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第 20 講
確率分布と統計的な推測（ⅱ）
数学 B
【問題 1】
下の表はあるクラスの生徒の身長を測定した結果をまとめたものである．
x3
x5
x6
x7
x1
x2
x4
階級値( x cm )
152.5 157.5 162.5 167.5 172.5 177.5 182.5
f1
f2
f3
f4
f5
f6
f7
度 数( f 人)
2
3
5
14
8
7
1
次の問いに答えよ．
2
(1) 身長の階級値 x に対し u  x  167.5 とする．このとき， u の平均 u と分散 Su を求め
5
よ．
2
2
2
2
で与えられることを証明し，x と Sx
(2) x の平均 x と分散 Sx は x  167.5  5u, Sx  25Su
の値を求めよ．
137
【問題 2】
２つの変量 x, y のとる値の対応は次の表で与えられている．
x 1 2 3 
n
y 5 8 11  3n  2
(1) ２つの変量 x, y の平均 x , y と標準偏差 sx , sy をそれぞれ求めよ．
(2)
x と y の相関係数 r を求めよ．ただし， r は次の式で与えられる．
n
r  1  1  ( x k  x )( yk  y )
sx sy n k 1
138
第 20 講
確率分布と統計的な推測（ⅱ）
数学 B
解答
【問題 1】
下の表はあるクラスの生徒の身長を測定した結果をまとめたものである．
x3
x5
x6
x7
x1
x2
x4
階級値( x cm )
152.5 157.5 162.5 167.5 172.5 177.5 182.5
f1
f2
f3
f4
f5
f6
f7
度 数( f 人)
2
3
5
14
8
7
1
次の問いに答えよ．
2
(1) 身長の階級値 x に対し u  x  167.5 とする．このとき， u の平均 u と分散 Su を求め
5
よ．
2
2
2
2
で与えられることを証明し，x と Sx
(2) x の平均 x と分散 Sx は x  167.5  5u, Sx  25Su
の値を求めよ．
u  x  167.5 より度数分布表を作ると，次のようになる．
5
(1)
u
f
u1
3
u2
2
2
3
これより
u3
1
5
u4
0
14
u5
1
8
u7
3
1
u6
2
7


7
7
u  1  uk f k
ただし, N   f k  40 とする.
N k 1
k 1
6
6
5
8
14
3






1

  0.2
40
5
7
2
2
1
2
Su 
 uk f k  (u)
N k 1
 18  12  5  8  28  9  (0.2)2  2  0.04  1.96
40
7
7 x k  167.5
7
7
(2) u  1  uk f k  1 
f k  1 1  x k f k  167.5  f k  1 ( x  167.5)
5
5 N k 1
5
N k 1
N k 1
N k 1
 x  167.5  5u ……終



7
7
x k  167.5 x  167.5
2

また， Su  1  (uk  u)2 f k  1 
N k 1
N k 1
5
5
2
 Sx  25Su
以上より
139
2

……終
2
x  167.5  5  0.2  168.5, Sx  25  1.96  49
2

7
xk  x
fk  1 
N k 1
5
 f  251 S
2
k
x
2
【問題 2】
２つの変量 x, y のとる値の対応は次の表で与えられている．
x 1 2 3 
n
y 5 8 11  3n  2
(1) ２つの変量 x, y の平均 x , y と標準偏差 sx , sy をそれぞれ求めよ．
(2)
x と y の相関係数 r を求めよ．ただし， r は次の式で与えられる．
n
r  1  1  ( x k  x )( yk  y )
sx sy n k 1
(1) ２つの変量 x, y のとる値をそれぞれ x k , yk ( k  1, 2,  , n) とすると
x k  k, yk  3k  2  3x k  2
であるから
n
n
n(n  1) n  1
x  1  xk  1  k  1 

2
2
n k 1
n k 1
n
n
n
2
2
sx  1  ( x k  x )2  1  x k  ( x )2
n k 1
n k 1
2
n
n(n  1)(2n  1) ( n  1)2
 1  k2  n  1  1 

n k 1
2
n
6
4
1
2
 (n  1)
12
n2  1
3(n2  1)
 sx 

12
6
また， y  3x  2, s y  3sx であるから
y  3x  2  3  n  1  2  3n  7
2
2
2
3( n  1)
3( n2  1)
sy  3sx  3 

6
2
(2) (1)の結果より
n
r  1  1  ( x k  x )( yk  y )
sx sy n k 1


  x y  y x  x  y  x y1 
 1  x y y x x yx y 
n
  1  k(3k  2)  x y 
n
(n  1)(2n  3) n  1 3n  7



1
2
2
2 
 1 1
sx sy n
 1
sx sy
 1
sx sy
 1
sx sy
140
n
k 1
n
k
k
k
k
n
k 1
n
k 1
k 1
n
k
k 1
n
k
k 1