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因数分解
ポ イ ン ト
❶　因数分解の公式
ma;mb/m
（a;b）
……㋐
a ;2ab;b /
（a;b） ……㋑
2
2
2
（a,b） ……㋒
a ,2ab;b /
2
2
2
（a;b）
（a,b）
……㋓
a ,b /
2
2
x;
（a;b）
x;ab/
（x;a）
（x;b）
……㋔
2
（ad;bc）
x;bd/
（ax;b）
（cx;d）
……㋕
acx ;
2
注 展開公式を逆にみたものが，因数分解の公式である。
○
パターン 1 因数分解①
次の式を因数分解しなさい。
2
2
2 2
2
⑵ 2x y ,4x y;6xy
⑴ 2a b;3ab
⑶ （x;y）
a,
（x;y）b
すべての項に共通な数や文
解き方　因数分解の公式㋐を使う。
2
2
⑴ 2a b と 3ab では，ab が共通なので，
2
2
①
2a b;3ab /ab（2a; ）
2 2
2
⑵ 2x y と 4x y と 6xy では，2xy が共通なので，
2 2
2
②
③
2x y ,4x y;6xy/2xy（xy, ; ）
⑶ （x;y）
a と（x;y）
b では，x;y が共通なので，
④
⑤
（x;y）
a,
（x;y）b/（x;y）
（ , ）
解き方の答え
パターン 2 因数分解②
次の式を因数分解しなさい。
2
2
⑵ a ,6a;9
⑴ x ;8x;16
2
2
⑶ x ,9y
解き方　因数分解の公式㋑，㋒，㋓を使う。
⑴ 因数分解の公式㋑を使うと，
2
2
2
2
①
①
①
x ;8x;16/x ;2:x: ; /（x; ）
⑵ 因数分解の公式㋒を使うと，
2
2
2
2
②
②
②
/（a, ）
a ,6a;9/a ,2:a: ; ⑶ 因数分解の公式㋓を使うと，
2
2
2
2
③ （x, ）
③
（3y）/
（x; ）
x ,9y /x ,
8
 ヒント
字をみつけて，くくり出せ
ばよい。
① 3b
② 2x
④a
⑤b
③3
解答
⑴ ab（2a;3b）
⑵ 2xy（xy,2x;3）
⑶ （x;y）
（a,b）
 ヒント
因数分解は式の展開の逆の
ことであるから，例えば⑴
では，どのような式を展開
す る と，x ;8x;16 に な る
2
かを考えてみる。
解き方の答え
①4
②3
③ 3y
解答
⑴ （x;4）
2
⑵ （a,3）
2
⑶ （x;3y）
（x,3y）
パターン 3 因数分解③
 ヒント
次の式を因数分解しなさい。
2
2
⑵ a ,7a;12
⑴ x ;4x;3
2
2
⑷ y ,2y,8
⑶ x ;x,6
x ;（a;b）x;ab
和 積
2
/
（x;a）
（x;b）
解き方　因数分解の公式㋔を使う。
⑴ 積が 3，和が 4 になる 2 数は，1 と 3 なので，
2
2
①
x ;4x;3/x ;
（1;3）x;1:3/
（x;1）
（x; ）
解き方の答え
⑵ 積が 12，和が ,7 になる 2 数は，,3 と ,4 なので，
2
2
（,3,4）a;（,3）:
（,4）
a ,7a;12/a ;
②
/
（a,3）
（a, ）
①3
②4
③3
④2
⑤2
⑥4
解答
⑴ （x;1）
（x;3）
⑵ （a,3）
（a,4）
⑶ 積が ,6，和が 1 となる 2 数は，3 と ,2 なので，
2
2
③ （x, ）
④
（3,2）x;3:（,2）
/（x; ）
x ;x,6/x ;
⑶ （x;3）
（x,2）
⑷ 積が ,8，和が ,2 となる 2 数は，2 と ,4 なので，
2
2
⑤ （y, ）
⑥
（2,4）y;2:（,4）
/
（y; ）
y ,2y,8/y ;
⑷ （y;2）
（y,4）
 ヒント
パターン 4 因数分解④
（たすきがけ）
次の式を因数分解しなさい。
2
2
⑵ 6x ;x,12
⑴ 2x ;7x;3
a b → bc
解き方　因数分解の公式㋕を使う。
2
acx ;
（ad;bc）x;bd/（ax;b）
（cx;d） ……㋕
1 3
6
⑴ ac/2，ad;bc/7，bd/3
となる a，b，c，d をみつけるには
1
2 1
右のような
「たすきがけ」を使う。
2 3 7
a/1，b/3，c/2，d/1 なので，
2
① （2x; ）
②
（x; ）
2x ;7x;3/
③
⑤
⑵ 「たすきがけ」は右のようになるので， 2 ④
⑥
③
④
a/2，b/ ，c/3，d/ 3 2
③ （3x,4）
（2x; ）
6x ;x,12/
6 ,12 1
ac bd ad;bc
c d → ad 解き方の答え
①3
②1
③3
④ ,4
⑤9
⑥ ,8
解答
⑴ （x;3）
（2x;1）
⑵ （2x;3）
（3x,4）
 ヒント
パターン 5 因数分解⑤
⑴ x /A とおく
2
次の式を因数分解しなさい。
4
2
2
2
2
⑵ （x ;2x）,2（x ;2x）,3
⑴ x ,x ,12
⑵ x ;2x/A とおく
2
解き方　⑴ x /A とおくと，
4
2
2
① ）
② ）
（A , x ,x ,12/A ,A ,12/（A ; 2
2
2
③ ）
④ ）
（x ,4）/
（x ;3）
（x; （x, /
（x ;3）
2
⑵ x ;2x/A とおくと，
2
2
2
2
（x ;2x）,2（x ;2x）,3/A ,2A ,3
⑤ ）
⑥ ）
（A ; /
（A , 2
2
（x ;2x;1）
/
（x ;2x,3）
2
⑦ ）
⑧ ）
⑨ ）
/
（x; （x, （x; 2
解き方の答え
①3
②4
③2
④2
⑤3
⑥1
⑦3
⑧1
⑨1
解答
（x;2）
（x,2）
⑴ （x ;3）
2
⑵ （x;3）
（x,1）
（x;1）
2
因数分解
9
基本問題演習
次の式を因数分解しなさい。 F パターン 1 へ GO!
1
⑴ 4x y ;3xy
2
⑶ （a;1）
x;
（a;1）
3
2
3
次の式を因数分解しなさい。 2
2
⑴ a ;10a;25
2
⑶ y ,2y;1
2
⑸ x ,16
⑵ 6a b ,3ab ;9ab
⑷ （x,2）a,（x,2）
2
4
3
F パターン 2 へ GO!
⑵ 4x ;4x;1
2
⑷ 9a ,6a;1
2
2
⑹ 4y ,9z
2
次の式を因数分解しなさい。 F パターン 3 へ GO!
3
⑴ x ;10x;9
2
⑶ y ;2y,15
2
次の式を因数分解しなさい。 4
⑴ 2x ;9x;4
2
2
F パターン 4 へ GO!
1 2 2 4 9
⑵ 3x ,x,4
1 3 3 ,4 ,1
⑶ 2x ;3x,5
1 2 2 ,5 3
⑷ 6x ;7x;2
1
2
6 2 7
2
2
2
10
⑵ a ;6a;8
2
⑷ x ,8x,20
2
次の式を因数分解しなさい。 5
4
2
⑴ x ,3x ,4
4
2
⑵ x ,10x ;9
2
2
2
⑶ （x ;5x）;10（x ;5x）;24
2
2
2
⑷ （x ,x）;3（x ,x）,10
F パターン 5 へ GO!
応用問題演習
最低次の文字について整理することにより，次の式を因数分解しなさい。
1
⑴ xy,x;y,1
2
2
2
2
⑵ x z;x ,y z,y
2
⑶ ax ;
（a;1）x,2a;2
x
2 ;3/A とおくことにより，次の式を因数分解しなさい。 2
2
2
（x ;2x;3）;2x
（x ,x;3）
2
F パターン 5 へ GO!
x（x;1）
（x;2）
（x;3）,24 を以下のような手順で因数分解してみました。 に入る
3
数を答えなさい。ただし，同じ記号の には同じ記号が入るものとする。
（計算方法）
最初に，x と
（x;3），（x;1）と（x;2）を組み合わせて計算する。
x
（x;1）
（x;2）
（x;3）,24
/∞x
（x;3）
§∞
（x;1）
（x;2）§,24
2
2
㋐
㋐
㋑
（x ; x; ）
,24
/
（x ; x）
2
㋐
が共通にあるので，
ここで，この 2 つのカッコのなかには，x ; x
2
㋐
A とおくと，上の式は
x ; x/
2
㋑
㋑ A ,24
,24/A ; A（A ; ）
㋒ （A ; ）
㋓
/（A , ）
となる。A をもとにもどすと，上の式は
㋒ （A ; ）
㋓
（A , ）
2
2
㋐
㋒ （x ; x; ）
㋐
㋓
/
（x ; x, ）
2
㋔ （x; ）
㋕ （x ; x; ）
㋐
㋓
/
（x, ）
となる。
因数分解
11