1. No category

●正規分布(
正規分布(ガウス分布
ガウス分布)
分布)とばらつき(
ばらつき(分散、
分散、標準偏差)
標準偏差)
Normal distribution
Gaussian distribution
Standard Deviation
試験の
試験の結果、
結果、全員が
全員が同じ得点であった
得点であった場合
であった場合、
場合、平均値はその
平均値はその得点
はその得点であり
得点であり、
であり、各人の
各人の間に差が無いので"
いので"ばらつき"
ばらつき"が
2
なく、
なく、従って、
って、分散(d
分散(d )＝０、標準偏差(d)
標準偏差(d)＝
(d)＝０となります。
となります。
2
2
ここで、
ここで、分散(d
分散(d )＝ 1/n * Σ(x(x-u)
：x は個々のデータ値
のデータ値、u は平均値、
平均値、n はデータ総数
はデータ総数、
総数、* は乗算の
乗算の意味
標準偏差(d)
標準偏差(d)＝
(d)＝√分散
2
です。
『Σ
です。
『Σ(x(x-u)=0
u)=0』
=0』となり
となり、分散の
分散の様子(
様子(ばらつき)
ばらつき)がわからないので
がわからないので、
ので、分散では
分散では『
では『Σ(x(x-u) 』としてい
としています
ています。
ます。
精密に
精密に物の長さや重
さや重さを測
さを測るとき、
るとき、測る回数を
回数を増やし、
やし、その平均値
その平均値を
平均値を求めます。
めます。また、
また、製品の
製品の出来具合の
出来具合の平均
値とその分散
とその分散(
分散(ばらつき)
ばらつき)の具合を
具合を見て、良品の
良品の範囲を
範囲を決めたりします。
めたりします。
ｘ軸に測定値、ｙ
測定値、ｙ軸
、ｙ軸に測定値を
測定値を得た回数、
回数、としてグラフを描
としてグラフを描くと、
くと、下図のような
下図のような分布曲線
のような分布曲線ができ
分布曲線ができ(
ができ(不真面目だと
不真面目だと
てきませんが)
てきませんが)、平均値近傍
平均値近傍に
近傍にデータが集
データが集まるような
まるような分布
ような分布となり
分布となります
となります。
ます。
これが左右対称
これが左右対称なら
左右対称なら正規分布
なら正規分布となり
正規分布となり、
となり、機械で
機械で作られた製品
られた製品は
製品は、この正規分布
この正規分布に
正規分布に従うものとして
うものとして、
して、価格などを
価格などを決
などを決
めます。
めます。
2
2
正規分布の
正規分布の式は、『 N(u
N(u,d ) : u=平均値、
平均値、d =分散（
分散（d=標準偏差
d=標準偏差）
標準偏差）』で表わします。
ます。
F(x
F(x) = {1/(d*√
{1/(d*√2π)} *
((x-u)^2)/(2*d^2)
^2)/(2*d^2)
e-((x
2
(e=自然対数
(e=自然対数の
自然対数の底=2.71828･･･
2.71828･･･、
･･･、d^2 = d )
2
また、
また、標準正規分布
標準正規分布の
正規分布の式は、上式で
上式で『 N(0,1) : u=0、
=0、d =1（
=1（d=1）
d=1）』として表
として表わします。
ます。
F(X) = (1/√
(1/√2π) *
X^2)/2
e-(X^2)/2
下図に
下図に標準正規分布
標準正規分布を
正規分布を示します。
します。
この曲線
この曲線の
曲線の 内部面積
内部面積(X
面積(X 軸と囲まれる部分
まれる部分の
部分の面積)
面積)は 1 となり
となり、頂点 A = 1/(d*√
1/(d*√2π) ≒ 0.399 となります
となります。
ます。
つまり、
つまり、平均値が
平均値が得られる確率
られる確率は
確率は 39.9 ％ ということです
ということです。
です。
X^2)/2
e-(X^2)/2
-(X^2)/2
X^2)/2
F"(X) = -A * (X^2(X^2-1) * e
F'(X) = -A * X *
F(X)(=確立)
A=0.399
-(X^2)/2
X^2)/2
+∞
∫(e^((e^(-a*X^2))dx = √(π/a)
-∞
F(1)=0.242 ･･･ 変局点
F(X)=(1/
F(X)=(1/√
(1/√2π)*e
)*e
の[ガウス積分
ガウス積分]
積分]より
P=0.159(X=<-1)
+∞
∫(A*e^((A*e^(-0.5*(X^2))dx
0.5*(X^2))dx
-∞
= A*√
A*√(π/0.5)
= A*(√
*(√2π)
= (1/(d*√
(1/(d*√2π)*(√
)*(√2π)
= 1 ･･･ 内部面積の
内部面積の総和
F(2)=0.054
P=0.023(X>=2)
-3
-2
-1
0
1
2
3
X(=d)
P:面積
P:面積(
面積(確率)
確率)
標準正規分布曲線
-((x((x-u)^2)/(2*d^2)
なお、
なお、正規分布上の
正規分布上の x 値から標準正規分布
から標準正規分布上
標準正規分布上の X 値への変換
への変換は
変換は、e
X = (x(x-u)/d
=
e-(X^2)/2 より
2
: u=平均値
u=平均値、
平均値、d =分散、
分散、d=標準偏差
d=標準偏差
でできます。
でできます。
偏差値とは
差値とは、
とは、平均値を
平均値を 50 とし、
とし、標準偏差の
標準偏差の単位が
単位が 10 となるようにしたもので、
となるようにしたもので、上図で
上図で、X 軸上で
軸上で 0 を 50、
50、
1 を 60、
正規分布に沿うとき、
うとき、偏差
60、2 を 60、
60、... と置き換えたものとなります。
えたものとなります。あるテスト結果
あるテスト結果が
結果が上図の
上図の標準正規分布
標準正規分布に
値が 60 以上の
以上の人は全体の
全体の 15.9 ％であるということになります。
であるということになります。
1
【問題１
問題１】
2
ある工場
ある工場で
工場で製造される
製造される製品
される製品の
製品の重量分布 x が正規分布 N(0,1 )に従うとき、
とき、期待値(
期待値(平均値)
平均値)に対し、標準偏差
が 2 以上狂った
以上狂った製品
った製品が
製品が製造される
製造される確率
される確率はいくらか
確率はいくらか。
はいくらか。
【問題
問題１
問題１の答】
標準正規分布と
標準正規分布と同じとみなし、
じとみなし、『-2 以下と
以下と +2 以上の
以上の占める面積
める面積が
面積が全体の
全体の何パーセントか』
パーセントか』を読み取るこ
とができればよ
とができればよいのですが
のですが、あらかじめ計算
あらかじめ計算された
計算された『
された『標準正規分布表』
標準正規分布表』が公表されている
公表されているのでそこから
されているのでそこから読
のでそこから読
み取ります。
ります。
<公表例>
公表例>
x
0
P(確率
P(確率=
確率=面積)
面積)
... 0.500
0.5 ... 0.309
1.0 ... 0.159
2.0 ... 0.023
2.5 ... 0.006
3.0 ... 0.001
1.5 ... 0.067
・(x,P)=(0,0.5)：
(x,P)=(0,0.5)：0=<x=<∞
0=<x=<∞ または -∞=<x=<0 の範囲の
範囲の面積(=
面積(=確立
(=確立)
確立)が 0.5 になるということ。
になるということ。
・(x,P)=(1,0.159)：
(x,P)=(1,0.159)：1=<x=<∞
1=<x=<∞ または -∞=<x=<=<x=<-1 の範囲の
範囲の面積(=
面積(=確立
(=確立)
確立)が 0.159 になるということ。
になるということ。
公表より
公表より答
より答えは 4.6_% (= 0.023 * 2 = 0.046) 。
参考までに
参考までに、
までに、0±1 以下の
以下の範囲に
範囲に X が含まれる確率
まれる確率は
確率は 0.682 ( = 1-2*0.159) と計算できます
計算できます。
できます。
【問題２
問題２】
ある工場
ある工場で
工場で製造される
製造される製品
される製品の
製品の重量分布 x が、正規分布 N(2,9
N(2,9) に従うとき、
とき、4=<x<=5 となる確率
となる確率 P を求
めよ。
めよ。
【問題
問題２
問題２の答】
標準正規分布 N(0,1) 上に対応する
対応する X 値を求めればよく、
めればよく、X = (x(x-u)/d で変換する
変換する。
する。
2
u=2、
u=2、d=3 (d =9) だから、
だから、
X(x=4) = (4(4-2)/3 = 2/3
X(x=5) = (5(5-2)/3 = 1
となり、
となり、結局、
結局、標準正規分布表から
標準正規分布表から『
から『2/3=<X<=1』
2/3=<X<=1』の範囲の
範囲の面積を
面積を求めれば良
めれば良い。
【問題３
問題３】
ある試験
ある試験で
試験では、平均点が
平均点が 60 点、標準偏差が
標準偏差が 10 点の正規分布に
正規分布に従った。
った。
70 点以上、
点以上、80 点以下である
点以下である生徒
である生徒の
生徒の確率はいくらか
確率はいくらか。
はいくらか。
【問題
問題３
問題３の答】
2
2
正規分布 N(u=60
となり、これを標準
これを標準正規分布
標準正規分布 N(0,1) 上に対応する
対応する X 値を求めればよ
めればよい。
N(u=60,
u=60,d =10 ) となり、
X = (x(x-u)/d で変換し
変換し、u=60
u=60、
60、d=10
d=10 だから、
から、
X(x=70
X(x=70)
70) = (70
(7070-60)/
60)/10
)/10 = 1
X(x=80
X(x=80)
80) = (80
(8080-60)/
60)/10
)/10 = 2
となり、
となり、結局、
結局、標準正規分布表から
標準正規分布表から『
から『1=<X<=2
=<X<=2』の範囲の
範囲の面積を
面積を求めれば良
めれば良い。
2