1. No category

459_複素数平面演習問題
複素数平面

解答
http://www.geocities.jp/ikemath
演習問題
解答
３年
1 − i に対して， z n = 1 となる整数 n の値と，そのときの z n の実部を求めよ．
16
3 −i
複素数 z =
{ ( ) ( )} = 1 cos ( − π ) + i sin ( − π )
{ 12
12 }
2
2 {cos ( − π ) + i sin ( − π )}
6
6
より， z =
(大阪工業大)
n
したがって， z
n
(
2
(
10
i
k
Σα −
8
⇔ n=8
α
両辺に
(
)
( )
よって，
2
+1 = 0 ⇔
2
2
)
10
10
= Σ 5 − sin kθ = 5 × 11 −Σsin kθ "" ①
4
k =0 4
k =0
10
k
Σα = 0 ⇔
(東京電機大)
k =0
⇔
10
(cos kθ + i sin kθ ) = 0
Σ
k =0
10
10
Σcos kθ + iΣsin kθ = 0
k =0
k =0
10
両辺の虚部を比較して
α
2
−2+ 1 2 = 0
α
10
(α
2
i
k
Σα −
)
2
−1 = 0 ⇔
sin kθ = 0
Σ
k =0
よって，①より
2
−2 α
) = cos kθ + sin kθ − sin kθ + 14
α 11 = 1 ⇔ α 11 − 1 = 0 ⇔ (α − 1)(α 10 + α 9 + " + α + 1) = 0
α は虚数より， α '1 であるから
α 10 + α 9 + " + α + 1 = 0
)
+ 1 2 +2=4 ⇔
)
2
すなわち
α
4
(
2
ここで，
α を掛けて
α
2
2
k =0
したがって，条件より
2
(
= cos kθ + sin kθ − 1
2
= 5 − sin kθ
4
2
ゆえに
⎛ α + 1 ⎞ α + 1 = 4 であるとき，複素数 α の絶対値 α を求めよ．
⎜
⎟
α
α⎠
⎝
⎛ α + 1 ⎞ α + 1 = αα + 1 + 1 + 1 = α 2 + 1 + 2
⎜
⎟
2
α
α⎠
αα
⎝
α
(
2
α −i
2
k
)
)
2
したがって
⎛ 1 ⎞ cos − π ⋅ 8 = 1 cos − 2 π = 1 ⋅ − 1 = − 1
⎜
⎟
12
16
3
16
2
32
⎝ 2 ⎠

(
α k − i = (cos θ + i sin θ )k − i = cos kθ + sin kθ − 1 i
= ⎛⎜ 1 ⎞⎟
⎝ 2 ⎠
= 1 より
16
n
8
2
10
α が方程式 x11 = 1 の虚数解であるとき，Σ α k − i の値を求めよ．
2
k =0
11
α = 1 より， α = 1 であるから， α = cos θ + i sin θ (0 (θ < 2π ) とおける．
n
⎛ 1 ⎞ = 1 =⎛ 1 ⎞
⎜
⎟
16 ⎜⎝ 2 ⎟⎠
⎝ 2 ⎠
8
このとき， z の実部は
氏名
ド・モアブルの定理から
1 であるから
2
zn = z
番

2 cos − π + i sin − π
4
4
z=
組
α
2
k =0
=1
α ) 0 であるから
α =1
−1−
2
2
= 55
4
(早稲田大)
459_複素数平面演習問題
解答
http://www.geocities.jp/ikemath
(ⅱ)

z を複素数とし，i を虚数単位とする．
1 + 1 が実数となる点 z 全体の描く図形 P を複素数平面上に図示せよ．
(1)
z +i z −i
(2)
y
( w + 1)i
= 1 ⇔ w +1 = w −1
w −1
これから，点 w は 2 点 1 , − 1 を結ぶ線分の垂直二等分線す
z が(1)で求めた図形 P 上を動くときに w = z + i の描く図形を複素数平面上に図示せよ．
z −i
1
なわち虚軸上を動く．ただし，原点は除く．
以上，(ⅰ)，(ⅱ)より，点 w の描く図形は右図のようになる．
(北海道大)
1 + 1 = ( z − i) + ( z + i) = 2 z
( z − i )( z + i )
z +i z −i
z2 +1
ただし， z ' ± i "" ①
2 z が実数となるためには
2
z +1
2z = ⎛ 2z ⎞ ⇔
2z = 2z
⎜
⎟
z2 +1 ⎝ z2 +1 ⎠
z2 +1 z2 +1
z = 1 のとき
O
-1
1
(1)
2
u

(
z2 z − z z − z + z = 0
⇔
z z ( z − z ) − ( z − z ) = 0 ⇔ ( z − z )( z z − 1) = 0
1
したがって，条件より x + y = s ( ) 0) とおくと
2
よって
(ⅰ) z = z
または
z
2
-1
= 1 すなわち
)
⎛ α + 1 ⎞ α + 1 = ⎛ x + yi + 1 ⎞ ⎛ x − yi + 1 ⎞
⎜
⎟
⎜
α
x − yi ⎟⎠ ⎜⎝
x + yi ⎟⎠
α⎠
⎝
⎝
x 2 + y 2 + 1 x 2 + y 2 + 1 ( x 2 + y 2 + 1) 2
=
⋅
=
x − yi
x + yi
x2 + y2
2
z ( z + 1) = z ( z 2 + 1) ⇔
-1
α = x + yi ( x , y ∈ \) とおくと
y
⇔
(ⅱ)
あまり勧めないが，a + bi (a , b ∈ \ ) の形に落として考え
る次のような別解もある．
O
1
2
( s + 1) 2
= 4 ⇔ ( s + 1) 2 = 4 s ⇔ ( s − 1) 2 = 0 ⇔ s = 1 （適）
s
x
よって
z =1
-1
(ⅰ)を満たす点 z は実軸上の点
α = x2 + y2 = s = 1
(ⅱ)を満たす点は原点中心，半径 1 の円周上の点である．
(1)
ただし，①より点 ±i は除かれる．
(ⅰ)，(ⅱ)より，図形 P を図示すると右図のようになる．
x − ( y + 1)i
x − ( y − 1)i
1 + 1 =
1
1
+
= 2
+ 2
2
z + i z − i x + ( y + 1)i x + ( y − 1)i x + ( y + 1)
x + ( y − 1) 2
w = z + i において， z ' − i より w' 0
z −i
( z − i ) w = z + i ⇔ ( w − 1) z = ( w + 1)i
また
( w + 1)i
w'1 より z =
w −1
(ⅰ) z = z のとき
(2)
{
( w + 1)i
( w + 1)i
=
w −1
w −1
⇔
}
⇔
w + 1 = −( w + 1)
w −1
w −1
⇔ ww = 1 ⇔
上の複素数の実数となるためには，(虚部)＝0 が成り立てばよいから
−( y + 1)
−( y − 1)
+ 2
=0 ⇔
2
x + ( y + 1)
x + ( y − 1) 2
2
⇔ ( y + 1) { x 2 + ( y − 1) 2 } + ( y − 1) { x 2 + ( y + 1) 2 } = 0
⇔ 2 yx 2 + ( y + 1)( y − 1) {( y − 1) + ( y + 1)} = 0
⇔ 2 y { x 2 + ( y + 1)( y − 1)} = 0
⇔
⇔ ( w + 1)( w − 1) = −( w − 1)( w + 1)
2
y +1
y −1
+ 2
=0
2
x + ( y + 1)
x + ( y − 1) 2
2
( w + 1)i ( w + 1)(−i )
=
w −1
w −1
w =1 ⇔
z = x + yi ( x , y ∈ \) とおくと
y = 0 または x 2 + y 2 − 1 = 0
よって， y = 0 は実軸上の点を表し， x + y = 1 は原点を中心とする半径 1 の円を表す．
ただし，点 ±i は除く．
2
w =1
したがって，点 w は原点中心，半径 1 の円周上を動く．ただし，点 1 は除く．
−2−
2
x