1. No category

http://mcobaya.web.fc2.com/karato.htm
2014 年 10 月 22 日
を引く。)p.106 の自由度の説明はうまい（厳密ではないが）
練習：
クラスサイズと成績
econ/TIMSS_xls/japan0.xlsx
1．「分析ツールによる回帰分析」
Excel2013 での分析ツールのインストール
2．散布図（直線近似）
ファイル=>Excel の option=>設定＝＞アドイン=>分析ツー
ルに印=>OK
□直線
1.
の隅に黒い■。
リボン「データ」の下に「データ分析」が出現
Y t



Xt のあてはめに
表のグラフをクリックし、アクティヴにする。グラフ
2.
「グラフツール」「レイアウト」「近似曲線」「その他
表 3-1 (p.95)をやってみましょう（第 3 章）
の近似オプション」
「線形近似」、グラフに数式表示」、
http://www3.u-toyama.ac.jp/kkarato/2014/econometrics/data/chap2-econometrics.xlsx
「グラフに R2 表示」を印づけ、「OK」
のデータを入手し、を開く。今度はラベルと残差にチェックを
いれて、レベルも範囲に含める。下の入力範囲参照。残差にチ
ェックをいれると予測値と残差が出力される。
下の分析ツールでの推定式に一致することを確認
決定係数はあてはまりの良さを測る尺度です。R2 ともよばれ
ます。多くの時系列データ(time series data)（複数時点
の単一調査対象）は集計データがおおいので雑音が相殺され、
あ て は ま り が よ い も の が お お く ， 横 断 面 デ ー タ (cross
section data)（同一時点、複数調査対象）のうち個票デー
タ（集計前データ）はがノイズが大きく。あてはまりが悪いか
ら悪いモデルというわけではない。
p.104
証明: a,b を係数の最小自乗推定量, ut を残差とすると
それぞれの係数の意味を述べ、直感的に説明できるようにしよ
Σ(Yt-my)2=Σ(Yt-my)2=Σ(a+bXt +ut -my)
う。
=Σ(a+bXt -my)2 +Σut2+2Σut(a+bXt -my)
Y は被説明変数、X は説明変数
ここで Σut=0, ΣutXt =0 を使うと、
教科書 96 の公式の理解の仕方
Σut(a+bXt -my)＝aΣut+bΣutXt -Σutmy=０なので
傾きは
共分散÷X（説明変数）の分散
第三項は０になる。したがって、
切片は
直線が X の平均と Y の平均を通る
ように決定
実績値の変動＝予測値（理論値）の変動+残差の変動
理論値の合計と実績値の合計は一致する。（p.98）
が導かれる。教科書 p.105 (3.15)の公式
残差の合計は 0（p.99）
R2＝Σ(a+bXt -my)2/Σ(Yt-my)2 より
残差と説明変数の積和は 0 (p.100)
ここからもう一つの R2 の定義
R2＝1-Σut2/Σ(Yt-my)2
残差平方和
も容易に導出できる。
p.102
理論値の分散（変動）÷実績値の分散（変動）
自由度はサンプルサイズー未知の回帰係数の数（単回帰では２）
実は相関係数の自乗が R2 になっている。
残差分散=残差平方和÷自由度で定義される。
□Yt



Xt のあてはめにおいて
－
（R2＝１
残差平方和／∑t=1n ( YtY )2
なぜ N でわらないのか。N で割ると小さくなりすぎる。N-2 で
割ると分散が平均的に正しく推定できる。
…あてはまりの
悪さの尺度
非線型式の回帰分析
残差分散は p.１０６ で示す。残差の平均＝０に注意。分母は
線形でない関係式も変換により線形になる
自由度 (単回帰において残差の自由度はサンプルサイズから 2
１）ベキ関数（生産関数に用いられる）両対数モデルとも呼ぶ
1
ln(y)=-0.388+1.088×ln(x)
1) ln(x)が 0.0１増加すると、ln(y)が 0.01088%増
加する
2) ln(x)の増分は x の増加率
3) ｘが 1%増加すると、y が 0.01088%
4) 比例関係より y が速く増加する。
（比例は x が 1%増
えると y も 1%増える）
5) これは経済学では弾力性（男性値）という。
半対数モデル
ln(y)=-0.388+0.021×x
ｘが１増えると ln(y)が
0.021 増加。y は 0.021(2.1%)増加する。X が年なら
ば年率 2.1%
2
2014 年 10 月 29 日（水曜日）あす 30 日（木曜日）は
=Mina,b,cΣ(Yt-a-bXt-cZt-dWt)2
金曜日の講義の日なので開講します。10 月 31 日は休講
<= Mina,b,c,d=0Σ(Yt-a-bXt-cZt-dWt)2
=Mina,bΣ(Yt-a-bXt-cZt-)2
多重回帰分析
3.3
=重回帰(k=2)回帰の残差平方和
となり、残差平方和は説明変数を追加するとかなら
多重回帰分析
ず小さくなる。
表 3.11
取引価格=57.13+0.35×駅までの時間－3.82×面積
決定係数のもう一つの定義：
同じ面積ならば
R2=1-残差平方和/ｙの変動
面積が一定のとき、面積が一分ふえると価格が 0.35 増
ｙの変動＝Σ(Yt-ｍy)2
加する。
最小二乗推定量 a,b に対し、この関係式は
面積が一定のとき、徒歩時間が一分ふえると価格が
Σ(Yt-ｍy)2=Σ(Yt-a-bxt+ a+bxt-ｍy)2
3.82 下落する。
=Σ(Yt-a-bxt)2
+2Σ(Yt-a-bxt) ( a+bxt-ｍy)
最小自乗推定量の導出は偏微分で行う。
+Σ( a+bxt-ｍy)2
V=Σ(Yt-a-bXt-cZt)2 を a で偏微分して０とおく
第一項は残差平方和
と
第二項は残差の性質から 0 なので
0=2Σ(-1)(Yt-a-bXt-cZt)
最初の決定係数の定義
V=Σ(Yt-a-bXt-cZt)2 を b で偏微分して０とおく
R2=Σ( a+bxt-ｍy)2 /Σ(Yt-ｍy)2
と
は
0=2Σ(-Xt)(Yt-a-bXt-cZt)
R2=[Σ(Yt-ｍy)2-残差平方和]/Σ(Yt-ｍy)2
V=Σ(Yt-a-bXt-cZt)2 を b で偏微分して０とおく
=1-残差平方和/Σ(Yt-ｍy)2
と
と変形できる。これは二番目の定義
0=2Σ(-Zt)(Yt-a-bXt-cZt)
未知係数は a,b,c、方程式は３つ。未知係数一つに
したがって、決定係数は説明変数を追加すると、
ついて１つあるので、この連立方程式は未知係数に
かならず大きくなる。だから、単純回帰と重回帰
ついて原則解ける。明示的な公式を一般的に導くに
の比較、変数の追加前と追加後の重回帰モデルの
は線形代数の知識が必要。
比較には決定係数は使えない。
p.132 残差のルール 1）残差ベクトルは説明変
数ベクトルと直交する(1,…,1)
アイデア：決定係数を修正し、残差平方和が大き
2）残差の総和は 0
く減少したときは、大きくなり、残差平方和の減
少が小さいときはは小さくなるようにしよう。
重回帰と単回帰の関係
K を定数項(切片 a のこと)を含む説明変数の数と
どちらを選ぶべきか。
すると、
自由度修正済み決定係数
重回帰の残差平方和=Mina,b,cΣ(Yt-a-bXt-cZt
<= Mina,b,c=0Σ(Yt-a-bXt-cZt)2
=Mina,bΣ(Yt-a-bXt
)2=単純回帰の残差平方和
)2
自由度修正済み決定係数
= 1-
[残差平方和÷(m-K)]÷[変動÷(n-1)]
K が増加すると、残差平方和は減少するが、m-K、
も小さくなり、残差平方和÷(m-K)の増減は不定。
説明変数の数 k(説明変数 Wt)を増やすと
あてはまりを大幅に改善するような説明変数の追
重回帰(k=3)の残差平方和
加は自由度修正済み決定係数を大きくする。
3
P．135 定数項のない回帰式（かならず原点を通る）
例：差分をとった式（あまり意味はない）
多重共
4
5