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統計学 LEC 8 付録
平均についての仮説検定（Ｚテスト、ｔテスト）
1. 平均についての検定 H0: 
H0 が正しければ X ~ N(0,2/n),
Z0 = ( X -0)/SE( X )~ N(0,1) (Z検定)
2. 割合についての検定 H0: P = P0
H0 が正しければ Pˆ ~N(P0,P0(1-P0)/n), Z0 = ( Pˆ -P0)/SE( Pˆ )~ N(0,1)
(Z検定）
3. ２つの平均の差についての検定 H0: 1 = 2
２つのｸﾞﾙｰﾌﾟの平均
X1 ~ N --> X 1 ~ N(/n1)
X2 ~ N --> X 2 ~ N(n2) -->
H0が正しければ、1-2=0
X 1  X 2 ~ N(n1 + n2)
X 1  X 2 ~ N(/n1 + n2) のはず。 Z0 =( X 1  X 2 )/SE( X 1  X 2 ）~ N(0,1) (Z検定)
4. ２つの割合の差についての検定 H0: P1 = P2
Pˆ1 ~ N(P1,P1(1-P1)/n1)
Pˆ2 ~ N(P2,P2(1-P2)/n2) --> Pˆ1  Pˆ2 ~ N(P1-P2, P1(1-P1)/n1 + P2(1-P2)/n2)
H0が正しければ、P1 = P2 = P (未知)
Pˆ1  Pˆ2 ~ N(0,P(1 - P)(1/n1 + 1/n2)
Pの推定値 : Pˆ = ( n1 Pˆ1  n2 Pˆ2 ) /( n1  n2 )
ˆ P2ˆ  Pˆ  Pˆ (1  Pˆ )(1/ n1  1/ n2 )
分散の推定値:
1
2
Z0 = ( Pˆ1  Pˆ2 ) / ˆ Pˆ  Pˆ ~ N(0,1) （Z検定）
1
2
5. 小標本法（ｔﾃｽﾄ）正規分布でが未知、標本数(n)が少ない場合。
5.a 平均の検定 H0:  = 0 (n < 30)
X ~ N(/n)
t0 = ( X   0 ) /( S / n)) ~ t分布, 自由度n-1 (t検定)
5.b ２つの平均の検定 H0: 1 = 2 (n1 + n2 < 30, )
X 1  X 2 ~ N(, 12/n1 + 22/n2) = N((1/n1 + 1/n2))
S2 = {(n1-1)s12+(n2-1)s22}}/(n1+n2-2)
t0 = ( X 1  X 2 ) /( S / 1/ n1  1/ n2 ) ~ t分布、自由度 n1 + n2 - 2 (t検定)
1
統計学 LEC 8 付録
仮説検定-数値例
TU
標本数 平均
標本標準偏差
n1 = 40 X1 = 70 S1 = 16
IU
n2 = 150 X 2 = 60 S2 = 20
有意度 5%
Z0.05 = 1.645,
パス率
Pˆ1 = .90
Pˆ = .80
2
標準誤差
SE = 16/√40 = 2.53
SE = 20/√150 = 1.63
Z0.025 = 1.960
1. 平均の検定 (H0: = 0)
H1: <75 (片側検定)
 =16 (既知)
TU
H0: =75
Z0 = (X-0)/SE = (70-75)/2.53 = -1.97 < -Z0.05。 H0 を有意度 5%で棄却
2. 割合についての検定(H0:P = P0)
H1: P  0.85 (両側検定)
TU
H0: P=0.85
SE = √P0(1-P0)/√n = √0.85x0.15/√40 = 0.0564
Z0 = ( Pˆ -P0)/SE = (0.90-0.85)/0.056 = 0.892、|Z0|< Z0.025 H0 を有意度 5%で受容
3. ２つの平均の差についての検定(H0:1 = 2)
H0: = 
H1 :     
SE( X1 - X 2 ) = √162/40 + 202/150 = 3.01
Z0 = ( X1 - X 2 )/SE = (70-60)/3.01 = 3.32 > Z0.025 。H0 を有意度 5%で棄却
4. ２つの割合の差についての検定
H0: P1 = P2 (P1-P2 = 0), H1 : P1  P2 (P1-P2  0)
Pˆ = (.90x40+.80x150)/(40+150) = 156/190 = .821
SE( Pˆ1 - Pˆ2 ) = √(0.821 x 0.179)(1/40 + 1/150) = 0.068
Z0 = ( Pˆ1 - Pˆ2 )/SE = (.90 - .80)/0.068 = 1.47。|Z0| < Z0.025。H0 を有意度 5%で受容
5.a
IU
小標本
H1: <75 (片側検定)
 は未知、推定値 S =16
H0: =75
自由度は 40-1=39 t 分布の限界値は t0.05=1.686
SE は 16/√40 = 2.53
t0 = (X-)/SE = (70-75)/2.53 = -1.97 < -t0.05。 H0 を有意度 5%で棄却
2