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セミナーノート：リー群と表現論
早稲田大学基幹理工学部数学科 3 年 @waheyhey
概要
松島与三先生の本 [6] での多様体ゼミの続きとして，小林先生および大島先生著のリー群と表現論 [5] で
セミナーをしたときのノートをまとめました．毎度恒例の注意として，僕がこういうものがニガテで非常に
よく分かっていない状態で書いているので，間違いが沢山あると思いますのでお気をつけて．間違いや不備
のある点，誤植等を見つけたら教えてくださると助かります．色んな分野に親しんでいる同級生たちが一
同に会するとても愉快なセミナーなので，飛び交う意見交換なども極力ここの場にまとめていきたいです．
僕の専門は代数幾何学で，もちろん代数幾何学との関連に気をつけながらセミナーに参加していました．代
数幾何学に関する補足は随所にありますが，全体を冗長にしないため，長くなるものに関しては 付録 B に
まとめました．
目次
Lie 群と等質空間の構造
1
3
ω
1.1
C 級 Lie 群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2
普遍被覆群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.3
複素 Lie 群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.4
等質空間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.5
Lie 群上の積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.6
コンパクト Lie 群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
古典群と種々の等質空間
18
2.1
いろいろな古典群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.2
Clifford 代数とスピノル群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.3
等質空間の例 1：球面の種々の表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.4
等質空間の例 2：SL(2, R) の等質空間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
ユニタリ群 U (n) の表現論
19
3.1
Wyle の積分公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
3.2
極大トーラス上の対称式と交代式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
3.3
U (n) の有限次元既約表現の分類と指標公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
古典群の表現論
20
4.1
古典群のルート系と Weyl の積分公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
4.2
Weyl 群の不変式と交代式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
4.3
有限次元既約表現の分類と指標公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2
3
4
1
ファイバー束と群作用
21
5.1
ファイバー束と切断 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
5.2
ベクトル束と主ファイバー束 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
5.3
主束に同伴するファイバー束 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
5.4
群作用と切断 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
5.5
G-不変な切断 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
誘導表現と無限次元ユニタリ表現
22
6.1
Frobenious の相互律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
6.2
無限次元表現の構成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
Weyl のユニタリ・トリック
23
7.1
複素化と実形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
7.2
Weyl のユニタリ・トリック . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
7.3
等質空間におけるユニタリ・トリック . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
Borel-Weil 理論
24
8.1
旗多様体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
8.2
Borel-Weil の定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
8.3
Borel-Weil の定理の一般化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
Peter-Weyl の定理
25
A.1
Peter-Weyl の定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
A.2
有限群論への応用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
代数幾何学的な補足
26
B.1
代数群とその有理表現 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
B.2
第 1.4 節 “等質空間”への補足 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
B.3
第 1.5 節 “Lie 群上の積分”への補足 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
5
6
7
8
付録 A
付録 B
2
1 Lie 群と等質空間の構造
1.1 C ω 級 Lie 群
定義 1（C ω 級 Lie 群） C ω 級多様体 G が群構造を持ち，その積演算と逆元をる写像が C ω 級であるとき C ω
級 Lie 群（C ω -Lie group）であるという．
C ω 級 Lie 群 G の局所的な情報を取り出したい．そのために多様体の局所的な一次近似である接空間を調
べる．
g ∈ G に対し，G の自己同型を l(g) : G → G, x → gx で定める．定義から直ちに
(i) l(g) ◦ l(g ′ ) = l(gg ′ )．
(ii) l(e) = 1G ．
を得る．これにより線型同型
l(g)∗ : Te G −→ Tg G
を得る．また，v ∈ Te に対し
v˜ : g −→ l(g)∗ v
とすることでベクトル場 v˜ が定まる．定義から，v˜(l(g)(x)) = l(g)∗ v˜(x) となる．
注意 2
g ∈ G に対して G ∋ x → gxg −1 ∈ G と定めることで単位元の接空間の自己線型同型が得られ，これ
が G の表現 ρ : G → Aut(Te G) を与える．この表現を随伴表現といい，後に重要な役割を果たしていく．
定義 3（左不変ベクトル場） X ∈ X(G) が左不変であるとは，任意の g ∈ G に対し X ◦ l(g) = l(g)∗ X とな
るときいう．G 上の左不変ベクトル場全体を XL (G) で表す．
v˜ は定義より左不変ベクトル場である．よって線型写像
Te G −→ XL (G), v → v˜
が定まる．
命題 4
証明
この Te G → XL (G) は線型同型である．
単射性は明らか．全射性も左不変の定義より X = X(e) であることより従う．
これにより，Te G に [v, w] := [˜
v , w]
˜ e により Lie 代数の構造が定まる．
命題 5
証明
XL (G) ⊂ X(G) は部分 Lie 環となる．
括弧積で閉じることをいえばよい．実際
[X, Y ]g = [l(g)∗ X, l(g)∗ Y ]e = l(g)∗ ([X, Y ]e )
より [X, Y ] ∈ XL (G) である．
命題 6
X ∈ XL (G) となる必要十分条件は Exp tX が任意の g ∈ G に関して l(g) と可換になることである．
ここで，1 パラメーター局所群 Exp tX : G → G は，x ∈ G の近傍では |t| < ε で定義されているとする．
3
証明は簡単なので省略するそうです．
系 7 任意の左不変ベクトル場 X ∈ XL (G) は完備である．
証明
前命題において x = e を代入すると l(g) ◦ Exp tX(e) = Exp tX(g) となる．すなわち ε は g に寄らず
一様にとれる．よって [6], II, §12, 定理 2 よりベクトル場 X は完備である．
例 8 G = GL(n; R) の場合を考える．X ∈ TEn G = M (n, R) に対応するベクトル場を X ∈ XL (G) とする．
ここで En ∈ G を通る X の積分曲線は
dξ
(t) = X(ξ(t)) = ξ(t)X, ξ(0) = En
dt
より ξ(t) = etX である．
■指数写像 単位元における接空間 Te G から C ω 級 Lie 群 G への指数写像
exp : Te G −→ G
を，
v −→ (Exp t˜
v )(e)
t=1
で定める．
以下，Te G には，Euclid 空間との自然な同一視により C ω 級 Lie 群の構造が入っていると見なす．
exp は C ω 級関数である．
命題 9
証明は省略する．例えば，[6] の IV, §10, 定理 1 をみよ．
例 10 G = Rn としたとき，exp(v) = v である．
例 11 G = GL(n, R) のとき，exp : M(n, R) → GL(n, R) は，X → eX で与えられる．
次の命題は定義から直ちに従う．
命題 12
任意の s ∈ R に対して，
exp(sv) = (Exp t˜
v )(e)
t=s
が成り立つ．
系 13 次の等式
exp((s + t)v) = exp(sv) · exp(tv)
が成り立つ．
証明
任意の g ∈ G に対し，(Exp tX)(g) = g · (Exp tX)(e) が成り立つことに注意して，この場合は
(Exp (s + t)X)(e) = (Exp tX)((Exp sX)(e))
= (Exp sX)(e) · (Exp tX)(e)
となる．
4
命題 14
exp が定める接空間の間の射
(exp)∗0 : Te G −→ Te G
は恒等写像である．ここで，定義域の Te G は，Lie 群 Te G の零元における接空間を再び Te G と同一視したも
のである．
実際，任意の v ∈ Te G および任意の f ∈ C ω (G) に対し，
証明
d
f (exp(tv))
dt
t=0
d
= f ((Exp t˜
v )(e))
dt
= v(f )
(exp)∗0 (v)(f ) =
t=0
となるので，(exp)∗0 (v) = v が成り立つ．
特に，逆関数定理から次のことが分かる．
系 15 exp : Te G → G は 0 ∈ Te G のまわりで局所微分同型である．
次に，以下のような問題提起をしてみよう．
問題 16
G, H を C ω 級 Lie 群とし，C 0 級の準同型写像全体を Hom0 (G, H) で，C ω 級の準同型写像全体を
ω
Hom (G, H) で表したときに，
Hom0 (G, H) = Homω (G, H)
は成り立つか．
まず，次の具体例を考える．
例 17 Hom0 (R, R) を考える．f : R → R を連続な準同型としたときに，任意の q/p ∈ Q に対し f (q/p) =
(q/p)f (1) となり，Q は R で稠密であるから f の連続性により，f (x) = f (1) · x となり，これは明らかに C ω
級である．よって G = H = R のときは上の問題は正しい．
いきなり G と H を一般にするとむつかしいから，まず次の場合を考える．
問題 18
上の問題において特に片方を R とした場合に，等号
Hom0 (R, G) = Homω (R, G)
は成り立つか．
命題 19
R から G への C ω 級の準同型写像全体から，G の単位元における接空間への写像
Homω (R, G) −→ Te G
f −→
は全単射である．
5
df
(0)
dt
証明
逆写像は Te G ∋ v → (t → exp(tv)) ∈ Homω (R, G) によって与えられる．実際
d
exp(tv)
dt
d
(Exp t˜
v )(e)
dt
=v
=
t=0
t=0
である．一方，f ∈ Homω (R, G) に対し，v := (df /dt)(0) とおけば，exp(tv) = Exp t˜
v (e) であるが，ここで，
任意の t ∈ R に対し f (t) = Exp t˜
v (e) をいえばよい．これには f (t) が微分方程式
{
ξ(0) = e
(dξ/dt)(t) = v˜(ξ(t)) = l(ξ(t))∗ (v)
の解であることを確かめればよい．f (0) = e で (df )(dt)(t) ∈ Tf (t) G であり，任意の h ∈ C ω (G) に対して
l(f (t)∗ (v)(h) = v((h ◦ l(f (t)))
dh(l(f (t))) ◦ f (s)
ds
dh(f (t + s))
=
ds
s=0
df
= (t)(h)
dt
=
s=0
である．よって ξ(t) = f (t) である．
命題 20
G, H を C ω 級 Lie 群，f : G → H を C ω 級の準同型写像としたときに，次の図式
Te G
dfe
/ Te H
exp
G
exp
f
/H
は可換である．
証明
任意の v ∈ Te G および任意の t ∈ R に関し，
exp(dfe (tv)) = exp(t(dfe (x))) ∈ Homω (R, H)
および，
d
f (exp(tv))
dt
t=0
= dfe (v)
が成り立つので，命題 19 の全単射より，
f (exp(tv)) = exp(dfe (tv))
が成り立つ．とくに，t = 1 とすることで結果を得る．
ここまでの議論から，次のようにして求めていた結論を得る．
定理 21
等号
Hom0 (R, G) = Homω (R, G)
が成り立つ．
6
証明
f : R → G を連続準同型写像とする．系 20 より Te G → G は単位元付近で局所微分同型であったの
∼
で，原点の近傍 U ⊂ Te G と V ⊂ G が存在して，微分同型 Te G ⊃ U −
→ V ⊂ G が成り立つ．また，原点の近
傍 U ′ ⊂ Te G を 2U ′ ⊂ U が成り立つようにとっておく．f は連続写像より，ある ε > 0 に対して「|t| < ε な
らば f (t) ∈ V ′ := exp(U ′ )」が成り立つ．f (ε/2) ∈ V ′ より，ある vε/2 ∈ U ′ が存在して f (ε/2) = exp(vε/2 )
が成り立つ．同様にして vε ∈ U を f (ε) = exp(vε ) が成り立つようにとる．ここで
exp(vε ) = f (ε) = f
(ε
2
+
(ε) (ε)
ε)
=f
·f
2
2
2
= exp(vε/2 ) · exp(vε/2 )
= exp(2 · vε/2 )
∼
ここで，同型 U −
→ V より vε/2 = 1/2 · vε を得る．これを繰り返して任意の正整数 i に関して
f
を得るが，これを両辺 j ∈ Z 乗して
(
)
(ε)
1
=
exp
v
ε
2i
2i
(
f
)
(
)
j
j
ε
=
exp
v
ε
2i
2i
となる．{j/2i }i,j は R で稠密より f の連続性から任意の s ∈ R に対して f (sε) = exp(sε)，すなわち
( v )
ε
f (t) = exp t ·
∈ Homω (R, G)
ε
を得る．
{v1 , . . . , vn } の Te G の基底とする．
φ : Rn −→ G,
(t1 , . . . , tn ) −→ exp(t1 v1 ) · exp(t2 v2 ) · · · exp(tn vn )
で定める．
命題 22
証明
φ は 0 ∈ Rn の近傍で微分同相である．
結果は任意の i = 1, . . . , n について
((
φ∗
∂
∂ti
) )
= vi
0
であることより従う．
定理 23
G, H を C ω 級 Lie 群とする．このとき
Hom0 (G, H) = Homω (G, H)
が成り立つ．すなわち任意の連続準同型は C ω 級になる．
証明
f : G → H を連続準同型とする．これが単位元 e ∈ G の近傍で C ω 級を示す．
∼
Rn ⊃ U −
→V ⊂G
φ
7
を G の e まわりの局所座標系とすると，f (φ(t1 , . . . , tn )) = f (exp(t1 v1 )) · · · f (exp(tn vn )) とかける．ここで，
f (exp(ti vi ) ∈ Hom0 (R, H) = Homω (R, H) ≃ Te H であるから，ある wi ∈ Te H が存在して f (exp(ti vi )) =
exp(ti wi ) と表せる．よって，
f (φ(t1 , . . . , tn )) = exp(t1 v1 ) · · · exp(tn wn )
であるから，f は e ∈ G の近傍で C ω 級である．
系 24 G は位相多様体かつ位相群であるとする．このとき，G が位相群としてのもともとの演算で C ω 級
Lie 群となるような微分構造を与える座標系は同値の差を除いて一意に定まる．
証明
id : G → G は連続同型で，よって定義域と値域の G にそれぞれ Lie 群としての微分構造を入れたとき
に，これは C ω 級の同型となる．
例 25 実数体 R は通常の加法で位相群であり，id : R → R および φ : R → R, φ(x) = x3 により同値でな
い座標系が定まるが，後者は (x1/3 + y 1/3 )3 が連続でないことより R に C ω 級 Lie 群の構造を定めない．
■Lie 群と Lie 環 C ω 級 Lie 群に対して，XL (G) = Te G は Lie 環の構造を持ったのであった．これを改めて
Lie 群 G から定まる Lie 環と呼ぶことにする．以下では，Lie 群が可換であるときにその Lie 環も可換である
こと，および G が連結であるときにその逆も成り立つことを示す．
さて，x ∈ G に対し，C ω 級準同型 A(x) : G → G を y → xyx−1 で定めることにする．特に A(xy) =
A(x) ◦ A(y) が成り立つゆえ，A(x) は G の自己 C ω 級同型を与える．また，A(e) = id に注意する．G が可
換であることと，任意の x ∈ G に対して A(x) = id であることは同値である．また，各 A(x) は G の Lie 環
∼
の線型同型 (A(x)∗ )e : Te G −
→ Te G を誘導する．
定義 26（随伴表現） G の随伴表現 (adjoint representation) Ad : G → GL(Te G) を，Ad(x) := (A(x)∗ )e
で定義する．
Ad は Lie 群の準同型になる．このとき，誘導される線型写像を ad := (Ad∗ )e : Te G → End(Te G) で定め
る．命題 20 より図式
GO
/ GL(Te G)
O
Ad
exp
Te G
exp
ad
/ End(Te G)
は可換である．
命題 27
証明
等号 ad(X)(Y ) = [X, Y ] が成り立つ．
来週示す．
命題 28
Ad が単位元への定値写像のとき，Lie 環 Te G は可換である．G が連結であるときはこの逆も成り
立つ．
証明
Ad が単位元への定値写像であるとする．任意の X ∈ Te G と t ∈ R に関して，exp t · ad(X) =
Ad(exp tX) = En である．よって ad(X) = 0 であり，前命題より [X, Y ] = ad(X)(Y ) = 0 となる．
8
G の連結性を仮定して逆を示そう．そのために，位相群 G′ とその単位元の近傍 U に関して，G′ =
∪∞
k=1
Uk
が成り立つこと，およびその帰結として C ω 級 Lie 群 G の任意の元 g ∈ G に対し単位元の接ベクト
ル X1 , . . . , Xn ∈ Te G が存在して，g = exp(X1 ) · · · exp(Xn ) と書けることに注意しよう．このとき，
Ad(g) = Ad(exp(X1 )) · · · Ad(exp(Xn )) = exp(ad(X1 )) · · · exp(ad(Xn )) であるが，[X, Y ] = ad(X)(Y ) = 0
であるならば，この右辺は単位行列 En である．
命題 29
証明
G が連結かつ Ad が単位行列への定値写像であるとき，G は可換 Lie 群である．
任 意 の x ∈ G お よ び X ∈ Te G に 対 し ，A(x)(exp(X)) = exp(Ad(x)(X)) = exp(X)
で あ る ．し た が っ て 任 意 の g ∈ G に 対 し ，g = exp(X1 ) · · · exp(Xn ) と 表 し て お い た と き ，
Ad(g) = Ad(exp(X1 )) · · · Ad(exp(Xn )) = exp(X1 ) · · · exp(Xn ) = g である．
以上をまとめて次を得る．
定理 30
C ω 級 G が可換であるとき，その Lie 環 Te G も可換である．また，G が連結であるときこの逆も成
り立つ．
例 31 可換 Lie 群 G と非可換な有限群 G の直積を考えることで，G が連結でない場合に逆が成り立たない
例が作れる．
以下ではある種の場合に，Lie 環から Lie 群を復元することを考えよう．Lie 群に対する Lie 環は，原点で
の接空間，すなわち微分にあたる操作を行うことで得られた．よって，この逆操作である Lie 環から Lie 群を
作る操作は，ベクトル場の積分を考えればよさそうである．
定義 32（distribution） C ∞ 級多様体 M に対して，接空間の階数 r の部分ベクトル束 D ⊂ T M を distribu-
tion という．
定義 33（包合的, 積分多様体, 積分可能） distribution D は，任意の大域切断 X, Y ∈ Γ(D) に対し，[X, Y ] ∈
Γ(D) となるとき，包合的 (involutive) という．
C ∞ 級 k 次元多様体 N と 1 対 1 はめ込み ψ : N
M の組 (N, ψ) は，階数 k の distribution D に対し，
任意の点 p ∈ N について ψ∗ (Tp N ) = D(ψ(p)) となるとき，D の積分多様体であるという．
また，distribution D は，任意の点 p ∈ N に対し，その点を通る積分多様体が存在するとき，積分可能
(integrable) であるという．
定理 34（Frobenious） distribution D に対し，それが包合的であることと積分可能であることは同値である．
またこのとき，N の各点に対しそれを通る極大連結積分多様体が存在する．
Frobenious の定理の証明に関しては森田 [7] を参照せよ．松島 [6] の III, §8 にも解説がある．
定義 35（部分 Lie 群） Lie 群 G に対し，部分多様体 (H, ψ) が G の部分 Lie 群であるとは，H がそれ自信
Lie 群であって，1 対 1 はめ込み ψ : H
G が Lie 群の準同型となることである．
このとき，H の Lie 環 h と G の Lie 環 g の間に，Lie 環の準同型 dψ : h → g が定まる．
目標とするのは次の定理の証明である．すなわち，Lie 群 G を一つ固定したとき，その Lie 部分群と，G の
Lie 環の部分 Lie 環が包含を保つように 1 対 1 対応する．
9
定理 36
G を Lie 群，g を G の Lie 環，h ⊂ g を部分 Lie 環とする．このとき，連結な Lie 部分群 (H, ψ) が
一意に存在して，dψ(Te H) = h となる．
証明
G の destribution D を，各点 p ∈ G に対し
D(p) := {˜
v (p) | v ∈ h}
で定める．h が Lie 環であることから，D は包合的である．よって，Frobenious の定理から単位元 e ∈ G を
通る極大連結積分多様体 (H, ψ) が存在する．
H に群構造を定義しよう．そのために次の補題を用いる．
補題 37
証明
x, y ∈ H に対し，ψ(x)−1 ψ(y) ∈ ψ(H) となる．
ψ
l(ψ(x)−1 )
合成 H −
→ G −−−−−−→ G に関して，(H, l(ψ(x)−1 ) ◦ ψ) も部分多様体である．また，D は左不変であ
るので，任意の p ∈ H に対して，
l(ψ(x)−1 )∗ (ψ∗ (Tp H)) = l(ψ(x)−1 )∗ (D(ψ(p)))
= D(l(ψ(x)−1 ) · ψ(p))
であるから，(H, l(ψ(x)−1 ) ◦ ψ) も D の e を通る積分多様体である．よって (H, ψ) が極大であることより，
ψ(x)−1 · ψ(y) ∈ l(ψ(x)−1 ) · ψ(H) ⊂ ψ(H)
となる．
よって，ψ(H) は G の部分群としての群構造を持ち，H にも群構造が定まる．
H が Lie 群になることをみよう．
補題 38
証明
x, y ∈ H に対し，ψ(x)−1 · ψ(y) ∈ ψ(H) が成り立つ．
合成
≃
H−
→ G −−−−−−1
−→ G
ψ
l(ψ(x)
)
も G の部分多様体を与える．destribution D は左不変であるので，任意の p ∈ H に対し，
l(ψ(x)−1 )∗ (D(ψ(p))) = l(ψ(x)−1 )∗ (ψ(Tp H))
= D(l(ψ(x)−1 ) · ψ(p))
であるから，(H, l(ψ(x)−1 ) ◦ ψ) も D の積分多様体である．よって (H, ψ) が D の極大連結積分多様体である
ことより，ψ(H) ⊃ l(ψ(x)−1 ) · ψ(H) ∋ ψ(x)−1 · ψ(y) が分かる．
よって ψ(H) は G の部分群として群構造を持ち，H にも x · y := ψ −1 (ψ(x) · ψ(y)) で群構造が定まる．
次に，H が Lie 群になることを示そう．[6], P58 の例題を次の図式に用いる．
x·y −1
/H
H ×H
GG
GG
GG
ψ
G
ψ(x)·ψ(y)−1 GG #
G
これにより，群演算が解析的になることが従う．
10
H の Lie 環は dψ(Te H) = D(e) = h となる．以上から，H は定理の主張にある G の部分 Lie 群の条件を
全て満たしていることが分かった．
最後に，このような部分 Lie 群の一意性を示そう．G の部分 Lie 群 (K, ψ ′ ) で dψ ′ (Te K) = h なるものを
とる．このとき，(K, ψ ′ ) ≃ (H, ψ) を示す．(K, ψ ′ ) も D の積分多様体であるから，(H, ψ) の極大性から
ψ ′ (K) ⊂ ψ(H) である．集合論的な写像として ψ −1 ◦ ψ : K → G を定める．ψ ′ = ψ ◦ (ψ −1 ◦ ψ ′ ) : K → G
が C ω 級であることから，[6], P58 の例題より ψ −1 ◦ ψ ′ も C ω 級である．以上から，ψ −1 ◦ ψ ′ が Lie 群の単
射準同型であることが分かった．これが全単射であることが分かれば，同様にして逆写像 ψ ′−1 ◦ ψ の解析性
が分かるので，K ≃ H が得られる．
ψ −1 ◦ ψ ′ : K → H が全射であることを示そう*1 ．dψ ◦ d(ψ −1 ◦ ψ ′ ) = d(ψ ◦ (ψ −1 ◦ ψ ′ )) = dψ ′ であること
から，d(ψ −1 ◦ ψ ′ ) = (dψ)−1 ◦ dψ ′ が分かる．(dψ)−1 ◦ dψ ′ : Te K → Te H は同型写像より，
Te K
≃
/ Te H
exp
K
exp
ψ −1 ◦ψ ′
/H
上の図式を用いることで ψ −1 ◦ ψ ′ の全射性が分かった．以上で示すべきことは全て示された．
例 39 2 次元トーラス G = T2 を考えよう．この Lie 環は g ≃ R2 である．この部分 Lie 環は原点を通る直線
であるが，対応する部分 Lie 群 H はこの直線の傾きが有理数のときは埋め込み，傾きが有理数でない場合は
埋め込みにならずはめ込みである．
以上で，この C ω 級 Lie 群の節を締める．発表者だった N 君はテキストにおいて多様体の言葉を用いずに
された基礎付けを多様体の言葉に書き換えて分かりやすく教えてくれた．このノートの著者のアホで要領を得
ない質問にも根気よく付き合ってくれた．この場を借りて感謝します．
1.2 普遍被覆群
普遍被覆空間の一般論と Lie 群への応用をまとめる．都数の会員の方はメンバーによって書かれた [10] と
[11] も参照されたい．セミナーでは [2] が良書として紹介されていた．
定義 40（普遍被覆空間） M を位相多様体，基点 x0 ∈ M を一つ定める．M の普遍被覆空間 (universal
covering) を
M := {c : [0, 1] −→ M ; 連続写像 | c(0) = x0 }/ ∼
で定める．ここで，同値関係は端点を止めるようなホモトピーによって定める．
π : M −→ M,
[c] → c(1)
により射影 π を定める．また，M の多様体の構造は次のように M の多様体の構造を誘導する．M のアトラ
ス {(Uα , ϕα )}α∈A を各 Uα が可縮になるようにとる．[c] ∈ M で c(1) ∈ Uα なるものに対し，
U[c],α := {[c♯cp ] | p ∈ Uα , cp : c(1) と p を結ぶ Uα の中の道 }
*1
部分多様体には相対位相が定まっているとは限らないので，接空間をとる場合など，慎重に議論する必要がある．
11
˜[c],α :
で定める．ここで ♯ は道の合成を表す．Uα は可縮であるから，[c♯cp ] は代表元の取り方によらない．ϕ
U[c],α → Rn を，π と ϕα の合成によって定める．M の位相は，π が局所同相になるように定める．これと
ϕ˜[c],α によって M には位相多様体の構造が定まる．
注意 41
M が C ∞ 級多様体なら，M も C ∞ 級多様体の構造を持つ．
M = G が位相群（または Lie 群）の構造を持つ場合を考えよう．このとき，基点には常に原点 x0 = e を
取ることにする．このとき，普遍被覆空間 G も次のようにして位相群（または Lie 群）の構造を持ち，射影
π : G → G は位相群（または Lie 群）の準同型になる．
■G の群構造 まず，道の積 cc′ : [0, 1] → G（合成とは異なる！）を，G の群構造を用いて (cc′ )(t) := c(t)·c′ (t)
により定める．これを用いて [c], [c′ ] ∈ G に対し，G の中の積を [c] · [c′ ] := [cc′ ] で定める．この定義は well-
defined である．定義から π は準同型になる．
集合としての一致，Ker (π) = {[c] ∈ G | c(1) = e} = π1 (G, e) が分かる．これは，[c], [c′ ] ∈ Ker (π) =
π1 (G, e) に対し，[c] · [c′ ] = [c♯e] · [e♯c′ ] = [c♯c′ ] より積が一致するので，上の集合の一致は群の同型
Ker (π) ≃ π1 (G, e)
である．ここで，e で単位元での定値のループを表した．
また，[c] · [c′ ] = [c♯e] · [e♯c′ ] = [c♯c′ ] = [e♯c′ ] · [c♯e] = [c′ ] · [c] より，次が分かった．
命題 42
位相群の基本群は Abel 群になる．
注意 43
より一般に，Ker (π) は G の中心 Z(G) に含まれる．
Lie 群の話に戻る．次の問題を考えよう．
問題 44
Lie 群 G, H と，その Lie 環 g, h に対して，
(1) Lie 群の準同型 f : G → H が局所同型であるならば，f は同型になるか？
(2) Lie 環の準同型 ϕ : g → h に対し，対応する Lie 群の準同型，すなわち f : G → H で dfe = ϕ なるもの
は存在するか？
命題 45
Lie 群の準同型 f : G → H に対し，f が局所同型であることと f が被覆写像であることは同値で
ある．
証明
被覆写像が局所同型であることは一般に成り立っている．
∼
f が局所同型であるとして，被覆写像であることを導こう．e の開近傍 U ⊂ G を f|U : U −
→ f (U ) となる
ようにとる．さらに e ∈ V ⊂ U を，V −1 = V ，V 2 ⊂ U となるようにとる．V := f (V ) とおく．
任意の y ∈ H に対し，f −1 (yV ) の連結成分に f を制限すると，これは yV との同相を与えることを示せば
良い．
f −1 (yV ) =
∪
x∈f −1 (y)
xV である．x, x′ ∈ f −1 (y), x ̸= x′ に対して，xV ∩ x′ V = ∅ がわかる．すると，
V
≃
lx
f ≃
V
/ xV
f
≃
ly
12
/ yV
より，f|xV が中への同型である．
特に，H が単連結である場合に被覆空間の分類定理から次の定理を得る．
定理 46
G, H を Lie 群，f : G → H を Lie 群の準同型とする．加えて H は単連結であるとする．このと
き，f は局所同型であるならば，f は同型になる．
以下，被覆空間に関する基本事項をまとめる．
p : (X, x˜0 ) → (X, x0 ) を被覆空間，f : (Y, y0 ) → (X, x0 ) を連続写像とする．また，Y は弧状連結
かつ局所弧状連結とする．このとき，リフト f˜ が存在するための必要十分条件は，f∗ π(Y, y0 ) ⊂ p∗ π(X, x
˜0 )
命題 47
が成り立つことである．
f˜
Y
f
?X
p
/X
証明 （概要のみ） 十分性は明らか．必要性のみ示せば良い．y ∈ Y に対し，基点 y0 と繋ぐ道 l をとる．f ◦ l
のリフト ˜
l をとって，f˜(y) := ˜l(1) と定める．これは well-defined になる．
命題 48
被覆空間 p : (X, x˜0 ) → (X, x0 ) に対して，基本群の間に定まる準同型
p∗ : π1 (X, x˜0 ) → π1 (X, x0 )
は単射になる．
証明 （概要のみ） x˜0 を両端点とするループ l に対して，p ◦ l が 0-homotopic であるならば，l が 0-homotopic
であることが示せる．
系 49 M の普遍被覆空間 M は単連結である．
π : (M , x˜0 ) → (M, x0 ) に対し，π∗ が単射であることから π∗ π1 (M , x˜0 ) = 1 を示せば良い．すなわち，
x0 を端点とする任意のループ ˜l に対して，l := π ◦ ˜l が 0-homotopic を示す．
証明
γ : I → M を，γ(t) := [lt ] で定義する．ここで lt : I → M は
{
l(s) (0 ≤ s ≤ t)
lt :=
l(t) (s ≥ t)
によって定める．γ(0) = x˜0 , γ(1) = [l], π ◦ γ = l であるので，リフトの一意性から特に
[l] = γ(1) = ˜l(1) = x˜0
であるので，l は 0-homotopic である．
系 50 p1 : X1 → X, p2 : X2 → X を被覆空間，X1 , X2 は単連結であるとする．このとき，次の図式が可換
13
∼
になるような同型 f : X1 −
→ X2 が一意に存在する．
≃
X1 B f / X2
BB
BB
p2
p1 BB
B X
定理 51
G, H を Lie 群で，g, h をその Lie 環とする．さらに G を単連結とする．このとき，Lie 環の準同型
ϕ : g → h に対し，対応する Lie 群の準同型，すなわち f : G → H で dfe = ϕ なるものが存在する．
証明
G × H を考える．グラフ
Γϕ = {(x, ϕ(x)) ∈ g ⊕ h | x ∈ g} ⊂ g ⊕ h
に対して，これを Lie 環に持つ連結部分 Lie 群 K をとる．Γϕ → g ⊕ h → g は同型なので，F : K →
G × H → G は局所同型である．よって F : K → G は G の被覆空間で G は単連結なので，F : K → G は同
F −1
p2
型である．f : G → H を，合成 G −
−−→ K → G × H −→ H によって定める．dfe = ϕ である．
系 52 同型な Lie 感をもつ単連結な Lie 群は互いに同型である．
系 53 G, H を Lie 群，G が単連結，f : G → H を局所同型写像（すなわち Lie 環の同型を拡張して得られる
写像）とする．このとき，H の基本群は G の中心に含まれる離散部分群 Γ に同型で，H ≃ G/Γ となる．
注意 54
特に G の中心が自明なら G と H は同型である．
系 55 単連結 Lie 群の有限次表現と，その Lie 環 g の有限次表現は 1 対 1 に対応する．
前節から始まってここまでが N くんの発表範囲であった．お疲れ様でした．次節からはこのノートの著者
のダラダラとした退屈な発表が始まる．みんな本当に申し訳ありませんでした．
1.3 複素 Lie 群
1.4 等質空間
1.5 Lie 群上の積分
ここからは S 君の発表範囲であった．
■Haar 測度
定義 56
位相群といったら，常に Haussdorff 性を仮定する．
X を局所コンパクト位相群 C(X) で X 上の連続関数の全体，Cc (X) をコンパクトな台をもつ連続
関数の全体とする．また，Cc+ で，コンパクトな台を持つ非負実数値関数の全体とする．Cc+ (X) ⊂ Cc (X) ⊂
C(X) である．
定義 57
X 上の測度 µ が Baire 測度でるとは，Cc+ (X) ⊂ L1 (X, µ) となるときいう．
例 58 Rn 上の Lebesgue 測度は Baire 測度である．
14
Baire 測度 µ に対し，
∫
I:
−→ R;
Cc+ (X)
f −→ I(f ) :=
f dµ (< ∞)
X
とすれば，次を満たす．
{
I(af + bg) = aI(f ) + bI(g)
(∗)
0 ≤ I(f ) < ∞
(0 ≤ a, b < ∞)
実はこのような I と Baire 測度は一対一に対応する．
事実 59
(∗) を満たす I : Cc+ → R に対し，
∫
I(f ) =
f dµ
X
となるような Baire 測度 µ が一意的に存在する．
まとめ 60
局所コンパクト位相群 X に対し，Baire 測度 µ を与えることと，(∗) を満たす I を与えることは
等価である．
定義 61（Haar 測度） G を局所コンパクト位相群，µ を G 上の Baire 測度とする．µ が左不変測度，すなわ
ち任意の g0 ∈ G に対して
∫
∫
f (g0 g)dµ(g) =
G
f (g)dµ(g)
G
が成り立つとき，µ を左 Haar 測度 (left Haar measure) という．
測度の右不変性，右 Haar 測度 (right Haar measure) も同様に定義する．
左かつ右不変であることを両側不変であるという．µ が左かつ右 Haar 測度であるとき，単に Haar 測度
(Haar measure) という．
注意 62
Haar 測度による積分は有限群における平均化の代替的な役割を果たす．有限とは限らない位相群は
∫
∑
g の元全てに渡って足し上げる操作
g∈G
を行うことができない．それで代わりとして積分
G
を考えるので
ある．有限群の表現論に多少親しみがあるならば Haar 測度の重要性はすぐ理解できるであろう．
定義 63（unimodular） 局所コンパクト位相群 G 上に Haar 測度が存在するとき，G はユニモジュラー
(unimodular) であるという．
定理 64（[5] 定理 3.8.） G を局所コンパクト位相群とするとき，G 上には左 Haar 測度と右 Haar 測度がそ
れぞれ存在する．さらに，これらは定数倍を除いて一意である．
注意 65
この定理は [5] では第三章 “行列と不変測度”の定理 3.8. で紹介されている．ここでは認めて用いる．
今後メンバーの誰かがこの定理の証明をセミナーで紹介することがあれば，ここに纏めることをお約束してお
く．ちなみに後述するように Lie 群に場合を限れば，この定理の証明は易しい．
■モジュラー関数
問題 66
G を局所コンパクト位相群，µ を G 上の左 Haar 測度とする．次の問題を考えよう．
µ はいつ右不変，すなわち Haar 測度になるか．
15
a ∈ G に対し，
∫
Ia :
Cc+
−→ R,
f −→
f (ga−1 )dµ(g)
G
とすることで G 上の Baire 測度 µa が定まる．任意の g0 ∈ G に対し，
∫
∫
f (g0 ga−1 )dµ(g)
f (g0 g)dµa (g) =
∫
G
G
f (ga−1 )dµ(g)
=
∫G
f (g)dµa (g)
=
G
より，µa も左 Haar 測度である．よって，定理 64 の後半より非負の実数 ∆(a) ∈ R>0 が存在して µa = ∆(a)·µ
となる．以上から a ∈ G に対し ∆(a) ∈ R>0 を対応させる写像
∆ : G −→ R>0
が得られた．このような ∆ は始めの µ の取り方によらず決まる．
定義 67（モジュラー関数） ∆ : G → R>0 を G のモジュラー関数 (modular function) という．
命題 68（[5] 定理 3.13.） ∆ は位相群の準同型になる．
命題 69
G がユニモジュラーであるための必要十分条件は，モジュラー関数が恒等関数 ∆ ≡ 1 となることで
ある．
証明
明らかである．
系 70 コンパクトな位相群はユニモジュラーである．
証明
∆ の像は R>0 のコンパクト部分群であるが，すぐわかるようにこのような部分群は自明なものしかな
い．すなわち ∆ は 1 への恒等関数である．
■Lie 群上の Haar 測度
局所コンパクト位相群上の左（右）Haar 測度の存在は難しい定理であるが，Lie 群
に場合を限ると簡単に構成することができる．
M を滑らかな n 次元多様体，ω ∈ Ωn (M ) を n 次微分形式とする．このとき
∫
+
I : Cc −→ R, f −→
f |ω| (density)
M
により，M 上の Baire 測度が定まる．これを d|ω| で表す．
∼
∼
次に G を n 次元 Lie 群とする．g ∈ G に対し微分同型 Lg : G −
→ G を h → gh，Rg : G −
→ G を h → hg
で定める．これは接空間の間の線形同型
∼
(Lg )∗ : Te G −
→ Tg G,
を定める．これは
L∗g :
を誘導する．ω(e) ∈
∧
n
∧
∼
Tg∗ G −
→
n
∧
Te∗ G,
Te∗ G \ {0} に対し，
16
∼
(Rg )∗ : Te G −
→ Tg G
Rg∗ :
n
∧
∼
Tg∗ G −
→
n
∧
Te∗ G
{
ωL (g) := (L∗g )(ω(e))
ωR (g) := (Rg∗ )(ω(e))
とおくことで，左不変な体積要素 ωL ∈ Ωn (G) および右不変な体積要素 ωR ∈ Ωn (G) が定まる．Haar 測度
の構成の途中であるが，副産物として特に次が分かった．
系 71 任意の Lie 群は多様体として向き付け可能 (orientable) である．
ωL と ωR を比較しよう．任意の g ∈ G に対して零ではない実数 c(g) ∈ R \ {0} が存在して
ωR (g) = c(g) · ωL (g)
となる．ωL (g) = (L∗g )−1 ω, ωR = (Rg∗ )−1 ω より，
ω = c(g)Rg∗ L∗g −1 ω = c(g)(Lg−1 ◦ Rg )∗ ω
となる．(Ig )−1 = Lg−1 ◦ Rg : h → g −1 hg, Ad(g) := (Ig )∗ : g → g であることを思い出そう．線形写像
f : V → V に対して f ∗ :
∧dim V
V →
∧dim V
V, ω → (det f )ω であるから，(Lg−1 ◦ Rg )∗ = Ad(g −1 )∗ =
(det Ad(g))−1 となる．すなわち，
c(g) = det Ad(g)
である．以上をまとめると次が分かったことになる．
命題 72
任意の g ∈ G に対し
ωR (g) = (det Ad(g))ωL (g)
が成り立つ．これから
d|ωR | = |det Ad(g)| · d|ωL |
も分かる．
1.6 コンパクト Lie 群
17
2 古典群と種々の等質空間
2.1 いろいろな古典群
2.2 Clifford 代数とスピノル群
2.3 等質空間の例 1：球面の種々の表示
2.4 等質空間の例 2：SL(2, R) の等質空間
18
3 ユニタリ群 U (n) の表現論
3.1 Wyle の積分公式
3.2 極大トーラス上の対称式と交代式
3.3 U (n) の有限次元既約表現の分類と指標公式
19
4 古典群の表現論
4.1 古典群のルート系と Weyl の積分公式
4.2 Weyl 群の不変式と交代式
4.3 有限次元既約表現の分類と指標公式
20
5 ファイバー束と群作用
5.1 ファイバー束と切断
5.2 ベクトル束と主ファイバー束
5.3 主束に同伴するファイバー束
5.4 群作用と切断
5.5 G-不変な切断
21
6 誘導表現と無限次元ユニタリ表現
6.1 Frobenious の相互律
6.2 無限次元表現の構成
22
7 Weyl のユニタリ・トリック
7.1 複素化と実形
7.2 Weyl のユニタリ・トリック
7.3 等質空間におけるユニタリ・トリック
23
8 Borel-Weil 理論
8.1 旗多様体
8.2 Borel-Weil の定理
8.3 Borel-Weil の定理の一般化
24
付録 A
Peter-Weyl の定理
A.1 Peter-Weyl の定理
A.2 有限群論への応用
25
付録 B
代数幾何学的な補足
この節ではこのノートの著者の趣味に基づき，代数幾何学的観点から補足を加えていく．このノートの著者
の専門は代数幾何学である．Lie 群は滑らかな多様体のカテゴリーにおける群対象であったが，同様に代数群
というものを代数多様体のカテゴリーにおける群対象として定義することができる．Lie 群の理論と代数群の
理論は多くの部分で類似し，あるクラスにおいては完全に一致する．複素代数群は滑らかな複素代数多様体で
あると思えて複素 Lie 群になるし，さらに構造を忘却すれば偶数次元の実 Lie 群と思うことができる．代数多
様体間には局所的に多項式写像であるような射を考えるが，多項式写像は正則写像なので，これは複素多様体
の間の写像であると思える．しかし，この逆は全く成り立たないので，複素代数群のクラスは射の関係まで含
めて複素 Lie 群のクラスより真に小さい．複素解析的には可能なことが代数多様体のカテゴリーの中では行う
ことができなかったり，代数多様体に対しては真である命題が，複素多様体のカテゴリーまでいくと反例が
あったりする．よって，複素 Lie 群の一般論と代数群の理論を関連づけるときには十分な注意が必要である．
また，正標数の体上に定義された代数群を考えることも可能である．しかし，この場合は微分を考えることの
難しさなどから複素の場合とは大きく乖離する箇所がいくつも現れる．この節を書くにあたっては，[3], [1],
[13] を大いに参考にした．
B.1 代数群とその有理表現
B.2 第 1.4 節 “等質空間”への補足
B.3 第 1.5 節 “Lie 群上の積分”への補足
第 1.5 節では，Lie 群上の Haar 測度について議論した．Haar 測度の前段階として Baire 測度というものを
考えたが，これは
I : Cc+ (X) −→ R
∫
f −→ I(f ) :=
f dµ (< ∞)
X
で，次を満たすものに対応していた．
{
I(af + bg) = aI(f ) + bI(g)
(∗)
0 ≤ I(f ) < ∞
(0 ≤ a, b < ∞)
左 Haar 測度はこの I に左不変性を付け加えたものに対応する．これを代数幾何的に定式化すると次のよう
にするのが妥当である．
定義 73（不変積分） G を代数群，A(G) を G の座標環，L : G
A(G) を左正則表現とする．このとき，線
形写像
I : A(G) −→ C
であって，次の条件を満たすものを G の不変積分 (invariant integral) という．
(1) 左不変である．すなわち任意の f ∈ A(G) と g ∈ G に対し，I(Lg (f )) = I(f ) となる．
(2) I(1) = 1 となる．
26
参考文献
[1] 岡田 聡一, “古典群の表現論と組合せ論 上・下”, 数理物理シリーズ 3・4, 培風館, 2006.
[2] A. Hatcher, “Algebraic Topology”, Cambridge University Press, 2001.
[3] J. E. Humphreys, “Linear Algebraic Groups”, GTM 21, Springer, 1981.
[4] J. C. Jantzen, “Representation of Algebraic Groups”, Academic Press.
[5] 小林 俊行, 大島 利雄, “リー群と表現論”, 岩波書店, 2005.
[6] 松島 与三, “多様体入門”, 数学選書 5, 裳華房, 1965.
[7] 森田 茂之, “微分形式の幾何学”, 岩波講座「現代数学の基礎」, 岩波書店, 2005.
[8] D. Mumford, J. Fogarty, F. Kirwan, “Geometric Invariant Theory”, Third Enriched Edition,
Springer, 1992.
[9] S. Mukai, “An Introduction to Invariants and Moduli”, Cambridge Studies in Advanced Mathematics
81, Cambridge University Press.
[10] N くん，“基本群の基礎”，都内数学科学生集合会誌「数学のなかま」第 54 号，P109 ∼ P125．
[11] S くん，“基本群と被覆空間”，都内数学科学生集合会誌「数学のなかま」第 55 号掲載予定．
[12] J. P. Serre, “有限群の線形表現”, (岩堀長慶, 横沼健雄 訳), 岩波書店, 1974.
[13] 谷崎 俊之, 堀田 良之, “D 加群と代数群”, シュプリンガー現代数学シリーズ 6, シュプリンガー・フェア
ラーク東京, 2005.
27