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H25_埼玉県高等学校数学科標準テスト
数学Ⅰ＋Ａ
解答
平成 25 年度（第 63 回）埼玉県高等学校数学科標準テスト
１．(1)
(2)
数学Ⅰ＋Ａ
解答
(−3 x 2 y ) 2 × 2 xy = 9 x 4 y 2 × 2 xy = 2 x5 y 3
9
9
12 + 27 − 48 = 2 3 + 3 3 − 4 3 = (2 + 3 − 4) 3 = 3
(3)
x 2 − 5 x − 6 = ( x − 6)( x + 1)
(4)
2 x 2 − 5 x + 1 = 0 の解は，解の公式から
−(−5) ± (−5) 2 − 4 ⋅ 2 ⋅1 5 ± 17
x=
=
2⋅2
4
(5)
2 x + 1 が点 (a , 5) を通るためには，この点の座標を代入して
3
2
5 = − a + 1 ⇔ 2 a = −4 ⇔ a = −6
3
3
直線 y = −
２．(1)
3 A − B = 3( x 2 − 3 x + 4) − (3x 2 + 2 x − 1) = 3 x 2 − 9 x + 12 − 3 x 2 − 2 x + 1 = −11x + 13
(2)
3 x 2 + 5 x − 2 = ( x + 2)(3 x − 1)
(3)
2
2(3 − 5)
2(3 − 5) 3 − 5
=
=
=
9−5
2
3 + 5 (3 + 5)(3 − 5)
(4)
x = −3 のとき， 3 − x − x + 2 = 3 + 3 − − 3 + 2 = 6 − 1 = 5
1
3
2
-1
6
-1
5
"" ①
⎧ 3 x + 10 > 1
"" ②
⎩ 6− x < 4+ x
①より， 3 x > −9 ⇔ x > −3
②より， 2 x > 2 ⇔ x > 1
共通範囲を求めて x > 1
(5)
連立不等式 ⎨
３．(1)
x = −2 のとき，関数 y = x 2 − 2 x + 3 の値は
y = (−2) 2 − 2(−2) + 3 = 4 + 4 + 3 = 11
y = x 2 − 6 x + 5 = ( x − 3) 2 − 9 + 5 = ( x − 3) 2 − 4
したがって，頂点の座標は (3 , − 4)
(2)
(3)
( x − 1)( x − 3) > 0 ⇔
x <1, 3 < x
(4)
2 次関数 y = x + 2kx + k + 2 が x 軸と接するためには， x + 2kx + k + 2 = 0 の判別式
2
2
を D とすると
D = k 2 − (k + 2) = 0 ⇔ (k − 2)(k + 1) = 0 ⇔ k = 2 , − 1
4
2
(5) 2 次関数 y = −( x + 1) + a は，軸が x = −1 で上に凸な放物線であるから，−2 ( x (1 に
おいては， x = −1 のとき最大値 a をとり， x = 1 のとき最小値をとる．
−1−
http://www.geocities.jp/ikemath
条件から， a = 3 であり，最小値は
y = −(1 + 1) 2 + a = −4 + 3 = −1
４．(1) 三平方の定理から
したがって， sin A =
(2)
AB＝ 2 + 1 =
2
2
BC
= 1 = 5
AB
5
5
∠A が鈍角のとき， cos A < 0 であるから sin A + cos A = 1 より
2
( )
cos A = − 1 − sin 2 A = − 1 − 5
13
(3)
5
2
2
= − 144 = − 12
169
13
C
△ABC において正弦定理より
b = 6
sin 60D sin 45D
b
6 × sin 60D = 6 × 2 × 3 = 3 6
2
sin 45D
(4) △ABC の面積を S とすると
S = 1 bc sin A = 1 ⋅ 8 ⋅ 7 sin150D = 4 ⋅ 7 ⋅ 1 = 14
2
2
2
⇔ CA = b =
(5)
A
6
60,
45,
B
△ABC において，余弦定理より
a 2 + b 2 − c 2 82 + 5 2 − 7 2
40
1
=
=
=
2ab
2 ⋅8⋅5
2 ⋅8⋅5 2
0D < C < 180D より C = 60D
cos C =
20 個のデータを小さい順に並べると
0，0，1，2，2，3，3，3，3，3，4，4，4，5，5，5，6，6，8，9
となる．
５．(1)
1 + 2 × 2 + 3 × 5 + 4 × 3 + 5 × 3 + 6 × 2 + 8 + 9 = 76 = 3.8 （点）
20
20
3
+
4
中央値は 10 番目と 11 番目の平均であるから
= 3.5 （点）
2
最頻値は，度数が最も多い得点であるから 3 （点）
平均値は
5 + 7 + 9 + 8 + 6 = 35 = 7
5
5
2
(5 − 7) + (7 − 7)2 + (9 − 7) 2 + (8 − 7) 2 + (6 − 7) 2 10
=
= 2
したがって，分散は
5
5
(2)
平均値は
(3) 右の箱ひげ図から読み取れる
ことは
80 点以上の生徒は 50 人以下
50 点以下の生徒は 50 人以上
であるから
(イ) , (エ)
Q2
Q1
Q3
得点
20
−2−
30
40
50
60
70
80
90
H25_埼玉県高等学校数学科標準テスト
数学Ⅰ＋Ａ
解答
(4)
x
y
x−x
y− y
( x − x)( y − y )
( x − x) 2
( y − y)2
A
145
52
−15
−5
75
225
25
B
168
50
ア
○
−7
イ
○
64
49
C
D
E
154
162
171
54
66
63
−6
2
11
−3
9
6
18
18
66
36
4
121
9
81
36
計
800
285
ウ
○
エ
○
200
x = 800 = 160 より，○
ア ＝ 168 − 160 = 8
5
イ ＝ 8 × ( −7) = −56
○
ウ ＝ 75 + ( −56) + 18 + 18 + 66 = 121
○
エ ＝ 225 + 64 + 36 + 4 + 121 = 450
○
したがって，相関係数 r の値は
121
オ
= 121 = 0.403"7 0.4 ○
450 × 200 300
r=
６．(1) 異なる 6 個のものから 3 個取り出す順列の総数であるから
6 P3 = 6 ⋅ 5 ⋅ 4 = 120 （個）
(2)
6 個の頂点から 2 個取り出す組合せの個数から，辺の数を引けばよいから
6 C 2 − 6 = 15 − 6 = 9 （本）
(3)
取り出す 3 個がすべて白であることの余事象であるから
1−
C3
5⋅ 4⋅3
5
37
= 1−
= 1−
=
9 ⋅8⋅ 7
42 42
9 C3
5
1 であるから，反復試行の確率から
2
3
3
1 1− 1 = 6 ⋅5⋅ 4 × 1 = 5
6 C3
2
2
3 ⋅ 2 ⋅ 1 26
16
4 ×3= 2
(5) 求める確率は
10 9 15
(4)
硬貨を 1 回投げるとき，表が出る確率は
( )( )
７．(1) 三角形の内角の二等分線の性質から
AB：AC＝BD：DC
すなわち BD：DC＝9：3＝3：1
よって
3 =6
BD = 8 ×
3 +1
A
図1
3
B
−3−
9
D
8
C
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(2)
I は△ABC の内心であるから
∠ACI＝∠BCI＝40°
したがって，
∠IBC＝
A
60,
図2
I
1 (180D − 60D − 80D ) = 20D
2
40,
B
(3)
C
C
接弦定理より∠BAT＝∠ACB＝60°
図3
p の円周角から，∠DBA＝∠DCA＝50°
AD
よって，
∠BCD＝∠ACB＋∠DCA
D
D
D
＝ 60 + 50 = 110
B
D
50,
O
60,
A
(4)
AB＝x とおくと，方べきの定理より
PA･PB＝PC･PD
すなわち (4 + x) ⋅ 4 = 3 ⋅ 6
よって
(5)
AB＝ x =
B
4
P
△ OO′H において
PQ＝ O′H =
A
図4
9 −4= 1
2
2
T
O
3
C
D
3
P
図5
OO′2 − OH2 = 62 − 22
H
4
Q
2
= 32 = 4 2
O
¥
O-
240n = 4 15n = 4 3 × 5 × n より， 240n が自然数となるためには，
3 × 5 × n が平方数となるときであるから，求める最小の自然数 n は
n = 3 × 5 = 15
８．(1)
⎧⎪ 280 = 23 × 5 × 7
3
2
より，最小公倍数は 2 × 3 × 5 × 7 = 4200
(2) ⎨
2
2
⎪⎩ 300 = 2 × 3 × 5
(3) m = 7 k + 3 , n = 7 k ′ + 4 （ k , k ′ は整数）とおけるから
mn = (7k + 3)(7k ′ + 4) = 7(7 kk ′ + 4k + 3k ′ + 1) + 5
よって，求める余りは 5
54(7) = 5 × 7 + 4 ×1 = 35 + 4 = 39
1
(5) 右のユークリッドの互除法の計算から
求める最大公約数は 37
2
(4)
1
2
−4−
1073
629
444
370
74
74
0
629
444
185
148
37
1
2