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はじめに
最適設計の基礎
線形弾性体の形状最適化問題
. . . . . . . . . . . . . . . . .
形状最適化問題の解法
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
まとめ
参考文献
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最適設計の基礎と形状最適化
畔上 秀幸
非常勤講師 (名古屋大学 情報科学研究科 複雑系科学専攻)
シミュレーション工学特論
名古屋市立大学大学院 芸術工学研究科 芸術工学専攻
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はじめに
最適設計の基礎
線形弾性体の形状最適化問題
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形状最適化問題の解法
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まとめ
参考文献
§1 はじめに
1.
2.
3.
1 次元の段付き線形弾性体に関する最適設計問題を構成して，それ
らの最適性の条件を求めるまでの過程をみてみたい [1]．
線形弾性体の平均コンプライアンス最小化問題を取り上げて，形状
微分が得られるまでをみてみたい [1]．
H 1 勾配法による最適解の求め方についてみてみたい [1]．
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線形弾性体の形状最適化問題
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形状最適化問題の解法
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まとめ
参考文献
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§1 最適設計の基礎
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線形弾性体の形状最適化問題
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形状最適化問題の解法
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まとめ
参考文献
§1 最適設計の基礎
¡0
¡1
a1
x
l
¡2
p1 u1
a2
p2 u2
l
図 1: 2 つの断面積をもつ 1 次元線形弾性体
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線形弾性体の形状最適化問題
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形状最適化問題の解法
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まとめ
参考文献
§1 最適設計の基礎 (cnt.)
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問題 1.1 (2 段 1 次元弾性問題)
.
図 1 の 1 次元線形弾性体に対して，正定数 l および eY , p ∈ R2 および
a ∈ R2 が与えられたとき，
(
)( ) ( )
eY a1 + a2 −a2
u1
p1
(1.1)
=
−a
a
u
p2
l
2
2
2
を満たす u ∈ R2 を求めよ．ただし，(1.1) を
(1.2)
K (a) u = p
のようにかくことにする．
.
状態変数を求める問題を主問題とよぶことにする．
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形状最適化問題の解法
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まとめ
参考文献
§1 最適設計の基礎 (cnt.)
問題 1.1 に対して
LM (a, u, v) = v · (−K (a) u + p)
(1.3)
を主問題に対する Lagrange 関数とよぶことにする．このとき，任意の
v ∈ R2 に対して
LM (a, u, v) = 0
(1.4)
を満たす u ∈ R2 は，問題 1.1 の解と同値である．
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形状最適化問題の解法
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まとめ
参考文献
§1 最適設計の基礎 (cnt.)
主問題 1.1 の解 u に対して
(
f0 (u) = p1
p2
( )
) u1
=p·u
u2
(1.5)
を平均コンプライアンスとよぶ．それに対して
(
f1 (a) = l (a1 + a2 ) − c1 = l
( )
) a1
l
− c1
a2
(1.6)
は体積制約関数よぶ．ただし，c1 を体積の上限値を与える正定数とする．
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形状最適化問題の解法
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まとめ
参考文献
§1 最適設計の基礎 (cnt.)
設計変数の入る線形空間を X = R2 とおき，さらに，設計集合を
D = {a ∈ X | a ≥ a0 }
(1.7)
T
とおく．ただし，a0 = (a01 , a02 ) > 0R2 を定数ベクトルとする．また，
状態変数の入る線形空間を U = R2 とおく．
.
問題 1.2 (平均コンプライアンス最小化問題)
.
X = R2 および U = R2 とおく．このとき，
min { f0 (u) | f1 (a) ≤ 0, u ∈ U, 問題 1.1}
a∈D
を満たす
a を求めよ．
.
設計変数を求める問題を最適設計問題とよぶことにする．
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形状最適化問題の解法
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まとめ
参考文献
§1 最適設計の基礎 (cnt.)
断面積 a の変動に対する f0 と f1 の微分をここでは断面積微分とよ
ぶことにする．
f1 は (1.6) のように a の関数として定義されているので，
(
) ()
∂f1
∂f1
l
∂a1
= ∂f1 =
= g1
(1.8)
f1a =
l
∂a
∂a2
のように求めることができる．一方，任意の b ∈ R2 に対して，a にお
ける f1 の Taylor 展開を
f1 (a + b) = f1 (a) + f1′ (a) [b] + o (∥b∥R2 )
= f1 (a) + g1 · b + o (∥b∥R2 )
(1.9)
とかくことにする．
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形状最適化問題の解法
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まとめ
参考文献
§1 最適設計の基礎 (cnt.)
ここで，
f˜0 (a) = { f0 (u) | (a, u) ∈ D × U, 問題 1.1}
(1.10)
とかくことにする．このとき，
f˜0 (a + b) = f˜0 (a) + f˜0′ (a) [b] + o (∥b∥R2 )
を満たす f˜0′ (a) [b] がみつかり，ある g0 ∈ R2 を用いて
f˜0′ (a) [b] = g0 · b
のようにかけたとする．このとき，f0 は a に対して Fr´echet 微分可能
といい，g0 を a の変動 b に対する f0 の Fr´echet 微分あるいは勾配と
いう．
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形状最適化問題の解法
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まとめ
参考文献
§1 最適設計の基礎 (cnt.)
f0 に対する Lagrange 関数を
L0 (a, u, v0 ) = f0 (u) + LM (a, u, v0 ) = p · u − v0 · (K (a) u − p)
とおく．ここで，LM は (1.3) で定義された問題 1.1 の Lagrange 関数
T
である．v0 = (v01 , v02 ) ∈ U = R2 は f0 のために用意した随伴変数
(Lagrange 乗数) であることを表すために下付きの 0 を付けた．今後，
fi が主問題の解 u を含む関数のときは，随伴変数を vi のようにかくこ
とにする．
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形状最適化問題の解法
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まとめ
参考文献
§1 最適設計の基礎 (cnt.)
随伴変数法は，a の変動に対する L0 (a, u, v0 ) の Fr´echet 微分によ
り g0 を求める方法である．L0 の Fr´echet 微分を
L0′ (a, u, v0 ) [b, u′ , v0′ ] = L0a (a, u, v0 ) [b] + L0u (a, u, v0 ) [u′ ]
+ L0v0 (a, u, v0 ) [v0′ ]
とかくことにする．ただし，L0a (a, u, v0 ) [b] は
(∂L0 (a, u, v0 ) /∂a) · b を表すことにする．また，u′ と v0′ は a が変動
したときの u と v0 の変動を表すことにする．
ここで，u は問題 1.1 の解であるとする．このとき，任意の v0′ ∈ U
に対して
L0v0 (a, u, v0 ) [v0′ ] = LM (a, u, v0′ ) = 0
(1.11)
が成り立つ．
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形状最適化問題の解法
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まとめ
参考文献
§1 最適設計の基礎 (cnt.)
また，v0 を，任意の u′ ∈ U に対して
L0u (a, u, v0 ) [u′ ] = f0u (u) [u′ ] − LMu (a, u, v0 ) [u′ ]
= p · u′ − v0 · (K (a) u′ ) = −u′ · (K (a) v0 − p) = 0
(1.12)
が成り立つように選ぶことができたとする．ただし，K T = K を用い
た．この条件は，次の随伴問題の解を v0 とおくことと同値である．
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形状最適化問題の解法
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
まとめ
参考文献
§1 最適設計の基礎 (cnt.)
.
問題 1.3 (f0 に対する随伴問題)
.
K (a) と p を問題 1.1 のとおりとする．このとき，
K (a) v0 = p
(1.13)
.を満たす v0 ∈ U を求めよ．
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形状最適化問題の解法
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
まとめ
参考文献
§1 最適設計の基礎 (cnt.)
ここで，u と v0 がそれぞれ問題 1.1 と 1.3 の解ならば，
L0′ (a, u, v0 ) [b, u′ , v0′ ] = L0a (a, u, v0 ) [b]
が成り立つ．この式の右辺は，
)}
{
(
∂K(a)
b
L0a (a, u, v0 ) [b] = − v0 · ∂K(a)
u
u
∂a1
∂a2
)( ) (
) ( ))} ( )
{
((
)
eY (
1 0
u1
1 −1
u1
b1
v01 v02
=−
0 0
u2
−1 1
u2
b2
l
(
)( )
) u1 u1 − u2
eY (
b1
v01 v02
=−
0 u2 − u1
b2
l
( )
) b1
eY (
u1 v01 (u2 − u1 ) (v02 − v01 )
=−
b2
l
( )
(
) b1
= l −σ (u1 ) ε(v01 ) −σ (u2 − u1 ) ε (v02 − v01 )
b2
= g0 · b
(1.14)
.
.
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形状最適化問題の解法
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まとめ
参考文献
§1 最適設計の基礎 (cnt.)
とかける．この結果は
L0a (a, u, v0 ) [b] = f˜0′ (a) [b] = g0 · b
(1.15)
が成り立つことを示している．
.
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形状最適化問題の解法
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
まとめ
参考文献
§1 最適設計の基礎 (cnt.)
問題 1.2 の Lagrange 関数を
L (a, λ1 ) = f0 (u) + λ1 f1 (a)
とおく．λ1 ∈ R は f1 (a) ≤ 0 に対する Lagrange 乗数である．このと
き，問題 1.2 の KKT 条件は
La (a, λ1 ) = g0 + λ1 g1 = 0R2 ,
(1.16)
(1.17)
(1.18)
(1.19)
Lλ1 (a, λ1 ) = f1 (a) = l (a1 + a2 ) − c1 ≤ 0,
λ1 f1 (a) = 0,
λ1 ≥ 0
で与えられる．
.
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形状最適化問題の解法
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
まとめ
参考文献
§1 最適設計の基礎 (cnt.)
(参考)
最適化理論の基礎 ([1] 第 2 章)
f0
R
f1 =0
x
f2 =0
X
g0
g2
g1
X0
図 2: 最適化問題における最小点 (不等式制約が有効)
.
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形状最適化問題の解法
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
まとめ
参考文献
§1 最適設計の基礎 (cnt.)
.
例題 1.1 (平均コンプライアンス最小化問題の数値例)
.
T
T
問題 1.2 において l = 1, eY = 1, c1 = 1, p = (1, 1) , a0 = (0.1, 0.1)
とおいて，
a の最小点を求めよ．
.
f~0(a1,1{a1)
20
f~0(a1,a2)
0
0
0
a2
a1
1 1
図 3: 状態方程式を満たす設計変数の集合における平均コンプライアンス
.
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形状最適化問題の解法
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
まとめ
参考文献
.
.
§2 線形弾性体の形状最適化問題
.
.
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形状最適化問題の解法
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
まとめ
参考文献
§2 線形弾性体の形状最適化問題
pN(Á)
¡p(Á)
uD(Á) b(Á)
(Á)
(i+Á)(x)
¡D(Á)
0
x
図 4: 線形弾性体の初期領域 Ω0 ⊂ Rd と写像 ϕ : Rd → Rd
.
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形状最適化問題の解法
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
まとめ
参考文献
§2 線形弾性体の形状最適化問題 (cnt.)
{
(
)
}
¯ C0
X = ϕ ∈ H 1 Rd ; Rd ϕ = 0Rd on Ω
(2.1)
{
( d d) 1,∞
¯
∥ϕ∥W 1,∞ (Rd ;Rd ) < σ, ϕ = 0Rd on ΩC0 ,
D= ϕ∈W
R ;R
}
¯ C0 is piecewise C 2 class
(Γp (ϕ) ∪ ΓηN1 (ϕ) ∪ · · · ∪ ΓηNm (ϕ)) \ Ω
(2.2)
{
( d d) }
1
(2.3)
U = u ∈ H R ; R u = 0Rd on ΓD (ϕ) , ϕ in D
( d
)
}
{
( d ) 2
d
1,2q
u ∈ H R \ V (ϕ) ; R , ϕ in D
S = u∈U ∩W
R ;R
(2.4)
.
.
.
.
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形状最適化問題の解法
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
まとめ
参考文献
§2 線形弾性体の形状最適化問題 (cnt.)
(参考) 関数解析の基礎 ([1] 第 4 章)
.
定義 2.1 (Sobolev 空間)
.
f : Ω → R を領域 Ω ⊂ Rd 上の関数とする．p ∈ [1, ∞], s ∈ [0, ∞] に対
して，
∑ ∫ ∇β f (x)p dx < ∞ (1 ≤ p < ∞) ,
|β|≤s
Ω
|β|≤s
x∈Ω
max ess sup ∇β f (x) < ∞
(p = ∞)
を満たすような f の全体集合を Sobolev 空間といい，W s,p (Ω; R) とか
く．また，
W s,2 (Ω; R) を H s (Ω; R) とかく．
.
.
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形状最適化問題の解法
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
まとめ
参考文献
主問題
§2.1 主問題
.
問題 2.1 (線形弾性問題)
.
ϕ ∈ D に対して b (ϕ), pN (ϕ), uD (ϕ) および C (ϕ) が与えられた
とき，
− ∇T S (ϕ, u) = bT (ϕ) in Ω (ϕ) ,
S (ϕ, u) ν = pN (ϕ) on ΓN (ϕ) ,
u = uD (ϕ) on ΓD (ϕ)
を満たす u : Ω (ϕ) → Rd を求めよ．ただし，S (ϕ, u) = C (ϕ) : E (u)
.とかく．
.
.
.
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形状最適化問題の解法
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
まとめ
参考文献
主問題
§2.1 主問題 (cnt.)
問題 2.1 に対する Lagrange 関数を
∫
LM (ϕ, u, v) =
(−S (u) · E (v) + b · v) dx
∫
Ω(ϕ)
∫
p · v dγ +
+
Γp (ϕ)
{(u − uD ) · S (v) ν + v · S (u) ν} dγ
ΓD (ϕ)
とおく．ここで，v ∈ S は Lagrange 乗数が入る場所を示す関数である．
このとき，u ∈ S が問題 2.1 の解ならば，任意の v ∈ U に対して，
LM (ϕ, u, v) = 0
が成り立つ．
.
.
.
.
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形状最適化問題の解法
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
まとめ
参考文献
形状最適化問題
§2.2 形状最適化問題
形状最適化問題を定義しよう．評価関数を次のように定義する．問題
2.1 の解 u に対して，
∫
∫
∫
f0 (ϕ, u) =
b · u dx +
p · u dγ −
(S (u) ν) · uD dγ
Ω(ϕ)
Γp (ϕ)
ΓD (ϕ)
(2.5)
を平均コンプライアンスという．また，
∫
f1 (ϕ) =
dx − c1
(2.6)
Ω(ϕ)
を領域の大きさに対する制約関数という．ただし，c1 は，ある ϕ ∈ D
に対して f1 (ϕ) ≤ 0 が成り立つような正定数とする．
.
.
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形状最適化問題の解法
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
まとめ
参考文献
形状最適化問題
§2.2 形状最適化問題 (cnt.)
.
問題 2.2 (平均コンプライアンス最小化問題)
.
D と S をそれぞれ (2.2) と (2.4) で定められるものとする．f0 と f1 を
(2.5) と (2.6) とする．このとき，
min { f0 (ϕ, u) | f1 (ϕ) ≤ 0, u ∈ S, 問題 2.1}
ϕ∈D
を満たす
Ω (ϕ) を求めよ．
.
.
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線形弾性体の形状最適化問題
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形状最適化問題の解法
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
まとめ
参考文献
評価関数の形状微分
§2.3 評価関数の形状微分
主問題の解が使われていない f1 (ϕ) の形状微分は，次のように得ら
れる．
1.
関数の形状微分公式を用いた評価法では
∫
′
f1 (ϕ) [φ] =
∇ · φ dx = ⟨gΩ1 , φ⟩ = ⟨g1 , φ⟩
(2.7)
Ω(ϕ)
となる．
2.
関数の形状偏微分公式を用いた評価法では
∫
′
f1 (ϕ) [φ] =
ν · φ dγ = ⟨g∂Ω1 , φ⟩ = ⟨g1 , φ⟩
(2.8)
∂Ω(ϕ)
となる．
.
.
.
.
.
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線形弾性体の形状最適化問題
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形状最適化問題の解法
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
まとめ
参考文献
評価関数の形状微分
§2.3 評価関数の形状微分 (cnt.)
f0 (ϕ, u) では主問題の解 u が使われている．そこで，主問題を等式
制約とみなしたときの f0 (ϕ, u) の Lagrange 関数を
L0 (ϕ, u, v0 ) = f0 (ϕ, u) + LM (ϕ, u, v0 )
∫
∫
=
(−S (u) · E (v0 ) + b · (u + v0 )) dx +
Ω(ϕ)
p · (u + v0 ) dγ
Γp (ϕ)
∫
{(u − uD ) · S (v0 ) ν + S (u) ν · (v0 − uD )} dγ
+
ΓD (ϕ)
とおく．
.
.
.
.
.
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線形弾性体の形状最適化問題
. . . . . . . . . . . . . . . . .
形状最適化問題の解法
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
まとめ
参考文献
評価関数の形状微分
§2.3 評価関数の形状微分 (cnt.)
1.
関数の形状微分公式を用いた評価法
ここでは，b (ϕ), pN (ϕ), uD (ϕ), C (ϕ) は物質固定であると仮定
する．
このとき，L0 の形状微分は
L0′ (ϕ, u, v0 ) [φ, u′ , v0′ ]
= L0ϕ (ϕ, u, v0 ) [φ] + L0u (ϕ, u, v0 ) [u′ ] + L0v0 (ϕ, u, v0 ) [v0′ ]
(2.9)
とかける．ここで，u′ と v0′ はそれぞれ u と v0 の形状微分 u′ (ϕ) [φ]
と v0′ (ϕ) [φ] を表す．以下で各項について考察する．
(2.9) の右辺第 3 項は，v0 の任意の変動 v0′ ∈ U に対する L0 の停留
条件
L0v0 (ϕ, u, v0 ) [v0′ ] = LMv0 (ϕ, u, v0 ) [v0′ ] = LM (ϕ, u, v0′ ) = 0 (2.10)
となる．(2.10) は主問題 (問題 2.1) の Lagrage 関数になっている．そこ
で，u が主問題の弱解ならば，(2.9) の右辺第 3. 項は. 0 となる．
.
.
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はじめに
最適設計の基礎
線形弾性体の形状最適化問題
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形状最適化問題の解法
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
まとめ
参考文献
評価関数の形状微分
§2.3 評価関数の形状微分 (cnt.)
また，(2.9) の右辺第 2 項は，
∫
L0u (ϕ, u, v0 ) [u′ ] =
(−S (u′ ) · E (v0 ) + b · u′ ) dx
∫
+
ΓN (ϕ)
Ω(ϕ)
pN · u′ dγ +
∫
(u′ · S (v0 ) ν + S (u′ ) ν · v0 ) dγ
ΓD (ϕ)
となる．ここで，v0 が次の随伴問題の弱解であるときに (2.9) の右辺第
2 項も 0 になる．
.
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はじめに
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線形弾性体の形状最適化問題
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形状最適化問題の解法
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
まとめ
参考文献
評価関数の形状微分
§2.3 評価関数の形状微分 (cnt.)
.
問題 2.3 (平均コンプライアンスに対する随伴問題)
.
問題 2.1 の b, pN , uD , C が与えられたとき，ϕ ∈ D に対して
−∇T S (v0 ) = bT in Ω (ϕ) ,
S (v0 ) · ν = pN on ΓN (ϕ) ,
v0 = uD on ΓD (ϕ)
d
.を満たす v0 : Ω (ϕ) → R を求めよ．
この随伴問題と主問題 (問題 2.1) を比較すれば，自己随伴関係
v0 = u が成り立つ．
さらに，(2.9) の右辺第 1 項は，
L0ϕ (ϕ, u, v0 ) [φ] = f0ϕ (ϕ, u) [φ] + LMϕ (ϕ, u, v0 ) [φ]
.
.
.
(2.11)
.
.
.
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形状最適化問題の解法
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
まとめ
参考文献
評価関数の形状微分
§2.3 評価関数の形状微分 (cnt.)
となる．(2.11) の右辺第 1 項は
∫
f0ϕ (ϕ, u) [φ] =
(b · u) ∇ · φdx
Ω(ϕ)
∫
∫
κ (pN · u) ν · φ dγ +
+
Γp (ϕ)
∫
−
(pN · u) τ · φ dς
∂Γp (ϕ)∪Θ(ϕ)
uD · {w (φ, u) + (S (u) ν) ∇τ · φ} dγ
ΓD (ϕ)
となる．ただし，
(
(
)T )
w (φ, u) = − ∇φT + ∇φT
S (u) ν + S (u) ∇φT ν
(2.12)
とおいた．ただし，
(
)
∇τ · φ = ∇ · φ − ν · ∇φT ν
.
(2.13)
.
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形状最適化問題の解法
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
まとめ
参考文献
評価関数の形状微分
§2.3 評価関数の形状微分 (cnt.)
とおいた．また，(2.11) の右辺第 2 項は
∫
[
(
)
LMϕ (ϕ, u, v0 ) [φ] =
S (u) · ∇φT E (v0 )
Ω(ϕ)
]
)
+ E (v0 ) · ∇φ S (u) + (−S (u) · E (v0 ) + b · v0 ) ∇ · φ dx
∫
∫
+
κ (pN · v0 ) ν · φ dγ +
(pN · v0 ) τ · φdς
(
Γp (ϕ)
∫
+
T
∂Γp (ϕ)∪Θ(ϕ)
[
{(u − uD ) + v0 } w (φ, v0 )
ΓD (ϕ)
]
+ {(u − uD ) · (S (v0 ) ν) + v0 · (S (u) ν)} ∇τ · φ dγ
となる．ここで，問題 2.1 と問題 2.3 の Dirichlet 条件が成り立つこと
を考慮すれば，L0ϕ における ΓD (ϕ) 上の積分は 0 となる．
以上の結果を踏まえて，u と v0 はそれぞれ問題 2.1 と問題 2.3 の弱
解であると仮定すれば，
f˜0′ (ϕ) [φ] = L0ϕ (ϕ, u, v0 ) [φ] = ⟨g0 , φ⟩ .
.
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.
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形状最適化問題の解法
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まとめ
参考文献
評価関数の形状微分
§2.3 評価関数の形状微分 (cnt.)
∫
=
Ω(ϕ)
∫
+
(GΩ0 · E (φ) + gΩ0 ∇ · φ) dx
∫
gN0 · φ dγ +
g∂N0 · φ dς
Γp (ϕ)
(2.14)
∂Γp (ϕ)∪Θ(ϕ)
とかくことができる．ここで，
GΩ0 = S (u) E (v0 ) + S (v0 ) E (u)
gΩ0 = −S (u) · E (v0 ) + b · (u + v0 )
gN0 = κpN · (u + v0 ) ν
g∂N0 = pN · (u + v0 ) τ
となる．
.
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形状最適化問題の解法
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まとめ
参考文献
評価関数の形状微分
§2.3 評価関数の形状微分 (cnt.)
2.
関数の形状偏微分公式を用いた評価法
ここでは，b (ϕ), pN (ϕ), uD (ϕ) および C (ϕ) は空間固定の関数で
あると仮定する．ここでも，b (ϕ) を b とかくときには，他の関数でも
ϕ を省略することにする．
(
)
また，u と v0 は q > d に対して W 2,2q Rd ; Rd に入るような条件
が満たされていると仮定する．
これらの仮定の下で，L0 (ϕ, u, v0 ) の形状微分は
L0′ (ϕ, u, v0 ) [φ] = L0ϕ (ϕ, u, v0 ) [φ]
+ L0u (ϕ, u, v0 ) [u∗ ] + L0v0 (ϕ, u, v0 ) [v0∗ ]
(2.15)
のようにかくことができる．ここで，u∗ と v0∗ はそれぞれ u と v0 の
形状編微分 u∗ (ϕ) [φ] と v0∗ (ϕ) [φ] を表す．
.
.
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形状最適化問題の解法
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まとめ
参考文献
評価関数の形状微分
§2.3 評価関数の形状微分 (cnt.)
(2.15) の右辺第 3 項は，
L0v0 (ϕ, u, v0 ) [v0′ ] = LMv0 (ϕ, u, v0 ) [v0′ ] = LM (ϕ, u, v0′ ) = 0 (2.16)
となる．(2.16) は主問題 (問題 2.1) の Lagrage 関数になっている．そこ
で，u が主問題の弱解ならば，(2.15) の右辺第 3 項は 0 となる．
また，(2.15) の右辺第 2 項は，
∫
L0u (ϕ, u, v0 ) [u′ ] =
(−S (u′ ) · E (v0 ) + b · u′ ) dx
∫
+
Γp (ϕ)
Ω(ϕ)
pN · u′ dγ +
∫
(u′ · S (v0 ) ν + S (u′ ) ν · v0 ) dγ
ΓD (ϕ)
となる．ここで，v0 が随伴問題 (問題 2.3) の弱解ならば，(2.15) の右
辺第 2 項は 0 となる．
.
.
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.
.
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形状最適化問題の解法
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まとめ
参考文献
評価関数の形状微分
§2.3 評価関数の形状微分 (cnt.)
さらに，(2.15) の右辺第 1 項は，
L0ϕ (ϕ, u, v0 ) [φ] = f0ϕ (ϕ, u) [φ] + LMϕ (ϕ, u, v0 ) [φ]
(2.17)
となる．ここで，(2.17) の右辺第 1 項は
∫
f0ϕ (ϕ, u) [φ] =
(b · u) ν · φ dγ
∂Ω(ϕ)
∫
∫
(∂ν + κ) (pN · u) ν · φ dγ +
+
Γp (ϕ)
−
(pN · u) τ · φ dς
∂Γp (ϕ)∪Θ(ϕ)
∫
¯ (φ, u) + (S (u) ν) ∇τ · φ} dγ
uD · { w
ΓD (ϕ)
となる．ただし，
{(
)T }
¯ (φ, u) = 2S (u) ∇φT ν + ∇T S (u) ν T φ
w
(
(
)T )
− ∇φT + ∇φT
S (u) ν
.
.
.
(2.18)
.
.
.
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形状最適化問題の解法
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
まとめ
参考文献
評価関数の形状微分
§2.3 評価関数の形状微分 (cnt.)
とおいた．∇τ · φ は (2.13) に従う．また，(2.17) の右辺第 2 項は
∫
LMϕ (ϕ, u, v0 ) [φ] =
(−S (u) · E (v0 ) + b · v0 ) ν · φ dγ
∫
∂Ω(ϕ)
∫
(∂ν + κ) (pN · v0 ) ν · φ dγ +
+
Γp (ϕ)
∫
−
(pN · v0 ) τ · φ dς
∂Γp (ϕ)∪Θ(ϕ)
[
¯ (φ, v0 )
{(u − uD ) + v0 } w
ΓD (ϕ)
]
+ {(u − uD ) S (v0 ) ν + v0 S (u) ν} ∇τ · φ dγ
となる．ここで，問題 2.1 と問題 2.3 の Dirichlet 条件が成り立つこと
を考慮すれば，L0ϕ における ΓD (ϕ) 上の積分は 0 となる．
以上の結果を踏まえて，u と v0 はそれぞれ問題 2.1 と問題 2.3 の弱
解であると仮定すれば，
f˜0′ (ϕ) [φ] = L0ϕ (ϕ, u, v0 ) [φ] = ⟨¯
g0 (ϕ, u) , φ⟩
.
.
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.
.
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形状最適化問題の解法
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まとめ
参考文献
評価関数の形状微分
§2.3 評価関数の形状微分 (cnt.)
∫
∫
g¯∂Ω0 · φ dγ +
=
∂Ω(ϕ)
∫
g¯N0 · φ dγ +
g¯∂N0 · φ dς
Γp (ϕ)
∂Γp (ϕ)∪Θ(ϕ)
(2.19)
とかくことができる．ここで，
{
}
g¯∂Ω0 = −S (u) · E (v0 ) + b · (u + v0 ) ν
g¯N0 = (∂ν + κ) {pN · (u + v0 )} ν
g¯∂N0 = {pN · (u + v0 )} τ
となる．
.
.
.
.
.
.
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形状最適化問題の解法
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
まとめ
参考文献
.
.
§3 形状最適化問題の解法
.
.
.
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.
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形状最適化問題の解法
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
まとめ
参考文献
勾配法
§3.1 勾配法
kgkX 0
f
R
y, kykX=1
x
X
g
X0
図 5: 勾配 g の定義
.
.
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.
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形状最適化問題の解法
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
まとめ
参考文献
勾配法
§3.1 勾配法 (cnt.)
q
f
R
x
yg
X
g
X0
図 6: 勾配法
.
.
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.
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43 / 69
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形状最適化問題の解法
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
まとめ
参考文献
勾配法
§3.1 勾配法 (cnt.)
ここで，g (x) の意味についてみておこう．f を x の周りで Taylor
展開すれば，
f (z) = f (x) + g (x) · y + o (∥y∥)
となる．
したがって，g (x) は f の変動が最大となる方向を向いている．そこ
で，有限次元ベクトル空間では X = X ′ が成り立つことから，
yg = −g (x)
(3.1)
のように yg ∈ X を選べば，
(
)
2
f (z) − f (x) = − ∥yg ∥X + o ∥yg ∥X
となり，∥yg ∥X が十分小さければ，f が減少することになる．
.
.
.
.
.
.
44 / 69
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線形弾性体の形状最適化問題
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形状最適化問題の解法
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
まとめ
参考文献
勾配法
§3.1 勾配法 (cnt.)
.
問題 3.1 (勾配法)
.
X = Rd とする．A ∈ Rd×d をある正定値実対称行列とする．ある
x ∈ X における勾配 g ∈ X ′ = Rd が与えられたとき，任意の y ∈ X
に対して
yg · (Ay) = −g · y
(3.2)
を満たす
yg ∈ X を求めよ．
.
.
.
.
.
.
.
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形状最適化問題の解法
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
まとめ
参考文献
勾配法
§3.1 勾配法 (cnt.)
.
定理 3.1 (勾配法)
.
問題
3.1 の解 yg は f の x における降下方向である．
.
証明 A は正定値実対称行列なので，ある α > 0 が存在して，任意
の y ∈ X に対して
2
y · (Ay) ≥ α ∥y∥ ,
A = AT
が成り立つ．そこで，yg は (3.2) を満たすので，
(
)
(
)
f (x + yg ) − f (x) = g · yg + o ∥yg ∥X = −yg · (Ayg ) + o ∥yg ∥X
(
)
2
≤ −α ∥yg ∥X + o ∥yg ∥X
□
が成り立つ．
.
.
.
.
.
.
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線形弾性体の形状最適化問題
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形状最適化問題の解法
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
まとめ
参考文献
H 1 勾配法
§3.2 H 1 勾配法
.
問題 3.2 (形状最適化問題の fi に対する H 1 勾配法)
.
(
)
X = H 1 Rd ; Rd とする．aX : X × X → R を，ある α > 0 に対して，
2
aX (z, z) ≥ α ∥z∥X
が成り立つような X 上の有界かつ強圧的な双 1 次形式とする．ある
ϕ ∈ D において gi ∈ X ′ が与えられたとき，任意の z ∈ X に対して
aX (φgi , z) = − ⟨gi , z⟩
(3.3)
を満たす
φgi ∈ X を求めよ．
.
.
.
.
.
.
.
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線形弾性体の形状最適化問題
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形状最適化問題の解法
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
まとめ
参考文献
H 1 勾配法
§3.2 H 1 勾配法 (cnt.)
(
)
φ ∈ X = H 1 Rd ; Rd に対して，∇φT の対称成分を
(
)T )
1(
∇φT + ∇φT
2
(
)
とおく．また，cΩ を L∞ Rd ; Rd×d×d×d に入る正値関数とする．この
とき，
∫
(3.4)
aX (φ, ψ) =
(E (φ) · E (ψ) + cΩ φ · ψ) dx
E (φ) = (eij (φ))ij =
Ω(ϕ)
は X 上の有界かつ強圧的な双 1 次形式となる．
.
.
.
.
.
.
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線形弾性体の形状最適化問題
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形状最適化問題の解法
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
まとめ
参考文献
H 1 勾配法
§3.2 H 1 勾配法 (cnt.)
(
)
さらに，C = (cijkl )ijkl ∈ W 1,∞ Rd ; Rd×d×d×d を線形弾性問題で
使われる剛性テンソルとして，応力テンソルを


∑
(3.5)
cijkl ekl (φ)
S (φ) = C : E (φ) = 
(k,l)∈{1,··· ,d}2
ij
とおく．このとき，
∫
(S (φ) · E (ψ) + cΩ φ · ψ) dx
aX (φ, ψ) =
(3.6)
Ω(ϕ)
は X 上の有界かつ強圧的な双 1 次形式となる．
.
.
.
.
.
.
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線形弾性体の形状最適化問題
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形状最適化問題の解法
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
まとめ
参考文献
H 1 勾配法
§3.2 H 1 勾配法 (cnt.)
さらに，fi の形状微分が関数の形状微分公式で与えられたとき，
∫
(
)
GΩi · ∇φT + gΩi ∇ · φ dx
Ω(ϕ)
∫
}
{
(
)T
∇ · (GΩi φ) − ∇T GΩi · φ + ∇ · (gΩi φ) − (∇gΩi ) · φ dx
Ω(ϕ)
∫
∫
}
{(
)T
∇T GΩi − ∇gΩBi · φ dx
=
(GΩi + gΩi ) ν · φ dγ −
∂Ω(ϕ)
Ω(ϕ)
∫
∫
=
g˜∂Ωi · φ dγ +
g˜Ωi · φdx
(3.7)
=
∂Ω(ϕ)
Ω(ϕ)
のようにかきかえられる．ここで，
g˜∂Ωi = GΩi + gΩi
(
)T
g˜Ωi = ∇T GΩi − ∇gΩBi
である．そこで，強形式は次のようになる．
.
.
.
.
.
.
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線形弾性体の形状最適化問題
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形状最適化問題の解法
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まとめ
参考文献
H 1 勾配法
§3.2 H 1 勾配法 (cnt.)
.
問題 3.3 (H 1 内積を用いた H 1 勾配法, 関数の形状微分)
.
ある ϕ ∈ D において，gNi と g∂Ni および (3.7) の g˜Ωi と g˜∂Ωi が与え
られたとき，
T
− ∇T S (φgi ) + cΩ φT
gΩi
gi = −˜
in Ω (ϕ) ,
S (φgi ) ν = −gNi − g˜∂Ωi on ΓN (ϕ) ,
S (φgi ) τ = −g∂Ni on ∂ΓN (ϕ) ∪ Θ (ϕ) ,
S (φgi ) ν = −˜
g∂Ωi on ΓD (ϕ)
.を満たす φgi を求めよ．
.
.
.
.
.
.
51 / 69
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線形弾性体の形状最適化問題
. . . . . . . . . . . . . . . . .
形状最適化問題の解法
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まとめ
参考文献
H 1 勾配法
§3.2 H 1 勾配法 (cnt.)
{g¹@pi {g¹@´i
{g@pi{g@´i
{gpi{g´i
¡p(Á)=¡´i(Á)
{g¹@
{g¹pi {g¹´i {g¹@
i
(Á)
{G
¡D(Á) {g
{g¹Di {g¹@
i
c
c
i
(Á)
¡D(Á)
i
¡p(Á)=¡´i(Á)
i
{g¹@
(a) 関数の形状微分公式を用いた gi
i
(b) 関数の形状偏微分公式を用いた g¯i
図 7: H 1 内積を用いた H 1 勾配法
.
.
.
.
.
.
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形状最適化問題の解法
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まとめ
参考文献
H 1 勾配法
§3.2 H 1 勾配法 (cnt.)
また，評価関数 fi の形状微分を関数の形状偏微分公式で与えられた
とき，(3.6) の aX (φ, ψ) を用いたときの (3.3) の強形式は次のように
なる．
.
問題 3.4 (H 1 内積を用いた H 1 勾配法, 関数の形状偏微分)
.
ある ϕ ∈ D において，g¯∂Ωi , g¯Ni および g¯∂Ni とが与えられたとき，
T
− ∇T S (φgi ) + cΩ φT
gi = 0Rd
in Ω (ϕ) ,
S (φgi ) ν = −¯
gNi − g¯∂Ωi on ΓN (ϕ)
S (φgi ) τ = −¯
g∂Ni on ∂ΓN (ϕ) ∪ Θ (ϕ) ,
S (φgi ) ν = −¯
g∂Ωi on ΓD (ϕ)
.を満たす φgi を求めよ．
.
.
.
.
.
.
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はじめに
最適設計の基礎
線形弾性体の形状最適化問題
. . . . . . . . . . . . . . . . .
形状最適化問題の解法
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
まとめ
参考文献
H 1 勾配法
§3.2 H 1 勾配法 (cnt.)
また，境界条件を追加することで双 1 次形式 aX : X × X → R に強
圧性をもたせることができる．
Dirichlet 境界条件を用いるとき，
∫
S (φ) · E (ψ) dx
aX (φ, ψ) =
(3.8)
¯ C0
Ω(ϕ)\Ω
は X 上の有界かつ強圧的な双 1 次形式となる
.
.
.
.
.
.
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線形弾性体の形状最適化問題
. . . . . . . . . . . . . . . . .
形状最適化問題の解法
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
まとめ
参考文献
H 1 勾配法
§3.2 H 1 勾配法 (cnt.)
.
問題 3.5 (Dirichlet 条件を用いた H 1 勾配法, 関数の形状微分)
.
ある ϕ ∈ D において，g¯∂Ωi , g¯Ni および g¯∂Ni が与えられたとき，
¯ C0 ,
in Ω (ϕ) \ Ω
− ∇T S (φgi ) = 0T
Rd
¯ C0 ,
S (φgi ) ν = −¯
g∂Ωi − g¯Ni on ΓN (ϕ) \ Ω
¯
S (φgi ) ν = −¯
g∂Ωi on ΓD (ϕ) \ ΩC0 ,
¯ C0 ,
S (φgi ) τ = −¯
g∂Ni on ∂ΓN (ϕ) ∪ Θ (ϕ) \ Ω
¯ C0
φgi = 0Rd on Ω
.を満たす φgi を求めよ．
.
.
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.
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線形弾性体の形状最適化問題
. . . . . . . . . . . . . . . . .
形状最適化問題の解法
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
まとめ
参考文献
H 1 勾配法
§3.2 H 1 勾配法 (cnt.)
{g¹@pi {g¹@´i
{g¹@pi {g¹@´i
{g¹@
¡p(Á)=¡´i(Á)
i
{g¹pi {g¹´i {g¹@
{g¹Di {g¹@ i
¡p(Á)=¡´i
{g¹@
{g¹@
i
{g¹pi {g¹´i {g¹@
{g¹Di {g¹@ i
i
(Á)
i
(Á)
¡D(Á)
¡D(Á)
{g¹@
i
{g¹@
i
c@
i
¹ C0
(a) Dirichlet 条件
(b) Robin 条件
図 8: 境界条件を用いた H 1 勾配法
.
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線形弾性体の形状最適化問題
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形状最適化問題の解法
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
まとめ
参考文献
H 1 勾配法
§3.2 H 1 勾配法 (cnt.)
さらに，Robin 条件を用いて
∫
∫
aX (φ, ψ) =
S(φ) · E(ψ) dx +
Ω(ϕ)
c∂Ω (φ · ν) (ψ · ν) dγ
∂Ω(ϕ)
(3.9)
とおく．このときの強形式は次のようになる．
.
.
.
.
.
.
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線形弾性体の形状最適化問題
. . . . . . . . . . . . . . . . .
形状最適化問題の解法
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
まとめ
参考文献
H 1 勾配法
§3.2 H 1 勾配法 (cnt.)
.
問題 3.6 (Robin 型力法の強形式)
.
ある ϕ ∈ D において，g¯∂Ωi , g¯Ni および g¯∂Ni とが与えられたとき，
− ∇T S (φgi ) = 0T
in Ω (ϕ) ,
Rd
S (φgi ) ν + c∂Ω (φ · ν) ν = −¯
g∂Ωi − g¯Ni on ΓN (ϕ)
S (φgi ) τ = −¯
g∂Ni on ∂ΓN (ϕ) ∪ Θ (ϕ) ,
S (φgi ) ν + c∂Ω (φ · ν) ν = −¯
g∂Ωi on ΓD (ϕ)
.を満たす φgi を求めよ．
.
.
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.
.
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線形弾性体の形状最適化問題
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形状最適化問題の解法
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
まとめ
参考文献
H 1 勾配法
§3.2 H 1 勾配法 (cnt.)
また，問題 3.2 は，
{
}
1
q (φgi ) = min q (φ) = aX (φ, φ) + ⟨gi , φ⟩ + fi (ϕ)
φ∈X
2
(3.10)
を満たす φgi ∈ X を求めることと同値である．そこで，fi (ϕ) の
φ ∈ X に対する 2 階の Fr´echet 微分を aX (φ, φ) で代用したときの修
正 Newton 法とみなすことができる．
.
.
.
.
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形状最適化問題の解法
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
まとめ
参考文献
アルゴリズム
§3.3 アルゴリズム
.
問題 3.7 (逐次 2 次近似問題)
.
ある ϕ ∈ D に対して，f0 , · · · , fm とそれらの形状微分 g0 , · · · , gm が与
えられたと仮定する．aX を問題 3.2 で使われた双 1 次形式とする．ca
をステップサイズを調整する正定数とする．このとき，
{
ca
q (φg ) = min q (φ) = aX (φ, φ) + ⟨g0 , φ⟩ φ∈X
2
}
f1 (ϕ) + ⟨g1 , φ⟩ ≤ 0, · · · , fm (ϕ) + ⟨gm , φ⟩ ≤ 0
(3.11)
.を満たす φg ∈ X を求めよ．
.
.
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.
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形状最適化問題の解法
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
まとめ
参考文献
アルゴリズム
§3.3 アルゴリズム (cnt.)
問題 3.7 の Lagrange 関数を
LS (φ, λ1 ) = q (φ) +
∑
λi (fi (ϕ) + ⟨gi , φ⟩)
(3.12)
i∈{1,··· ,m}
T
とおく．ここで，λ = (λ1 , · · · , λm ) ∈ Rm は不等式制約条件に対する
Lagrange 乗数である．ここで，φg が問題 3.7 の解ならば，任意の
y ∈ X に対して，KKT (Karush–Kuhn–Tucker) 条件:
⟨
⟩
∑
ca aX (φg , y) + g0 +
λi gi , y = 0,
(3.13)
i∈{1,··· ,m}
fi (ϕ) + ⟨gi , φg ⟩ ≤ 0
for i ∈ {1, · · · , m} ,
λi (fi (ϕ) + ⟨gi , φg ⟩) = 0 for i ∈ {1, · · · , m} ,
λi ≥ 0 for i ∈ {1, · · · , m} ,
(3.14)
(3.15)
(3.16)
が成り立つ (例えば [2])．これらを満たす φg は次のようにして求めら
れる．
.
.
.
.
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形状最適化問題の解法
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
まとめ
参考文献
アルゴリズム
§3.3 アルゴリズム (cnt.)
φg0 , · · · , φgm を H 1 勾配法 (問題 3.2) の解とする．ただし，(3.3) を
ca aX (φgi , z) = − ⟨gi , z⟩
に変更する．このとき，
φg = φg0 +
∑
(3.17)
λi φgi
(3.18)
i∈{1,··· ,m}
は，(3.13) を満たす．また，(3.14) が等号で成り立つならば，
i ∈ {1, · · · , m} に対して，

 


⟨g1 , φg1 ⟩ · · · ⟨g1 , φgm ⟩
λ1
f1 (ϕ) + ⟨g1 , φg0 ⟩

  .. 


..
..
..
..

 .  = −

.
.
.
.
⟨gm , φg1 ⟩ · · · ⟨gm , φgm ⟩
λm
fm (ϕ) + ⟨gm , φg0 ⟩
が成り立つ．この式を
(⟨gi , φgj ⟩)ij (λj )j = − (fi (ϕ) + ⟨gi , φg0 ⟩)i
とかく．
.
.
(3.19)
.
.
.
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形状最適化問題の解法
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
まとめ
参考文献
アルゴリズム
§3.3 アルゴリズム (cnt.)
(1) 初期設定 (k=0)
(2) 主問題を解いて，評価関数を計算する．
(3) 随伴問題を解いて，微分を計算する．
(4) 勾配法で設計変数の変動を求める．
(5) Lagrange 乗数を求める．
(6) 設計変数を更新して (k+1)，(2) を行う．
(7) 終了条件
No
(k+1!k)
Yes
(8) 終了
図 9: H 1 勾配法を用いた逐次 2 次近似法のアルゴリズム
.
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形状最適化問題の解法
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まとめ
参考文献
アルゴリズム
§3.3 アルゴリズム (cnt.)
.
アルゴリズム 3.1 (逐次 2 次近似法)
.
問題 2.1 の数値解を次のようにして求める．
1. Ω0 を選ぶ．f1 = · · · fm = 0 を満たすように c1 , · · · , cm を定める．
ca を選ぶ．k = 0 および ϕ0 = i (恒等写像) とおく．
2. Ω (ϕk ) において主問題を解き，f0 , · · · , fm を計算する．
問題 2.1 と問題 2.3
3. 停止条件を判定する．満たされたときは 8 に進む．満たされない
ときは次に進む．
.
4.
随伴問題を解き，g0 , · · · , gm を計算する．
5.
(3.17) による H 1 勾配法 (問題 3.2) で φg0 , · · · , φgm を計算する．
.
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形状最適化問題の解法
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
まとめ
参考文献
アルゴリズム
§3.3 アルゴリズム (cnt.)
.
6.
7.
.
8.
(3.19) で λ を計算する．ただし，i ∈
/ IA に対して λi = 0 とおき，
IA に含まれる制約条件のみを残した (3.19) を解くことを繰り返す．
(3.18) で φg を求め，ϕk+1 = ϕk + φg とおき，変数 k に k + 1 の
値を代入して，2 に戻る．
計算を終了する．
.
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形状最適化問題の解法
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まとめ
参考文献
§4 まとめ
1.
1 次元の段付き線形弾性体に関する最適設計問題は次のように構成
された．
• 設計変数 (断面積) と状態変数 (変位) を定義した．
• 状態変数を決定するための主問題を定義した．
• 設計変数と状態変数で評価関数 (平均コンプライアンスと体積制約)
を定義した．
そのうえで，随伴変数法 (Lagrange 乗数法) で評価関数の断面積微
分を求めた．最適性の条件は KKT 条件によって与えられた．
.
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形状最適化問題の解法
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まとめ
参考文献
§4 まとめ (cnt.)
2.
線形弾性体の形状最適化問題は 1 次元段付き線形弾性体の断面積最
適化問題と同じ構造をもっていた．表 1 に両者の対応を示す．
断面積最適化問題
設計変数 ∈ X
状態変数 ∈ U
主問題 ∀v ∈ U
評価関数の勾配 ∈ X ′
勾配法 ∀z ∈ X
a∈R
u ∈ R2
LM (a, u, v) = 0
gi ∈ R 2
ygi · Az = −g · z
2
形状最適化問題
(
)
ϕ ∈ H 1 ( Rd ; R)
u ∈ H 1 Rd ; R
LM (ϕ, u,( v) = )0
gi ∈ H 1′ Rd ; R
a (φgi , z) = − ⟨gi , z⟩
表 1: 断面積最適化問題と形状最適化問題の対応
.
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形状最適化問題の解法
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
まとめ
参考文献
§4 まとめ (cnt.)
3.
H 1 勾配法は関数空間上の勾配法である．形状最適化問題に対する
H 1 勾配法は，境界条件に形状微分を用いた線形弾性問題となる．
.
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形状最適化問題の解法
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まとめ
参考文献
参考文献
[1] 畔上秀幸.
適応システム特論の教材 (名古屋大学 情報科学研究科).
http://www.az.cs.is.nagoya-u.ac.jp/class/adaptivesystems/nuide.html.
[2] 藤田宏, 今野浩, 田邉國士.
最適化法.
岩波書店, 東京, 1994.
.
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