ (y, y ′ ∈ N )
xr ⊗ y = x ⊗ ry
(r ∈ R)
r · (x ⊗ y) := xr ⊗ y = x ⊗ ry (x ∈ M, y ∈ N, r ∈ R) という作用により，M ⊗R N
は R 加群になる．
1講義では D
4
の中心 Z(D4 ) を考えたが，Z(D4 ) = [D4 , D4 ] なので同じことである．一般には Z(G) ̸=
[G, G].
25
∑s 注意 5.2. (1) M ⊗ N = {x ⊗ y | x ∈ M, y ∈ N } ではない．M ⊗ N の元は，
i=1 xi ⊗ yi (xi ∈ M, yi ∈ N ) という形で書ける．
(2) f : R → S を環の準同型とし，M を左 R 加群とする．s · r := sf (r) (r ∈
R, s ∈ S) により S は右 R 加群と見なせるので，テンソル積 S ⊗R M が定義できる．
S ⊗R M は定義から R 加群だが，次のように左 S 加群の構造を入れることができる:
s · (x ⊗ y) := sx ⊗ y
(s, x ∈ S, y ∈ M )
定義 5.3. G を有限群とし，H を G の部分群とする．H の表現 ρ : H → GL(V ) が
与えられたとき，V を C[H] 加群と見ることによって，左 C[G] 加群 C[G]⊗C[H] V が定義
される．この C[G] 加群に対応する G の表現を ρ の誘導表現 (inducecd representation)
IndG
H ρ と言う．つまり，
)
(
∑
∑
ag xg ⊗ v .
IndG
ag g ⊗ v →
H ρ : G → GL(C[G] ⊗C[H] V ) x →
g
IndG
H ρ の次元は
g
|G|
dim V である．
|H|
定理 5.4. G を有限群とし，H を G の部分群とする．ρ : H → GL(V ) を H の表
現とし，χ を ρ の指標とする．このとき，IndG
は次のように計算さ
H ρ の指標 χIndG
Hρ
れる．任意の g ∈ G に対し，
|G| ∑ |OH (hi )|
χ(hi ),
χIndGH ρ (g) =
|H| i=1 |OG (g)|
s
ただし OG (g) ∩ H =
⨿s
i=1
OH (hi ) (disjoint union) とする．
アーベル群において，既約表現=指標であり，既約表現を分類することは容易い．
そこでアーベル群の 1 次元表現の誘導表現を考えることによって，元々の群の表現
を構成する．
例 5.5. 例 4.17 では D4 の 2 次元既約表現 ρ5 と同値な表現を天下り的に構成したが，
ここでは誘導表現を使って構成する．D4 の部分群 H を H := {e, σ, σ 2 , σ 3 } ∼
= Z/4Z
と定め，H の 1 次元表現
√
ρ : H → C× σ → −1
D4
4
の誘導表現 IndD
H ρ を考える．IndH ρ の次元は (|D4 |/|H|) dim ρ = 2 である. χ を ρ
の指標とし，この状況に定理 5.4 を当てはめると，
(
)
(
)
1
1
1√
1√
3
χIndD4 ρ (σ) = 2
χ(σ) +
χ(σ ) = 2
−1 −
−1 = 0,
H
|OD4 (σ)|
|OD4 (σ)|
2
2
1
1
χ(σ 2 ) = 2 · · −1 = −2,
χIndD4 ρ (σ 2 ) = 2
2
H
|OD4 (σ )|
1
χIndD4 ρ (τ ) = χIndGH ρ (στ ) = 0 (∵ OD4 (τ ) ∩ H = OD4 (στ ) ∩ H = ∅).
H
4
以上より，χ5 = χIndD4 ρ となるので，ρ5 ∼
= IndD
H ρ.
H
既約表現の誘導表現は既約とは限らない．
26
例 5.6. S3 の部分群 H を H := {e, (1 2)} ∼
= Z/2Z と定め，H の 1 次元表現
ρ : H → C× (1 2) → −1
の誘導表現 IndSH3 ρ を考える．IndSH3 ρ の次元は (|S3 |/|H|) dim ρ = 3 である. χ を ρ の
指標とし，この状況に定理 5.4 を当てはめると，
1
1
χ((1 2)) = 3 · · −1 = −1,
H
|OS3 (σ)|
3
χIndS3 ρ ((1 2 3)) = 0 (∵ OS3 (τ ) ∩ H = ∅)
χIndS3 ρ ((1 2)) = 3
H
となるので，χIndS3 ρ = χ2 + χ3 . よって IndSH3 ρ は既約表現ではない．
H
6. 素イデアル・極大イデアル
この節以降，特に断らない限り，環と言えば零環でない可換環とする．
まず，イデアルによる剰余環について復習する．I を環 R のイデアルとすると，
命題 2.20 でみたように，R/I も可換環の構造を持つ．ρ : R → R/I を自然な準同型
としたとき，R/I のイデアルと R のイデアルの間には次のような関係がある．
Φ : {R/I のイデアル } → {I を含む R のイデアル } a → ρ−1 (a)
Ψ : {I を含む R のイデアル } → {R/I のイデアル } b → ρ(b)
とおくと，Φ は全単射で Ψ がその逆写像である．よって R/I のイデアルを I を含む
R のイデアルと同一視する．
定義 6.1. R を環とし，I を R の真のイデアル（R と異なるイデアル）とする．
(i) 任意の x, y ∈ R \ I に対し xy ∈ R \ I が成り立つとき，I は素イデアル (prime
ideal) という．
(ii) I を含む任意のイデアル J ⊊ R に対し I = J が成り立つとき，I は極大イデア
ル (maximal ideal) という．
注意 6.2. I を R の真のイデアルとする．Zorn の補題より，I を含む極大イデア
ル m ⊂ R が存在する. 2
命題 6.3. R を環とし，I を R の真のイデアル（R と異なるイデアル）とする．
(1) I が素イデアルであることと R/I が整域であることは同値．
(2) I が極大イデアルであることと R/I が体であることは同値．
証明. (1) 素イデアルの条件の対偶を考える．
R/I が整域
⇔任意の x + I, y + I ∈ R/I に対し，(x + I)(y + I) = 0 + I ∈ R/I ならば
x + I, y + I のどちらかは 0 + I
⇔任意の x, y ∈ R に対し，xy ∈ I ならば，x, y のどちらかは I に含まれる
⇔I は素イデアル
2選択公理は認めて下さい．m(_
_)m
27
(2) 体のイデアルは 0 とそれ自身のみであることに注意する．
R/I は体 ⇐⇒R/I のイデアルは {0 + I} と R/I のみ
⇐⇒I を含む R のイデアルは，I と R のみ
⇐⇒I は極大イデアル
□
系 6.4. 極大イデアルは素イデアルである．
□
証明. 体は整域なので，命題 6.3 から明らか．
例 6.5. (1) R を PID とする．このとき {0} でない R の素イデアルは極大イデア
ルである．実際，P = (x) を零でない素イデアルとする．注意 6.2 より，P を含む極
大イデアル m = (y) が存在し，x = ay (∃ a ∈ R) と書ける．P ̸= m とすると，y ∈
/P
∃
なので，P が素イデアルであることから，a ∈ P = (x). よって a = bx ( b ∈ R) と書
け，x = ay = bxy となる．R は整域なので by = 1 となるが，このとき m = (y) = R
となり，m が極大イデアルであることに反する．よって P = m.
(2) k を体とし，R = k[X, Y ] を k 上の 2 変数多項式環とする．(X) は {0} でな
い R の素イデアルだが，極大イデアルではない．実際，k[X, Y ]/(X) ∼
= k[Y ] となり，
k[Y ] は整域だが，体ではない．
f : A → B を環準同型とする．J を B のイデアルとしたとき，J の引き戻し
f −1 (J) := {a ∈ A | f (a) ∈ J} は A のイデアルである．しかし，I を A のイデ
アルとしたとき，f (I) := {f (a) | a ∈ I} は B のイデアルとは限らない．例えば，
f : Z → Q x → x という環準同型を考え，(a) (0 ̸= a ∈ Z) を Z のイデアルとする
と，f ((a)) = {ax | x ∈ Z} は Q のイデアルではない．そこで f (I) が生成する B の
イデアルを IB と書く．つまり，
{
}
r
∑
IB = b ∈ B ∃ r ∈ N, ∃ b1 , . . . , br ∈ B, ∃ a1 , . . . , ar ∈ I, b =
bi f (ai ) .
i=1
先ほどの例だと，(a)Q = Q となる．
命題 6.6. f : A → B を環準同型とする．B の任意の素イデアル P に対し，f −1 (P )
は A の素イデアルになる．
証明. x, y ∈ A が xy ∈ f −1 (P ) を満たすとする．このとき，f (x)f (y) = f (xy) ∈ P
で，P は素イデアルなので，f (x), f (y) のどちらかは P に含まれる．従って，x, y の
どちらかは f −1 (P ) に含まれることになり，f −1 (P ) は A の素イデアルである． □
例 6.7. (1) n が B の極大イデアルのとき，f −1 (n) が A の極大イデアルになると
は限らない．例えば，f : Z → Q x → x という環準同型を考えると，(0) は Q の極大
イデアルだが，(0) = f −1 ((0)) は Z の極大イデアルではない（素イデアルではある）．
(2) 環 R が体 k 上有限生成な環 (ring of finite type over k) であるとは，ある n ∈ N
と k 上の n 変数多項式環 k[X1 , . . . , Xn ] からの全射環準同型 ρ : k[X1 , . . . , Xn ] → R
が存在することである．このとき，準同型定理より，R ∼
= k[X1 , . . . , Xn ]/ ker ρ であ
ることに注意する．環 A, B が k 上有限生成な環で f : A → B が環準同型のとき，B
の任意の極大イデアル n に対し，f −1 (n) は A の極大イデアルになる．
28
注意 6.8. f : R → S を環準同型とする．S が R 加群として有限生成であること
（定義 2.8 参照）と S が環として R 上有限生成であること（例 6.7 (2) 参照）は全く
異なる．有限生成性について議論するときは，加群として考えているのか，環とし
て考えているのかを常に注意すること．
定義 6.9. 環 R が極大イデアルを唯一つしか持たないとき，R を局所環 (local
ring) と言う．
「(R, m) を局所環とする」と言えば，R は局所環で m は R の唯一の極
大イデアルという意味である．
補題 6.10. I を環 R の真のイデアルとする．このとき，次の 2 条件は同値．
(a) (R, I) は局所環である．
(b) 任意の x ∈ R \ I は単元，つまり，ある y ∈ R が存在して xy = 1 となる．
証明. (a) ⇒ (b) x ∈ R \ I が単元でないとする．このときイデアル Rx は R の真
のイデアルなので，ある極大イデアルに含まれる．(R, I) は局所環なので，Rx ⊂ I
となるが，これは x ∈
/ I に反する．
(b) ⇒ (a) m を R の極大イデアルとする．I ̸= m とすると，m の極大性より，
m ̸⊂ I ．よって x ∈ m ∩ (R \ I) が存在するが，仮定より x は単元なので，ある y ∈ R
が存在して 1 = yx ∈ m となる．よって m = R となるが，これは m が極大イデアル
であることに反する．
□
局所環の典型例は，体上の形式的羃級数環である．
例 6.11. R を環とする．R 上 1 変数形式的冪級数環 (formal power series ring)
R[[X]] とは，
{∞
}
∑
R[[X]] :=
an X n an ∈ R
n=0
という集合に，次のように加法・乗法を定義したものである．
∞
∞
∞
∑
∑
∑
n
n
(加法)
an X +
bn X =
(an + bn )X n .
n=0
n=0
)
(
(
)n=0
( ∞
)
∞
∞
∑
∑
∑
∑
an bm X k .
(乗法)
an X n
bm X m =
n=0
m=0
k=0
k=m+n
この演算によって，R[[X]] は可換環になる．R 上 2 変数形式的冪級数環 R[[X, Y ]] は，
R[[X, Y ]] := R[[X]][[Y ]] と定義する．n 変数形式的冪級数環も同様に定義する．
(R, m) が局所環ならば，R[[X]] も局所環であることを示す．
{∞
}
∑
M=
cn X n ∈ R[[X]] c0 ∈ m
n=0
∑∞
とおくと，M は R[[X]] の真のイデアルである．f = n=0 an X n ∈ R[[X]] \ M に対
し，b0 , b1 , b2 , · · · ∈ R を次のように定める．M の定義から a0 ∈
/ m なので，補題 6.10
から，a0 は R の単元である．そこで b0 ∈ R を，a0 b0 = 1 となるように定める．次に
b0 a1 + a0 b1 = 0 となるように b1 ∈ R を，b0 a2 + a1 b1 +
∑a0 b2 = 0 となるように b2 ∈ R
を定める．このような b0 , b1 , b2 , · · · ∈ R に対し，g = n=0 bn X n ∈ R[[X]] とおくと，
f g = 1 となる．よって f は R[[X]] の単元となり，補題 6.10 から，(R[[X]], M ) は局
所環である．
29
特に k を体とすると，k[[X1 , . . . , Xn ]] は (X1 , . . . , Xn ) を極大イデアルとする局所
環である．
一方，無限体 k 上の多項式環 k[X1 , . . . , Xn ] は極大イデアルを無数に持つ．
例 6.12. k を体とし，R を k 上の n 変数多項式環 k[X1 , . . . , Xn ] とする．任意の
a1 , . . . , an ∈ k に対し，(X1 − a1 , . . . , Xn − an ) は R の極大イデアルである．実際，
φ : R = k[X1 , . . . , Xn ] → k
X i → ai
という環準同型を考えると，これは明らかに全射．ker φ = (X1 − a1 , . . . , Xn − an )
なので，環の準同型定理から，k[X1 , . . . , Xn ]/(X1 − a1 , . . . , Xn − an ) ∼
= k となり，
(X1 − a1 , . . . , Xn − an ) は極大イデアルである．k が代数閉体ならば，Hilbert の弱零
点定理により，R の極大イデアルはこのような形のイデアルに限られる．
定理 6.13 (Hilbert の弱零点定理). k を代数閉体とすると，k 上の n 変数多項式
環 k[X1 , . . . , Xn ] の極大イデアルは，(X1 − a1 , . . . , xn − an ) (a1 , . . . , an ∈ k) という
形で表される．
k が代数閉体でない場合は，この限りではない．
例 6.14.
√
f : R[X] → C X → −1
という R 上の環準同型を考えると，環の準同型定理より R[X]/ ker f ∼
= C が成り立
つ．R[X] は PID なので ker f = (X 2 + 1) となり，(X 2 + 1) は R[X] の極大イデアル
である．
R を C 上有限生成な環とする．すなわち，
R = C[X1 , . . . , Xn ]/(f1 , . . . , fr ) (f1 , . . . , fr ∈ C[X1 , . . . , Xn ])
とする．C[X1 , . . . , Xn ] の極大イデアル (X1 − a1 , . . . , Xn − an ) に対し，環準同型
φ : C[X1 , . . . , Xn ] → C Xj → aj を考えると，
fi ∈ (X1 − a1 , . . . , Xn − an ) ⇔ φ(fi ) = 0 ⇔ fi (a1 , . . . , an ) = 0
が成り立つことに注意する．m-Spec R = {R の極大イデアル全体 } とおくと，Hilbert
の弱零点定理より，次の集合の間の全単射を得る．
m-Spec R
∼
={m ∈ m-Spec C[X1 , . . . , Xn ] | m ⊇ (f1 , . . . , fr )}
={(X1 − a1 , . . . , Xn − an ) | a1 , . . . , an ∈ C, fi (a1 , . . . , an ) = 0 ∀ i = 1, . . . , r}
∼
={(a1 , . . . , an ) ∈ Cn | fi (a1 , . . . , an ) = 0 ∀ i = 1, . . . , r}
この全単射によって，m-Spec R を図形とみなすことができる．
7. ネーター性
一般に有限生成でない加群（イデアル）を扱うのは難しい．そこでネーター性と
いう概念を導入する．
定義 7.1. R を環とし，M を R 加群とする．
(i) M の全ての部分 R 加群が有限生成のとき，R をネーター加群 (Noetherian module) という．
30
(ii) 環 R を R 加群とみたときネーター加群になるならば，つまり，R の全てのイ
デアルが有限生成ならば，R をネーター環 (Noetherian ring) という．
注意 7.2. (1) I を環 R の真のイデアルとする．R/I のイデアルと I を含む R の
イデアルが対応しているので，R がネーター環ならば R/I もネーター環である．
(2) R をネーター環とする．このとき，R のイデアルの任意の昇鎖列
I1 ⊂ I2 ⊂ · · · ⊂ In ⊂ · · ·
は有限回で停止する．つまり，ある自然数
n が存在して，In = In+1 = · · · となる．
∪
実際，I := n≥1 In とおくと，I も R のイデアルなので，R のネーター性から有限
∑r
生成である．よって x1 , . . . , xr ∈ I が存在して，I = i=1 Rxi と書ける．I の定義
から，任意の i = 1, . . . , r に対し ni ∈ N が存在して，xi ∈ Ini . ここで n := max ni
1≤i≤r
とおくと，I = In . つまり In = In+1 = · · · = I が成り立つ．
逆に R のイデアルの任意の昇鎖列が有限回で停止すれば，R はネーター環である．
例 7.3. (1) R を PID とすると，全てのイデアルは単項生成なので，特に有限生
成である．よって R はネーター環である． (2) 体 k 上の無限変数の多項式環 k[X1 , X2 , . . . ] はネーター環ではない．
定義 7.4. R 加群の列
di+1
d
i
· · · → Mi+1 −−→ Mi −
→
Mi−1 → · · ·
を考える．ただし，任意の i に対し，Mi は R 加群，di : Mi → Mi−1 は R 準同型と
する．この列が完全列 (exact sequence) とは，任意の i に対し，ker di = Im di+1 が
成り立つときにいう．
f
g
注意 7.5. 0 → N −
→ M が完全であることと f が単射は同値．M −
→ N → 0 が完
全であることと g が全射は同値．
命題 7.6. R 加群の完全列
f
g
M1 −
→ M2 →
− M3
を考える．M1 , M3 がネーター R 加群ならば，M2 もネーター R 加群である．
証明. 部分 R 加群 N2 ⊂ M2 が有限生成であることを示す．g(N2 ) は M3 の部分
加群なので，M3 のネーター性より，有限生成である．よって
z1 , . . . , zr ∈ g(N2 ) が
∑r
存在して，g(N2 ) = i=1 Rzi と書ける．g(yi ) = zi となる y1 , . . . , yr ∈ N2 をとる．
一方，f −1 (N2 ) は M1 の部分加群なので，M1 のネーター性より，有限生成であ
∑s
る．よって x1 , . . . , xs ∈ f −1 (N2 ) が存在して，f −1 (N2 ) = j=1 Rxj と書ける．yj′ =
f (xj ) ∈ N∑
s) とおく．
2 (j = 1, . . . ,∑
N2 = i=1 Ryi + sj=1 Ryj′ を示す．(⊇) は明らかなので，(⊆) を示す．任意の
∑
∑
y ∈ N2 を 1 つ固定する．g(y) ∈ g(N2 ) = ri=1 Rzi より，g(y) = ri=1 ai zi (∃ ai ∈ R)
と書ける．このとき
g(y −
r
∑
i=1
ai yi ) = g(y) −
r
∑
ai g(yi ) = g(y) −
i=1
31
r
∑
i=1
ai zi = 0
∑r
∑
より，y − i=1∑
ai yi ∈ ker g ∩ N = Im f ∩ N∑
. 従って，f (x) = y − ri=1 ai yi となる
x ∈ f −1 (N2 ) = sj=1 Rxj が存在する．x = sj=1 bj xj (∃ bj ∈ R) と書き表すと，
y−
となるので，y =
∑r
i=1
r
∑
s
s
∑
∑
ai yi = f (x) = f (
bj xj ) =
bj yj′
i=1
ai yi +
j=1
∑s
j=1
′
j=1 bj yj .
□
系 7.7. R をネーター環とし，M を有限生成 R 加群とする．このとき，M はネー
ター加群になる．
証明. R はネーター環なので，R 加群 R はネーター加群である．0 → R → R⊕2 →
R → 0 という完全列に命題 7.6 を適用すると，R⊕2 はネーター加群であることが分
かる．この議論を 0 → R → R⊕n → R⊕n−1 → 0 という完全列に当てはめることに
より，任意の自然数 n に対し R⊕n はネーター加群であることが分かる．M は有限
生成 R 加群なので，ある自然数 n と全射 R 準同型 f : R⊕n → M が存在する．N
⊕n
を M の部分 R 加群とすると，f −1 (N ) は R
の部分加群なので，有限生成．よって
∑
r
⊕n
−1
x1 , . . . , xr ∈ R が存在して，
f (N ) = i=1 Rxi と書ける．f は全射だったので，
∑
N = f (f −1 (N )) = ri=1 R f (xi ) となり，N は有限生成である．
□
定理 7.8 (Hilbert の基底定理). R をネーター環とする．このとき，R[X] および
R[[X]] もネーター環である．特に，体 k 上の多項式環 k[X1 , . . . , Xn ], 形式的べき級
数環 k[[X1 , . . . , Xn ]] もネーター環である．
証明. R[X] がネーター環であることを示す．I ⊂ R[X] を任意のイデアルとする．
任意の n ∈ Z≥0 に対し，
In := {a ∈ R | aX n + an−1 X n−1 + · · · + a0 ∈ I となる ai ∈ R が存在する }
とおくと，In は R のイデアルになる．実際，a, b ∈ In ならば，aX n + an−1 X n−1 +
· · · + a0 ∈ I, bX n + bn−1 X n−1 + · · · + b0 ∈ I となる ai , bi ∈ R が存在し，(a + b)X n +
(an−1 + bn−1 )X n−1 + · · · + (a0 + b0 ) ∈ I となるので，a + b ∈ In が成り立つ．r ∈ R
とすると，raX n + ran−1 X n−1 + · · · + ra0 ∈ I となるので，ra ∈ In .
In の定義より，
I0 ⊂ I1 ⊂ I2 · · · ⊂ In ⊂ · · · .
R はネーター環なので，ある s ∈ N が存在して，I∑
s = Is+1 = · · · ．さらに Is は有
r
限生成，つまり a1 , . . . , ar ∈ R が存在して，Is = i=1 Rai と書ける．Is の定義か
ら，fi := ai X s + ai,s−1 X s−1 + · · · + ai,0 ∈ I となる ai,j ∈ R が存在する．このとき，
∑
∑
n
f = αX m + αm−1 X m−1 + · · · + α0 ∈ I
I ⊂ ri=1 R[X]fi + s−1
n=0 RX を示す．任意の
∑s−1
を 1 つ固定する．m ≤ s − 1 ならば f ∈ n=0 RX n なので，m ≥
∑s とする．このと
き，α ∈ Im =∑
Is なので，ある β1 , . . . , βr ∈ R が存在して，α = ri=1 βi ai と書ける．
r
そして，f − i=1 βi fi X m−s は次数 m − 1 以下の多項式となる．この操作を次数が
∑s−1
∑
n
を得る．
s − 1 以下になるまで繰り返して，(f ∈ ri=1 R[X]f
i+
n=0 RX ∑
)
∑r
∑s−1
n
n
∩ I が成り立つ． s−1
以上より，I = i=1 R[X]fi +
n=0 RX はネー
n=0 RX
ター環 R 上の有限生成加群なので，系
7.7 から，ネーター加群である．よって，その
)
(∑s−1
n
部分 R 加群である
RX ∩I も有限生成．つまり，ある g1 , . . . , gt ∈ I が存在し
n=0∑
)
(∑s−1
)
(∑s−1
∑
t
n
n
∩ I ⊂ tj=1 R[X]gj ⊂ I
Rg
と書ける．
R
X
∩
I
=
て，
RX
j
j=1
n=0
n=0
32
より，
I=
r
∑
R[X]fi +
i=1
t
∑
R[X]gj
j=1
を得る．
R[[X]] がネーター環であることも類似の方法で証明できる．J ⊂ R[[X]] を任意
のイデアルとする．任意の n ∈ Z≥0 に対し，
Jn := {a ∈ R | aX n + an+1 X n+1 + · · · ∈ J となる ai ∈ R が存在する }
とおくと，Jn は R のイデアルになる． この Jn に関して上と同様の議論を行えば良
い．3
□
8. 局所化
局所環の方が扱いやすいため，
「局所化」という操作をしばしば行う．R を環と
する．R の部分集合 S が次の２条件
(1) x, y ∈ S ならば，xy ∈ S
(2) 1 ∈ S
を満たすとき，S を積閉集合 (multiplicative set) と言う．
S ⊂ R を積閉集合とする．このとき，R × S に次のような同値関係を入れる．
(a, s) ∼ (b, t) ⇐⇒ ∃ u ∈ S が存在して，u(at − sb) = 0
注意 8.1. 「at − sb = 0」でなく，
「∃ u ∈ S が存在して，u(at − sb) = 0」という
条件で同値関係を定義することを不自然に感じるかもしれないが，u を掛けないと，
推移律
(a, s) ∼ (b, t), (b, t) ∼ (c, u) =⇒ (a, s) ∼ (c, u)
が成り立たない．
集合 S −1 R := R × S/ ∼ と定義し，(a, s) の属する同値類を as と表すことにする．
つまり，
{
}
a
b
a
−1
S R=
= ⇐⇒ ∃ u ∈ S が存在して，u(at − sb) = 0.
a ∈ R, s ∈ S ,
s
s
t
S −1 R に加法・乗法を次のように定義する．
a b
at + bs
a b
ab
+ =
,
· = .
s t
st
s t
st
′
′ ′
′ s′
a
a′ b
これが well-defined であることを確かめる． s = s′ , t = bt′ のとき， at+bs
= a ts+b
,
′ t′
st
ab
a′ b ′
a
a′
′
′
= s′ t′ を確かめれば良い． s = s′ より，ある u ∈ S が存在して，u(as − sa ) = 0.
st
′
同様に， bt = bt′ より，ある v ∈ S が存在して，v(bt′ − tb′ ) = 0. uv ∈ S で，
uv{(at + bs)(s′ t′ ) − (st)(a′ t′ + b′ s′ )} = vtt(uas′ − usa′ ) + uss′ (vbt′ − vtb′ ) = 0,
uv{(ab)(s′ t′ ) − (st)(a′ b′ )} = vbt′ (uas′ − usa′ ) + usa′ (vbt′ − vtb′ ) = 0.
なので， at+bs
=
st
a′ t′ +b′ s′ ab
, st
s ′ t′
=
a′ b′
s ′ t′
を得る．
3体 k
上の形式的冪級数環 k[[X1 , . . . , Xn ]] がネーター環であることは，系 8.3 と定理 10.9 を使って確
認することもできる．
33
この加法・乗法によって，S −1 R は可換環になる（単位元は 11 ）．S −1 R を積閉集
合 S に関する R の局所化 (localization) という．
環準同型 f : R → S −1 R を f (a) = a1 と定義する．R が整域ならば f は単射だが，
一般には単射とは限らないことに注意する．
命題 8.2. (1) S −1 R の任意のイデアル J に対し，R のイデアル I が存在して，
I(S −1 R) と書ける．
(2) 次のような全単射 Φ が存在する（Ψ は Φ の逆写像）．
Φ :{Q | Q は S −1 R の素イデアル } → {P | P は R の素イデアルで P ∩ S = ∅},
Ψ :{P | P は R の素イデアルで P ∩ S = ∅} → {Q | Q は S −1 R の素イデアル }.
ただし，Φ(Q) = f −1 (Q), Ψ(P ) = P (S −1 R) と定義される．
証明. (1) I := f −1 (J) ととればよい．このとき I(S −1 R) ⊂ J は明らか．逆の
包含を示す． as ∈ J とすると，f (a) = 1s · as ∈ J より，a ∈ f −1 (J) = I. よって
a
= f (a) · 1s ∈ I(S −1 R).
s
(2) まず Φ が well-defined であることを示す．f は環準同型なので，f −1 (Q) が R
の素イデアルであることは良い．f −1 (Q) ∩ S ̸= ∅ とすると，ある s ∈ S が存在して，
s
= f (s) ∈ Q. このとき， 11 = 1s · 1s ∈ Q となるので，Q = S −1 R となり，Q が素イ
1
デアルであることに矛盾する．
次に (Ψ ◦ Φ)(Q) = Q を示すが，これは (1) の証明より明らか．
次に Ψ が well-defined であることを示す． as , bt ∈ S −1 R が ab
= as · bt ∈ P (S −1 R)
st
= ux . 従って，ある
を満たすとする．このとき，ある x ∈ P, u ∈ S が存在して， ab
st
v ∈ S が存在して，vabu = vxst ∈ P . uv ∈ S より uv ∈
/ P なので，P が素イデアル
であることから，ab ∈ P . よって a, b のどちらかは P に含まれるので， as , bt のどち
らかは P (S −1 R) に含まれる．P (S −1 R) ̸= S −1 R であることは以下の議論から分か
るので，P (S −1 R) は S −1 R の素イデアルである．
最後に (Φ ◦ Ψ)(P ) = P を示す．f −1 (P (S −1 R)) ⊃ P は明らかなので，逆の包含
を示す．a ∈ f −1 (P (S −1 R)) とすると， a1 ∈ P (S −1 R) となるので，ある x ∈ P, s ∈ S
が存在して， a1 = xs . 従って，ある t ∈ S が存在して，tas = tx ∈ P . st ∈ S より
st ∈
/ P なので，P が素イデアルであることから，a ∈ P .
□
系 8.3. R がネーター環ならば，S −1 R もネーター環である．
証明. 命題 8.2 (1) より，S −1 R の任意のイデアルは I(S −1 R) (I は R のイデア
ル) の形で表される．
R はネーター環なので，R のイデアル
∑
∑ I は有限生成，つまり
I = ri=1 Rxi (xi ∈ I) と表される．このとき，I(S −1 R) = i=1 S −1 R f (xi ) なので，
I(S −1 R) も有限生成である．
□
例 8.4. (1) P を環 R の素イデアルとし，S := R \ P とおく．素イデアルの定義
から，S は積閉集合になる．局所化 S −1 R を RP と書き，環 R の素イデアル P での
局所化 (localization) と言う．このとき (RP , P RP ) は局所環になる．実際，命題 8.2
(2) より，RP の素イデアルは，S と交わりを持たない R の素イデアルと同一視でき
る．S と交わりを持たない R の素イデアルの中で P が最大の素イデアルであるから，
P RP が RP の最大の素イデアルとなる．
(2) R を整域とし，S = R \ {0} とおく．局所化 S −1 R を Q(R) と書き，R の商体
(quotient field) と言う．実際 (1) より，Q(R) は (0) を極大イデアルとする局所環な
ので，体である．例えば，R = Z ならば，Q(R) = Q である．
34
局所化をとる操作と剰余をとる操作は可換である．
命題 8.5. I を環 R のイデアルとし，S ⊂ R を積閉集合とする．
S = {s mod I ∈ R/I | s ∈ S}
−1
とおくと，S は剰余環 R/I の積閉集合になる．このとき，S (R/I) ∼
= S −1 R/I(S −1 R)
である．特に，P を R の素イデアルとすると，Q(R/P ) ∼
= RP /P RP となる．
−1
証明. 環準同型 g : S −1 R/I(S −1 R) → S (R/I) を g( as ) = as と定義する．ただ
し， as = as mod I(S −1 R) ∈ S −1 R/I(S −1 R), a = a mod I ∈ R/I, s = s mod I ∈ S と
する．a, b ∈ R, s, t ∈ S に対し，
a
b
at − bs
a b
= ∈ S −1 R/I(S −1 R) ⇐⇒
= − ∈ I(S −1 R)
s
t
st
s t
∃
⇐⇒ u ∈ S, u(at − bs) ∈ I
⇐⇒ ∃ u ∈ S, u(at − bs) = 0 ∈ R/I
⇐⇒
a
b
−1
= ∈ S (R/I)
s
t
が成り立つので，g は well-defined かつ単射．また g の定義より全射は明らか．よっ
て g は全単射．
□
√
定義 8.6. I を環 R のイデアルとする．I の根基イデアル (radical ideal) I を
√
I := {x ∈ R | ∃ n ∈ N, xn ∈ I}
√
と定義する． I は R のイデアルである．
命題 8.7. I を環 R の真のイデアルとする．このとき，
∩
√
I=
P.
P ⊃I 素イデアル
√
√
証明. (⊆) x ∈ I とする．I を含む任意の素イデアル P ⊂ R に対し， I の定
義から，ある n ∈ N が存在して xn ∈ I ⊂ P が成り立つ．P は素イデアルなので，
x ∈ P．
√
(⊇) x ∈
/ I となる任意の元 x ∈ R を 1 つ固定する．S := {1, x, x2 , · · · } とい
う積閉集合を考え，Rx := S −1 R とおく．まず IRx ⊊ Rx を示す．
√ IRx = Rx とす
n
n
ると，ある x ∈ S が存在して x ∈ I となるが，これは x ∈
/ I に反する．よっ
て IRx ⊊ Rx となり，IRx を含む Rx の極大イデアル mx が存在する．自然な環準
同型 f : R → Rx r → 1r による引き戻し f −1 (mx ) を考えると，IRx ⊂ mx より，
I ⊂∩
f −1 (mx )．命題 8.2 (2) より，f −1 (mx ) は x を含まない R の素イデアルなので，
x∈
/ P ⊃I 素イデアル P が成り立つ．
□
9. 正則局所環
命題 9.1 (中山の補題). (R, m) を局所環とし，M を有限生成 R 加群とする．M =
mM ならば，M = 0 である．
35
証明. M は有限生成なので，ある x1 , . . . , xn ∈ M が存在して，
M =
∑n
と書ける．xi ∈ M = mM より，aij ∈ m が存在して，xi = j=1 aij xj .



 
1 − a11 −a12 · · ·
−a1n
x1
 −a21 1 − a22 · · ·
 x  
−a2n 
 とおくと, A  .2  = 
A := 
.
.
.
.


 ..  
..
..
..
..
−an1
−an2
···
1 − ann
xn
∑n
i=1
Rxi

0
0 
.. 
. 
0
が成り立つ．左から A の余因子行列をかけて，i = 1, . . . , n に対し，det A · xi = 0
を得る．A mod m = En ∈ GLn (R/m)（En は n 次単位行列）であることに注意する
と，det A mod m = 1 ∈ R/m. 従って det A ∈
/ m なので，(R, m) が局所環であるこ
とから，det A は R の単元である．よって xi = 0.
□
系 9.2. (R, m) を局所環とし，M を有限生成 R 加群とする．N ⊂ M を部分 R 加
群とし，M = mM + N が成り立つとする．このとき，M = N .
証明. M/N は有限生成 R 加群で，M = mM + N より，M/N = (mM + N )/N =
m(M/N ) が成り立つ．中山の補題を M/N に適用すると，M/N = 0, つまり M = N
を得る．
□
定義 9.3. R を環とし，M を有限生成 R 加群とする．x1 , . . . , xr ∈ M が M の極
小生成系 (system of minimal generators) とは，次の 2 条件が成り立つことと定義
する．
∑
(1) M = ri=1 Rxi ,
∑
(2) 任意の j = 1, . . . , r に対し，M ̸= i̸=j Rxi .
注意 9.4. M が体上のベクトル空間の場合は，極小生成系とは基底のことに他な
らない．ベクトル空間の場合と異なり，極小生成系をなす元の個数は一定とは限ら
ない．例えば，k を体とし，R = M = k[X] の場合を考える．1 は勿論 k[X] の極小
生成系だが，1 + X, 1 − X も k[X] の極小生成系である．
R が局所環の場合は，極小生成系をなす元の個数は一定である．
命題 9.5. (R, m) を局所環とし，M を有限生成 R 加群とする．x1 , . . . , xr ∈ M に
対し，xi := xi mod mM ∈ M/mM とおく．このとき，
x1 , . . . , xr は M の極小生成系 ⇐⇒ x1 , . . . , xr は R/m ベクトル空間 M/mM の基底.
特に，M の極小生成系の元の個数は，極小生成系の取り方に依らず，dimR/m M/mM
と一致する．
∑r
証明. (⇐) x1 ,∑
. . . , xr が M/mM を生成するので，M/mM
=
i=1 R/mxi . 従っ
∑r
r
て，M = mM + i=1 Rxi となり，中山の補題から，M = i=1 Rxi を得る．よっ
て x1 , . . . , xr は M の生成系である．
x1 , . . . , xr が極小生成系でないとすると，適当に
∑r
∑r
番号を付け替えて，M = i=2 Rxi として良い．このとき，M/mM = i=2 R/mxi
となるので，x1 , . . . , xr が M/mM の基底であることに反する．(⇒) も同様の議論か
ら従う．
□
定義 9.6. 局所環 (R, m) の埋め込み次元 (embedding dimension) embdim R を
embdim R = dimR/m m/m2 = m の極小生成系の元の個数
と定義する．
36
定義 9.7. R を環とする．
(1) P を R の素イデアルとする．P から始まる素イデアルの降鎖列
P = P0 ⊋ P1 ⊋ · · · ⊋ Pn−1 ⊋ Pn
の長さ n の最大値を P の高さ (height) と言い，ht P と記す．最大値が存在
しない場合は，ht P = ∞ と定義する．
(2) R の次元 (dimension) dim R を
dim R = sup{ht P | P は R の素イデアル }
と定義する．(R, m) がネーター局所環ならば，全ての素イデアルは m に含
まれるので，dim R = ht m となる．
次の定理より，ネーター環の素イデアルの高さは常に有限である．
定理 9.8 (Krull の標高定理). R をネーター環とし，I = (a1 , . . . , ar ) を R のイデ
アルとする．P ⊂ R を I の極小素イデアル（I を含む素イデアルの中で包含関係に
関して極小のもの）とすると，ht P ≤ r が成り立つ．
注意 9.9. (R, m) がネーター局所環ならば，Krull の標高定理より，dim R = ht m <
∞ が成り立つ．R がネーターだが局所環でない場合は，dim R = ∞ となる例が知ら
れている（永田の反例）．
(R, m) をネーター局所環とする．Krull の標高定理より，
dim R = ht m ≤ m の極小生成系の元の個数 = embdim R
が成り立つ．
定義 9.10. (R, m) をネーター局所環とする．dim R = embdim R が成り立つと
き（つまり，m が dim R 個の元で生成されるとき），R は正則局所環 (regular local
ring) であると言う．
最も簡単な例として，多項式環の局所化もしくは形式的冪級数環を考える．
例 9.11. k を体とし，R を k[X1 , . . . , Xn ](X1 ,...,Xn ) (多項式環 k[X1 , . . . , Xn ] の極大
イデアル (X1 , . . . , Xn ) での局所化) もしくは形式的冪級数環 k[[X1 , . . . , Xn ]] のどち
らかとする．このとき，R は m = (X1 , . . . , Xn )R を極大イデアルに持つ局所環であ
る．m は n 個の元で生成されるので，embdim R ≤ n が成り立つ．一方，m から始
まる素イデアルの降鎖列
m = (X1 , . . . , Xn )R ⊋ (X1 , . . . , Xn−1 )R ⊋ · · · ⊋ (X1 )R ⊋ (0)
が考えられるので，ht m ≥ n. まとめると，n ≤ dim R ≤ embdim R ≤ n となるの
で，dim R = embdim R = n．つまり，R は正則局所環である．
例 9.12. Krull の標高定理において，一般には ht P ̸= r である．体 k 上の 4 変数多
項式環 k[X, Y, Z, W ] のイデアル (XZ, XW, Y Z, Y W ) の極小素イデアルは，(X, Y )
と (Z, W ) である．Krull の標高定理より，ht (X, Y ), ht (Z, W ) ≤ 4 となるが，実
際は ht (X, Y ) = ht (Z, W ) = 2 である．これは次のようにして確認できる．R =
k[X, Y, Z, W ], P = (X, Y ) とおくと，命題 8.2 より，ht P = ht P RP = dim RP であ
る．例 9.11 のようにして，RP が 2 次元正則局所環であることが確かめられるので，
ht P = 2.
37
次元を計算する上で有用な命題を述べる．まず，Krull の標高定理の系として次
が得られる．
系 9.13.
√ (R, m) は d 次元ネーター局所環とする．このとき，x1 , . . . , xd 4∈ m が存
在して， (x1 , . . . , xd ) = m が成り立つ．このような x1 , . . . , xd を R の巴系 (system
of parameters) と言う．
この系を証明するために，次の 2 つの事実を用いる．
事実 9.14. I を環 A のイデアルとする．
(1) P1∪, . . . , Pr を A の素イデアルとする．任意の j = 1, . . . , r に対し I ̸⊂ Pj なら
r
ば，I ̸⊂ j=1 Pj が成り立つ．
(2) A がネーター環ならば，I の極小素イデアルは有限個である．
例 9.15. k を体とする．k[X, Y, Z] のイデアル (XY, XZ) の極小素イデアルは (X)
と (Y, Z) である．
系 9.13 の証明. 任意の i = 1, . . . , d に対し，x1 , . . . , xi ∈ m が存在して，イデア
ル (x1 , . . . , xi ) の任意の極小素イデアル P の高さ ht P は i と等しいことを示す．これ
が示されれば，i = d の場合を考えると，(x1 , . . . , xd ) の任意の極小素イデアル P に
対し，ht P = d = dim R = ht m となるので，P = m
√を得る．つまり，(x1 , . . . , xd )
を含む素イデアルは m しか存在しないことになり， (x1 , . . . , xd ) = m が成り立つ．
i − 1 < d まで正しいと仮定する．つまり，x1 , . . . , xi−1 ∈ m が存在して，イデ
アル (x1 , . . . , xi−1 ) の任意の極小素イデアルの高さは i − 1 と等しいとする．事実
(2) より，(x1 , . . . , xi−1 ) の極小素イデアルを P1 , . . . , Pr とする．任意の j = 1, . . . , r
に対し ht Pj =
ht m なので，m ̸⊂ Pj . これより，事実
∪ i − 1 < d = dim R = ∪
(1) から m ̸⊂ rj=1 Pj となるので，xi ∈
/ rj=1 Pj となる xi ∈ m が存在する．Q を
(x1 , . . . , xi−1 , xi ) の極小素イデアルとすると，Pj の極小性から，ある
j = 1, . . . , r が
∪r
存在して，Q ⊃ Pj が成り立つ．xi の定義から xi ∈ Q \ j=1 Pj なので，Q ⊋ Pj と
なり，ht Q ≥ ht Pj + 1 = i を得る．一方，Krull の標高定理より ht Q ≤ i なので，
ht Q = i となる． □
系 9.13 を用いて，単項イデアルによる剰余環の次元を計算する．
命題 9.16. (R, m) をネーター局所整域とし，0 ̸= x ∈ m とする．このとき
dim R/xR = dim R − 1.
証明. P ⊂ R を，dim R/xR = dim R/P を満たす xR の極小素イデアルとする．
次元の定義から，dim R/xR + ht P ≤ dim R が成り立つ．R は整域だから (0) は
R の素イデアルであり，P ⊃ xR ⊋ (0) というイデアルの降鎖列が存在するので，
ht P ≥ 1. 一方，Krull の標高定理より ht P ≤ 1 なので，ht P = 1 となる． d := dim R とおき，dim R/xR ≤ d−2 と仮定して矛盾を導く．m := m mod xR ⊂
9.13 から，x1 , . . . , xd−2 ∈ m が存在して，
xi := xi mod xR ∈
R/xR とおくと，系
√
√
R/xR, (x1 , . . . , xd−2 ) = m が成り立つ．これより (x1 . . . , xd−2 , x) = m となり，m
は (x1 . . . , xd−2 , x) の極小素イデアルである．Krull の標高定理より，dim R = ht m ≤
d − 1 = dim R − 1 となるが，これは矛盾．
□
4ぱけいと読む．パラメータ系を意味する，松村英之先生の造語である．
38
注意 9.17. R を C 上有限生成な環 C[X1 , . . . , Xn ]/(f1 , . . . , fr ) (fi ∈ C[X1 , . . . , Xn ])
とする．R の極大イデアル m = (X 1 − a1 , . . . , X n − an ) に対し，局所化
Rm = (C[X1 , . . . , Xn ]/(f1 , . . . , fr ))(X 1 −a1 ,...,X n −an )
が正則局所環であることは，§6 のように m-Spec R を図形 V ⊂ Cn と見なしたとき，
点 (a1 , . . . , an ) で V が「特異点」を持たないことを意味する．
例 9.18.
(
R1 =
C[X, Y ]
2
(X + X 3 − Y 2 )
)
∼
=
(X,Y )
(X 2
C[X, Y ](X,Y )
+ X 3 − Y 2 )C[X, Y ](X,Y )
とおく．C[X, Y ](X,Y ) は 2 次元ネーター局所整域なので，命題 9.16 から，
dim R1 = dim C[X, Y ](X,Y ) − 1 = 2 − 1 = 1.
一方，R1 の極大イデアルを m1 とすると，
m1 =
(X, Y )C[X, Y ](X,Y )
(X 2 , XY, Y 2 )C[X, Y ](X,Y )
2
,
m
=
(X 2 + X 3 − Y 2 )C[X, Y ](X,Y ) 1 (X 2 + X 3 − Y 2 )C[X, Y ](X,Y )
なので，
embdim R1 = dimC
(X, Y )C[X, Y ](X,Y )
m1
=
dim
C
m21
(X 2 , XY, Y 2 )C[X, Y ](X,Y )
= embdim C[X, Y ](X,Y ) = 2.
よって R1 は正則局所環ではない．
(
R2 =
C[X, Y ]
2
(X + X 3 − Y 2 )
)
∼
=
(X+1,Y )
C[X, Y ](X+1,Y )
(X 2 + X 3 − Y 2 )C[X, Y ](X+1,Y )
とおく．C[X, Y ](X+1,Y ) は 2 次元ネーター局所整域なので，命題 9.16 から，
dim R2 = dim C[X, Y ](X+1,Y ) − 1 = 2 − 1 = 1.
X は C[X, Y ](X+1,Y ) において単元なので，
(X 2 + X 3 − Y 2 , Y )C[X, Y ](X+1,Y ) = (X 2 (X + 1), Y )C[X, Y ](X+1,Y )
= (X + 1, Y )C[X, Y ](X+1,Y )
が成り立つ．よって R1 の極大イデアルは
(X + 1, Y )C[X, Y ](X+1,Y )
C[X, Y ](X+1,Y )
= (Y ) 2
2
3
2
(X + X − Y )C[X, Y ](X+1,Y )
(X + X 3 − Y 2 )C[X, Y ](X+1,Y )
となり，R2 の極大イデアルは 1 つの元で生成される．よって R2 は正則局所環である．
m-Spec C[X, Y ]/(X 2 + X 3 − Y 2 ) は次の曲線 C と同一視できる．
R1 は正則局所環でなく，R2 は正則局所環であることを確認したが，これは曲線
C が原点 (0, 0) で特異点を持ち，(-1, 0) では特異点を持たないという事実に対応し
ている．
39
10. 完備化
命題 10.1 (Artin-Rees の補題). A をネーター環とし，I を A のイデアル，M を
有限生成 A 加群，N を M の部分 A 加群とする．このとき，ある n0 ∈ N が存在し
て，任意の n ≥ n0 に対し，
I n M ∩ N = I n−n0 (I n0 M ∩ N )
が成り立つ．
系 10.2 (Krull の交叉定理
). (A, m) をネーター局所環とし，M を有限生成 A 加
∩
n
群とする．このとき，
m M = 0 が成り立つ．
∩
n≥0
証明. N = n≥0 mn M とおくと，N は M の部分加群である．M はネーター
環 A 上の有限生成加群なので，ネーター加群である．よって，その部分加群であ
る N も有限生成 A 加群である．Artin-Rees の補題から，ある n0 ∈ N が存在して，
mn0 +1 M ∩ N = m(mn0 M ∩ N ) が成り立つ．N の定義から，任意の n ∈ N に対し
mn M ∩ N = N なので，N = mN を得る．N は有限生成 A 加群なので，中山の補題
から，N = 0 を得る．
□
以下，(R, m) を局所環とする．任意の x ∈ R に対し，{x + mn }n∈Z≥0 を x の基本
開近傍系とする位相を R に入れる．つまり，R の部分集合 U に対し，
∪
U が R の開集合 ⇐⇒ U =
xλ + mnλ (∃ {xλ }λ∈Λ R の元の族, ∃ nλ ∈ Z≥0 )
λ∈Λ
が成り立つ．この位相を R の m 進位相 (m-adic topology) と言う．位相空間 X が分
離的 (separated) 5とは，任意の x, y ∈ X (x ̸= y) に対し，X の開集合 U, V が存在し
て，x ∈ U, y ∈ V かつ U ∩ V = ∅ が成り立つときに言う．
補題 10.3. ∩
局所環 (R, m) に m 進位相を入れる．このとき，位相空間 R が分離的
であることと n≥0 mn = (0) であることは同値である．特に R がネーターならば，
R は分離的である．
5Hausdorff 空間と言う方が一般的かもしれないが，可換環論の慣例に従って，ここでは分離的と言
うことにする．
40
∩
証明. n≥0 mn = (0) ならば，任意の x, y ∈ R (x ̸= y) に対し，x − y ∈
/ mn となる
n ∈ N が存在する．x + mn は x の開近傍，y + mn は y の開近傍であるが，x − y ∈
/ mn
n
n
より，(x + m
∩ ) ∩ (yn + m ) = ∅. 従って R は分離的である．
0 ̸= x ∈ n≥0 m ならば，x は 0 の任意の開近傍に含まれる．よって R は分離的
ではない．
□
分離的位相空間 X が完備 (complete) とは，X の任意の Cauchy 列が収束する
ときに言う．局所環 (R, m) に m 進位相を入れたとき，{xn }n∈N (xn ∈ R) が Cauchy
列であるとは，任意の n ∈ N に対し，ある n0 ∈ N が存在して，k, l ≥ n0 ならば
xk − xl ∈ mn が成り立つことである．Cauchy 列 {xn }n∈N が x ∈ R に収束するとは，
任意の n ∈ N に対し，ある n0 ∈ N が存在して，k ≥ n0 ならば x − xk ∈ mn が成り
立つことである．このとき， lim xn = x と書く．
n→∞
定義 10.4. (R, m) を局所環とする．R が完備局所環であるとは，R が m 進位相
に関して完備であることと定義する．
一般にネーター局所環 R は完備ではない．
{ a 例 10.5. Z(7) を有理整数環 Z の素イデアル (7)}による局所化とする．つまり，Z(7) =
∈ Q | a ∈ Z, b は 7 で割り切れない非零整数 である．Z(7) の (7)Z(7) 進位相を考
b
える．x1 = 10 = 3+1·7, x2 = 108 = 3+1·7+2·72 , x3 = 2166 = 3+1·7+2·72 +6·73
とおく．n ≥ 4 については，xn mod 7n = xn−1 かつ x2n mod 7n+1 = 2 となるように
xn ∈ Z(7) をとる．このとき，{xn }n∈N は Cauchy 列であるが，{xn }n∈N は Z(7) におい
て収束しない．もし lim xn = x となる x ∈ Z(7) が存在すると仮定すると，{xn }n∈N
n→∞
のとり方から x2 = 2 となるが，これは x ∈ Z(7) に反する．
そこで完備化という操作を考える．
定義 10.6. (R, m) を局所環とする．任意の n ∈ N に対し，πn : R/mn → R/mn−1
を自然な全射とする．このとき，
R := {(an )n∈N | an ∈ R/mn , πn (an ) = an−1 }(= lim R/mn と記す)
←−
n
R/m o
a1 o
π2
R/m2 o
✤
a2 o
π3
··· o
✤
··· o
πn
πn+1
R/mn o
✤
an o
✤
···
···
と R を定義し，これを R の m 進完備化 (m-adic completion) と言う．
R は，加法・乗法を次のように定義することにより，
（可換）環になる．
(an )n∈N + (bn )n∈N = (an + bn )n∈N ,
(an )n∈N · (bn )n∈N = (an bn )n∈N .
単位元は (1)n∈N = (1, 1, . . . ) である．このとき，
φ : R → R x → (xn )n∈N (xn := x mod mn ∈ R/mn )
は環準同型になる．
ker φ = {x ∈ R | xn := x mod mn = 0 ∈ R/mn (∀ n ∈ N)} =
∩
mn
n∈N
なので，補題 10.3 から，R が m 進位相に関して分離的であることと φ が単射である
ことは同値である．
41
命題 10.7. 局所環 (R, m) に m 進位相を入れる．R が完備であることと φ : R → R
が同型であることは同値である．
証明. R は分離的，つまり，φ は単射と仮定してよい．
(⇒) (xn )n∈N ∈ R とする．xn mod mn = xn ∈ R/mn となる xn ∈ R を 1 つとる．
πn (xn ) = xn−1 より，xn mod mn−1 = xn−1 mod mn−1 . つまり，xn − xn−1 ∈ mn−1 .
これより，任意の n ∈ N に対し，k > l ≥ n ならば，
(∗)
xk − xl = (xk − xk−1 ) + · · · + (xl+1 − xl ) ∈ ml ⊂ mn
が成り立つので，{xn }n∈N は Cauchy 列である．R は完備なので，次を満たす x∞ ∈ R
が存在する: 任意の n ∈ N に対し，ある整数 mn ≥ n が存在して，k ≥ mn ならば，
x∞ − xk ∈ mn が成り立つ．このとき (∗) より，
x∞ mod mn = xk mod mn = xn mod mn = xn
が成り立つので，φ(x∞ ) = (xn )n∈N . よって φ は全射である．
(⇐) {xn }n∈N を R の Cauchy 列とする．すなわち，任意の n ∈ N に対し，ある整数
mn ≥ n が存在して，k > l ≥ mn ならば，xk −xl ∈ mn が成り立つ．m0 < m1 < m2 <
. . . としても一般性を失わない．任意の n ∈ N に対し，yn = xmn mod mn ∈ R/mn とお
く．このとき，mn > mn−1 より，πn (yn ) = xmn mod mn−1 = xmn−1 mod mn−1 = yn−1 ．
よって，(yn )n∈N ∈ R となるので，φ が同型であることから，φ(y) = (yn )n∈N とな
る y ∈ R が存在する．つまり，y mod mn = yn = xmn mod mn ．これより，任意の
n ∈ N に対し，k ≥ mn ならば，y − xk = (y − xmn ) + (xmn − xk ) ∈ mn を得る． □
補題 10.8. (R, m) をネーター局所環，R を R の m 進完備化とし， m = mR とお
く．このとき，任意の n ∈ N に対し，R/mn ∼
= R/mn が成り立つ．
証明. 自然な環準同型 ρn : R → R/mn (xm )m∈N → xn を考える．ρn は明らか
に全射なので（確認せよ），ker ρn = mn を示す．ρn (mn ) = ρn (mn )R/m = 0 より，
ker ρn ⊂ mn を示せば良い．k ≥ l のとき，πk,l : R/mk → R/ml を自然な全射とする．
x := (xm )m∈N ∈ ker ρn とする．f1 , . . . , fr を R のイデアル mn の生成系とする，つ
(2n)
(2n)
まり，mn = (f1 , . . . , fr ). 定義より x2n ∈ mn /m2n ⊂ R/m2n なので，b1 , . . . , br ∈
∑
(2n)
(2n+1)
(2n)
) = bi と
R/m2n が存在して，x2n = ri=1 fi bi と書ける．ここで，π2n+1 (βi
(2n+1)
なるように βi
∈ R/m2n+1 をとる．すると，
π2n+1 (x2n+1 ) = x2n =
r
∑
(2n)
fi b i
= π2n+1 (
r
∑
(2n+1)
fi β i
)
i=1
i=1
∑r
(2n+1)
∈ m2n /m2n+1 = mn · mn /m2n+1 ⊂ R/m2n+1 . よって，
なので，x2n+1 − i=1 fi βi
∑
∑
(2n+1)
(2n+1)
(2n+1)
と書ける．
+ ri=1 fi γi
γi
∈ mn /m2n+1 が存在して，x2n+1 = ri=1 fi βi
(2n+1)
(2n+1)
(2n+1)
2n+1
bi
= βi
+ γi
∈ R/m
とおき直すと，
x2n+1 =
r
∑
(2n+1)
fi bi
,
(2n+1)
πn,2n+1 (bi
i=1
42
(2n)
) = πn,2n (bi
).
この操作を機能的に繰り返すことによって，任意の j ≥ 0 に対し，次を満たす
∈ R/m2n+j+1 を構成できる:
(2n+j+1)
(2n+j+1)
b1
, . . . , br
x2n+j+1 =
r
∑
(2n+j+1)
fi b i
,
(2n+j+1)
πn+j,2n+j+1 (bi
(2n+j)
) = πn+j,2n+j (bi
).
i=1
(m)
(m)
ここで，任意の m ∈ N に対し，y1 , . . . , yr ∈ R/mm を
{
(2n)
πm,2n (bi )
(m < n)
(m)
yi :=
(m+n)
πm,m+n (bi
) (m ≥ n)
∑r
(m)
(m)
(m−1)
と定義すると，xm =
, πm (yi ) = yi
が成り立つ．よって，yi :=
i=1 fi yi
∑
(m)
□
(yi )m∈N ∈ R で，x = i=1 fi yi ∈ mR = m である．
定理 10.9. (R, m) をネーター局所環，R を R の m 進完備化とし, m = mR とお
く． このとき，(R, m) は完備ネーター局所環である．
証明. まず，(R, m) が局所環であることを示す．x = (xn )n∈N ∈ R \ m が単元で
あることを示せば良い．つまり，任意の n ∈ N に対し，xn ∈ R/mn が単元であるこ
とを示す．補題 10.8 より ker(ρ1 : R → R/m) = m なので，x1 = ρ1 (x) ̸= 0 であるこ
とに注意する．ある n ∈ N について xn が単元でないとすると，xn は R/mn の極大
イデアル m/mn に含まれる．このとき，x1 = πn (xn ) ∈ πn (m/mn ) = 0 となるが，こ
れは x1 ̸= 0 に反する．
∩
次に，(R, m) が完備局所環であることを示す．まず， n∈N mn = (0) を示す．補
n
n
題 10.8 より，(xm
∩)m∈N ∈n m = ker(ρn : R → R/m ) ならば，xn = 0 である．従って，
x = (xm )m∈N ∈ n∈N m ならば，任意の n ∈ N に対して xn = 0 となるので，x = 0
である．これより，R は m 進位相に関して分離的である．さらに補題 10.8 より，自
然な全射は R/mn → R/mn−1 は πn : R/mn → R/mn−1 と同型である．よって，R の
m 進完備化 R は R と同型となり，命題 10.7 から，R は完備である．
⊕
最後に，R がネーター環であることを示す．grm R := n≥0 mn /mn+1 とおく．
xi xj := (xi mod mi+j )(xj mod mi+j ) ∈ R/mi+j
(xi ∈ R/mi , xj ∈ R/mj )
と乗法を定義することにより，grm R は環になる．任意の n ∈ N に対し，mn /mn+1 =
(m/m2 )n が成り立つので，grm R は体 R/m 上 m/m2 で生成される環である．x1 , . . . , xd
を R/m ベクトル空間 m/m2 の基底とすると，grm R = R/m[x1 , . . . , xd ] と書けるの
で，Hilbert の基底定理より grm R はネーター環である．補題 10.8 から mn /mn+1 ∼
=
⊕
n
n+1
n
n+1
m /m
が分かるので，grm R := n≥0 m /m
は grm R と環同型であり，特にネー
∩
n
ター環である．また， n∈N m = (0) なので，x が R の非零元ならば，x ∈ mn \ mn+1
となる n ∈ Z≥0 がとれる．このような x ∈ R に対し，
in(x) := x mod mn+1 ∈ mn /mn+1 ⊂ grm R,
deg in(x) = n
と定義する．
I を R のイデアルとし，R 上有限生成であることを示す．
in(I) := {in(x) | x ∈ I} で生成される grm Rのイデアル
43
とおくと，grm R はネーター環なので，in(I) は有限生成である．従って，x1 , . . . , xr ∈ I
∑r
が存在して，in(I) = i=1 grm R in(xi ) と書ける．deg in(xi ) = di とおく．y を I の
∑r
任意の非零元とし，deg in(y) = m とする．in(y) ∈ in(I) = i=1 grm R in(xi ) なの
で，αi ∈ mm−di /mm−di +1 が存在して（di > m の場合は αi = 0 とする），in(y) =
∑r
(0)
mod mm−di +1 = αi となる
i=1 αi in(xi ) と書ける．各 i = 1, . . . , r に対し，ai
∑
(0)
(0)
ai ∈ mm−di \ mm−di +1 をとると，in(y) = ri=1 in(ai ) in(xi ) が成り立つ．これは y−
∑r
∑
(0)
(0)
r
m+1
を意味する．y (1) = y − i=1 ai xi ∈ I とおくと，deg in(y (1) ) :=
i=1 ai xi ∈ m
(1)
m1 > m となる．y (1) に対しても同様の操作を行うと，ai ∈ mm1 −di \ mm1 −di +1 が
∑
(1)
(1)
r
存在して（di > m1 の場合は ai = 0 とする），y1 − i=1 ai xi ∈ mm1 +1 を得る．こ
∑r
(0)
(1)
のとき，y − i=1 (ai + ai )xi ∈ mm1 +1 である．
この操作を帰納的に繰り返すことにより，整数の列 m < m1 < · · · < mj < · · ·
(k)
が存在し，さらに任意の k ∈ N に対し ai ∈ mmk −di \ mmk −di +1 が存在して，
( j
)
r
∑
∑ (k)
y−
ai
xi ∈ mmj +1
i=1
∑j
k=1
(k)
が成り立つ．{ k=1 ai }j∈N は R の Cauchy 列をなすので，R の完備性より，収束
∑∞ (k)
∑r
する．収束先を ai := k=1 ai ∈ R とおくと，y = i=1 ai xi となるので，I は R 上
□
有限生成である．
注意 10.10. R が d 次元ネーター局所環ならば，R も d 次元であることが知られ
ている（dim R ≥ dim R は Krull の標高定理から従う．dim R ≤ dim R は下降定理
と呼ばれる定理から従う）．
以下，局所環 (R, m) の完備化と言えば，m 進完備化を考えるものとする．
例 10.11. (1) k を体とし，R = k[X1 , . . . , Xn ](X1 ,...,Xn ) を k 上の多項式環の局所化
とする．このとき，R の完備化は k[[X1 , . . . , Xn ]] である．
(2) p を素数とし，Z(p) を有理整数環 Z の素イデアル (p) による局所化とする．
Z(p) の完備化 Zp := lim Z/pn Z を p 進整数環と言う．p 進数についてここでは詳しく
←−
説明しないが，Zp = {p 進整数全体 } となる．
(
)
]
例 10.12. 例 9.18 の局所環 R1 = (X 2C[X,Y
を完備化すると，
+X 3 −Y 2 )
(X,Y )
R1 =
=
C[[X, Y ]]
+ X 3 − Y 2)
(X 2
(X +
−
C[[X, Y ]]
∼
=
(X + Y )(X − Y )
1 2
X
2
1 3
X
8
C[[X, Y ]]
+ · · · + Y )(X + 12 X 2 − 18 X 3 + · · · − Y )
となる．ただし，最後の同型は X + 12 X 2 − 81 X 3 + · · · → X, Y → Y という変数変
換によって得られる．これは，例 9.18 のように m-Spec C[X, Y ]/(X 2 + X 3 − Y 2 ) を
曲線 C := {(x, y) ∈ C2 | y 2 = x3 + x2 } と同一視したとき，原点 (0,0) の十分小さい
ユークリッド近傍では，曲線 C は 2 直線 x + y = 0, x − y = 0 が描く図形と見なせ
るという事実に対応している．
44
定義 10.13. (R, m) を局所環とする．
(1) R が等標数 (equal characteristic) であるとは，R の標数と体 R/m の標数
が一致することである．これは，R が部分環として体を含むことと同値で
ある．
(2) R が混標数 (mixed characteristic) であるとは，R の標数が 0 で体 R/m の
標数が素数になることである．これは，R が部分環として体を含まないこ
とと同値である．
例 10.14. (1) k を体とすると，k 上の一変数形式的冪級数環 k[[X]] は等標数で
ある．
(2) p を素数とし，Zp を p 進整数環とする．Zp /pZp ∼
= Z/pZ なので，Zp は混標
数である．
定理 10.15 (完備局所環の構造定理). (R, m) をネーター完備局所環とする．こ
のとき，正則局所環 S とそのイデアル I ⊂ S が存在して，R は S/I と環同型であ
る．特に R が等標数のとき，k = R/m とおくと，S として k 上の形式的冪級数環
k[[X1 , . . . , Xn ]] がとれる．
系 10.16. (R, m) を d 次元等標数ネーター局所環，R を R の m 進完備化とし，
k = R/m とおく．このとき，次の 3 条件は同値である．
(a) R は正則．
(b) R は正則．
(c) R ∼
= k[[X1 , . . . , Xd ]].
系 10.17. (R, m) を d 次元等標数ネーター完備局所環とし，k = R/m とおく．こ
のとき，次の 2 条件を満たす R の部分環 A が存在する．
(a) A ∼
= k[[X1 , . . . , Xd ]].
(b) R は A 加群として有限生成である．
定義 10.18. R を d 次元等標数ネーター完備局所環とし，k = R/m とおく．系
10.17 より，A ∼
= k[[X1 , . . . , Xd ]] でかつ R は A 加群として有限生成になるような R
の部分環 A が存在する．
(1) R が Cohen-Macaulay 環 (Cohen-Macaulay ring) であるとは，R が自由
A 加群になることである．
(2) R は Cohen-Macaulay 環であると仮定する．このとき，有限生成 R 加群 M
が極大 Cohen-Macaulay 加群 (maximal Cohen-Macaulay module) である
とは，M が A 加群として自由加群になることである．特に R は極大 CohenMacaulayR 加群である．
例 10.19. (1) R = k[[X1 , . . . , Xd ]] とおく．このとき A = R ととれるので，R は
自由 A 加群であり，R は Cohen-Macaulay 環である．同様に，有限生成 R 加群 M が
極大 Cohen-Macaulay 加群であるとは，M が自由 R 加群であることに他ならない．
このように，極大 Cohen-Macaulay 加群は自由加群の自然な拡張と見なせる．
(2) R = C[[X, Y, Z]]/(XZ −Y 2 ) とおく．R は 2 次元等標数ネーター完備局所環で
ある．X, Y , Z の R における像をそれぞれ x, y, z とおく（環準同型 C[[X, Y, Z]] → R
を考えている）．R の部分環 A = C[[x, z]] ⊂ R = C[[x, y, z]] は 2 変数形式的冪級
数環と同型で，xz = y 2 より R = A ⊕ Ay と書けるので，R は A 加群として自由
である．従って，R は Cohen-Macaulay 環である．また M = Rx + Ry とおくと，
45
M = Ax ⊕ Ay と書けるので，M は極大 Cohen-MacaulayR 加群である．R の極大
Cohen-Macaulay 加群は，同型を除いて，R と M のみであることが知られている．
(3) R = C[[X, Y, Z]]/(XY, XZ) とおく．R は等標数ネーター完備局所環である．
まず dim R を計算する．(XY, XZ) ⊂ C[[X, Y, Z]] の極小素イデアルは (X), (Y, Z) な
ので，
dim R = max {dim C[[X, Y, Z]]/(X), dim C[[X, Y, Z]]/(Y, Z)}
= max{dim C[[Y, Z]], dim C[[X]]} = 2.
X, Y , Z の R における像をそれぞれ x, y, z とおく．R の部分環
A = C[[x + y, x + z]] ⊂ R = C[[x, y, z]]
は 2 変数形式的冪級数環と同型で，R = A + Ax と書ける．
dimC R/(x + y, x + z)R = dimC C[[X]]/(X 2 ) = 2
より，1, x は A 加群 R の極小生成系である．しかし，y − z = (x + y) − (x + z) ∈ A
は非零元だが，xy = xz = 0 より (y − z)x = yx − zx = 0．よって，1, x は A 加群 R
の自由基底ではない．従って，R は Cohen-Macaulay 環ではない．
注意 10.20. 現代可換環論・代数幾何では，Cohen-Macaulay 性は「双対性」が成
り立つための条件として導入される．ここで言う「双対性」はホモロジー代数を用
いて定式化されるため，この講義では触れないことにする．この講義では簡単のた
め等標数完備局所環に対してのみ Cohen-Macaulay 性を定義したが，ホモロジー代
数を用いれば混標数の環に対しても定義される．例えば，Zp は Cohen-Macaulay 環
である．詳しくは，堀田良之著『環と体』第 1 部第 8 章を参照されたい．
11. 代数的 McKay 対応
定義 11.1. id ∈ GL2 (C) は単位行列を表すとする．
(1) g ∈ GL2 (C) が擬鏡映 (pseudo-reflection) であるとは，rank(g − id) ≤ 1 が
成り立つことと定義する．
(
)
a b
(2) G ⊂ GL2 (C) を有限部分群とする．任意の g =
∈ G に対し，
c d
g(x) = ax + by,
g(y) = cx + dy,
g(u) = u (∀ u ∈ k)
と定義すると，g は環準同型 C[[x, y]] → C[[x, y]] を誘導する．S = C[[x, y]]
とおいたとき，
S G = {f ∈ S | g(f ) = f (∀ g ∈ G)}
と定めると，S G は S の部分環である．S G を S の G の作用による不変式環
(invariant subring) と言う．
注意 11.2. 次の事実が知られている．
(1) S G が正則局所環であることと，G が擬鏡映で生成されることは同値である．
(2) S G は 2 次元 Cohen-Macaulay 局所環である．
定義 11.3. G ⊂ GL2 (C) を有限部分群とする．V0 , V1 , . . . , Vr を G の全ての既約
表現（の同値類の代表元）とする（V0 を自明表現とする）．また W = C2 を表現
G → GL2 (C) の表現空間とする．このとき，McKay 箙 (McKay quiver) を次のよ
うに定義する．
46
(a) 各 Vi を箙（グラフ）の頂点とする．
(b) mij を W ⊗ Vj における Vi の重複度としたとき，Vi から Vj に mij 本の矢を
描く．
⊕m
⊕m
⊕m
つまり，W ⊗ Vj ∼
= V0 0j ⊕ V1 1j ⊕ · · · ⊕ Vr rj である．指標と使うと，mij は
1 ∑
χi (g)χW (g −1 )χj (g −1 )
mij = ⟨χi , χW χj ⟩ =
|G| g∈G
と書ける．ここで，χi は Vi の，χW は W の指標である．
(
)
i 0
例 11.4. g =
とし，G = ⟨g⟩ ⊂ GL2 (C) とおく．G は位数 4 の巡
0 −i
回群であり，同値を除いて 4 つの 1 次元既約表現 V0 , V1 , V2 , V3 を持つ．W = C2 を
G → GL2 (C2 ) の表現空間とすると，指標表は次のようになる．
χ0
χ1
χ2
χ3
χW
id
g g2 g3
1
1
1
1
1
i −1 −i
1 −1
1 −1
1 −i −1
i
2
0 −2
0
よって，例えば，
1∑
χ0 (g i )χW (g 4−i )χ1 (g 4−i ) = 1
4 i=0
3
m01 = ⟨χ0 , χW χ1 ⟩ =
1∑
= ⟨χ0 , χW χ1 ⟩ =
χ0 (g i )χW (g 4−i )χ1 (g 4−i ) = 0
4 i=0
3
m02
となる．同様にして，m01 = m10 = m12 = m21 = m23 = m32 = m30 = m03 = 1，そ
れ以外の mij は全て 0 であることが確認できる．よって G の McKay 箙は
V0 –
b
~
V1 o
2
G V2 o
G V3
と書ける．自明表現以外の頂点には表現の次元を書くことにすると，
c

1o
V0 •
1
G1o
G1
となる．
以下しばらく，(R, m) は等標数完備 Cohen-Macaulay 局所環で，k = R/m は代
数閉体と仮定する．0 でない 2 つの部分加群の直和で表すことができない加群のこ
とを直既約加群といい，直既約加群の和に分解することを直既約分解と言う．R が
上の仮定を満たすとき，R 加群の直既約分解は同型を除いて一意であることが知ら
れている (Krull-Schmidt の定理)．
47
⊕
i Mi , N =
⊕ 定義 11.5. M, N ̸= 0 を極大 Cohen-MacaulayR 加群とし，M =
j Nj を M , N の直既約分解とする．
⊕
(1) HomR (M, N ) = i,j HomR (Mi , Nj ) の部分 R 加群 rad(M, N ) を次のように
定義する．
rad(M, N ) = {φ = (φij : Mi → Nj ) | 各 φij は R 同型ではない }
(2) HomR (M, N ) の部分 R 加群 rad2 (M, N ) を次のように定義する．R 準同型
φ : M → N が rad2 (M, N ) に属するとは，ある極大 Cohen-MacaulayR 加群
L, α ∈ rad(M, L), β ∈ rad(L, N ) が存在して，φ = β ◦ α が成り立つことと
定義する．
φ
GN
M
c
α
2
β
L
φ = β ◦ α ∈ rad(M, N ) より，rad2 (M, N ) ⊂ rad(M, N ) に注意する．
(3) Irr(M, N ) = rad(M, N )/rad2 (M, N ) と定義する．
補題 11.6. Irr(M, N ) は k ベクトル空間である．
証明. 任意の r ∈ m, 任意の φ ∈ rad(M, N ) に対し，rφ ∈ rad2 (M, N ) を示せば
φ
×r
×r
良い．rφ : M −
→ N −→ N だが，r ∈ m より N −→ N は R 同型ではない（もし全
射ならば N = rN となるが，これは中山の補題より N = 0 を意味する）．よって
×r
N −→ N ∈ rad(N, N ) となるので，rφ ∈ rad2 (M, N ) を得る．
□
定義 11.7. 同型を除いて，極大 Cohen-MacaulayR 加群は有限個しか存在しない
と仮定する（このような環 R を有限 Cohen-Macaulay 型と言う）．M1 , . . . , Mr を
極大 Cohen-MacaulayR 加群の同型類の代表元とする．このとき，R の AuslanderReiten 箙 (Auslander-Reiten quiver) を次のように定義する．
(a) 各 Mi を箙（グラフ）の頂点とする．
(b) mij = dimk Irr(M, N ) としたとき，Mi から Mj に mij 本の矢を描く．
一般に Auslander-Reiten 箙を計算するためには，Auslander-Reiten 理論が必要
になるが，この講義ではそこまで立ち入らず，最も簡単な例を挙げるに止める．
例 11.8. R = k[[X1 , . . . , Xd ]] とする．例 10.19 (1) で見たように，極大 CohenMacaulayR 加群は全て自由加群なので，直既約極大 Cohen-MacaulayR 加群は（同
型を除いて）R のみである．HomR (R, R) ∼
= R ϕ → ϕ(1) であることに注意する
と，rad(R, R) ∼
= m であることが分かる．rad2 (R, R) は rad(R, R) の合成で書ける
写像のことだから，rad2 (R, R) ∼
= m2 となる．従って，Irr(R, R) ∼
= m/m2 となり，
dimk Irr(R, R) = d である．以上をまとめると，R の Auslander-Reiten 箙は次のよ
うになる．
d
[R]d
次の定理がこの講義の主定理である．
定理 11.9 (代数的 McKay 対応). G ⊂ GL2 (C) は有限部分群で，単位行列以外の
擬鏡映を持たないと仮定する．定義 11.1 (2) で見たように，G は S = C[[x, y]] に自
然に作用する． R = S G とおく．
48
(1) 次の集合の間の全単射が存在する．
Ψ : {G の既約表現の同値類 } → { 極大 Cohen-MacaulayR 加群の同型類 }
ただし，
Ψ(Vi ) = (S ⊗C Vi )G
{
}
∑
∑
∑
=
sj ⊗ vj |
g(sj ) ⊗ ρi (g)(vj ) =
sj ⊗ vj (∀ g ∈ G) .
j
j
j
特に，極大 Cohen-MacaulayR 加群は同型を除いて有限個しか存在しない．
(2) 上の全単射で，G の既約表現と R の極大 Cohen-Macaulay 加群を同一視し
たとき，McKay 箙と Ausalnder-Reiten 箙は一致する．
(
)
i 0
例 11.10. g =
とし，G = ⟨g⟩ ⊂ GL2 (C) とおく．S G = R =
0 −i
C[[x4 , xy, y 4 ]] ∼
= C[[u, v, w]]/(uw − v 4 ) は 2 次元等標数ネーター完備局所環である．
例 11.4 と同じように，G は 4 つの 1 次元既約表現 V0 , V1 , V2 , V3 を持つ．
• ρ0 (g) = id より，(S ⊗C V0 )G = S G = R．
• ρ1 (g) = i より，(S ⊗C V1 )G = {f ∈ S | ig(f ) = f } = Rx3 + Ry.
• ρ2 (g) = −1 より，(S ⊗C V2 )G = {f ∈ S | −g(f ) = f } = Rx2 + Ry 2 .
• ρ3 (g) = −i より，(S ⊗C V3 )G = {f ∈ S | −ig(f ) = f } = Rx + Ry 3 .
R の部分環 A = C[[x4 , y 4 ]] は 2 変数形式的冪級数環と同型で，
R = A ⊕ Axy ⊕ Ax2 y 2 ⊕ Ax3 y 3
と書けるので，R は確かに Cohen-Macaulay 環である．また
Rx3 + Ry = Ax3 ⊕ Ay ⊕ Axy 2 ⊕ Ax2 y 3
Rx2 + Ry 2 = Ax2 ⊕ Ay 2 ⊕ Ax3 y ⊕ Axy 3
Rx + Ry 3 = Ax ⊕ Ay 3 ⊕ Ax2 y ⊕ Ax3 y 2
より，これらは極大 Cohen-MacaulayR 加群である．極大 Cohen-MacaulayR 加群は
同型を除いてこの 4 つだけである．Q(R) を R の商体としたとき，R 加群 M の階数
(rank) を dimQ(R) M ⊗R Q(R) (M ⊗R Q(R) の Q(R) ベクトル空間としての次元) と
定義する．Ausalnder-Reiten 箙の R 以外の頂点には極大 Cohen-Macaulay 加群の階
数を書くことにすると，R の Ausalnder-Reiten 箙は次のようになる．
c

{(
1o
[R] •
1
G1o
G1
)}
1 0
例 11.11.
̸= G ⊂ SL2 (C) を有限部分群とすると，G は次の 5 つの
0 1
部分群のいずれかと共役であることが Klein によって知られている．ξm を 1 の原始
m 乗根とする．
(An ) 位数 n + 1 の巡回群 (n ≥ 1)
)⟩
⟨(
ξn+1
0
An =
n
0 ξn+1
49
(Dn ) 位数 4(n − 2) の 2 項正 2 面体群 (n ≥ 4)
⟨(
) (
)⟩
ξ2n−4
0
0 i
Dn =
,
2n+3
i 0
0
ξ2n−4
(E6 ) 位数 24 の 2 項正 4 面体群
⟨
(
)
⟩
1
ξ8 ξ83
T = √
, D4
7
2 ξ8 ξ8
(E7 ) 位数 48 の 2 項正 8 面体群
⟨(
ξ83 0
0 ξ85
O=
⟩
)
,T
(E8 ) 位数 120 の 2 項正 20 面体群
⟨
( 4
( 2
)⟩
)
1
1
ξ5 − ξ5 ξ52 − ξ53
ξ5 − ξ54 ξ54 − 1
I= √
,√
2
3
4
1 − ξ5 ξ53 − ξ5
5 ξ5 − ξ5 ξ5 − ξ5
5
それぞれの McKay 箙 (=Auslander-Reiten 箙) は次のようになる．
(An ) 頂点の数は n+1 個 (n ≥ 1)
U V0 g
w
1o
G1o
G ··· o
9G
G1o
1
(Dn ) 頂点の数は n+1 個 (n ≥ 4)
V0 •
d1
1
1
o
c2
G2o
G ··· o
Ð
G2 ”
G2o

0
(E6 )
V0y
2y
1o
G2o
G3o
G2o
G1
G3o
G2o
(E7 )
2y
V0 o
G2o
G3o
G4o
50
G1
1
(E8 )
3y
V0 o
G2o
G3o
G4o
G5o
G6o
G4o
G2
注意 11.12. 代数的 McKay 対応が G の既約表現と S G の極大 Cohen-Macaulay
加群を対応させるものだったのに対し，幾何学的 McKay 対応とは G の既約表現と
m-Spec S G の特異点解消に現れる例外曲線 (exceptional curve) を対応させる．
51