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プラズマ工学特論
九州工業大学電気工学科
趙孟佑
No.7
∼プラズマ生成の基礎∼
1
α作用（電子なだれ）
電子
陰極
z=0
紫外線
中性ガス
イオン
陽極
z=d
陰極から初期電子が放出される
（方法は何でもよいが、普通は紫外線とか宇宙線）
2
α作用（電子なだれ）
電子
イオン
α作用（電子なだれ）
陰極
陽極
中性ガス
z=d
z=0
電子1個が単位距離を進む間に起こす電離衝突の回数=α (m-1)
zでの電子のフラックスΓe dΓ e
積分して、
dz
= αΓ e
Γ e (z) = Γ eo exp(α z)
4
電離係数α
陰極
陽極
A
z=d
z=0
V
電極間の電界V/dを保ったまま、距離dとVを変化させて、電流を
測定すると、電流は距離dに指数関数的に依存する。
I = I o exp(α d)
係数αを電離係数という
5
電離係数α
これらの線の傾きから電離係数αを
もとめた
log10I
電界大
電界小
距離d
電離係数αは電極間の平均電界と中性ガス密度（圧力）に依存する
6
電離係数α
電離エネルギー eΦi
Φiはエレクトロンボルトでの値
電子は電界Eの方向に衝突無しでz進むとeEzのエネルギーを得る
電離エネルギーを得るのに必要な走行距離
eφi φi
zo =
=
eE E
距離zoを進んだ後で衝突すれば必ず電離を起こすと仮定する。
自由行程がzoより長い電子の数の全体に対する割合
⎛
Ne
φi ⎞
= exp ⎜ −
⎟
No
⎝ λmfp E ⎠
7
衝突
電子ビーム
x
•
•
電子が同一の速度vでビームを構成していると仮定
分子と衝突すると、速度vを失ってビームから離脱する
•
dx進む間のビームを構成する電子の数の変化は
dN e = −N e nσ dx
一個の電子が衝突する確率
8
衝突
電子ビーム
x
• x=0で電子の数をＮ0とすると
dN e
= −N e nσ
dx
N e = N o exp (−nσ x )
9
平均自由行程
• 電子ビームが散乱されずに残る数
⎛ x ⎞
N e = N o exp ⎜ −
⎟
⎝ λmfp ⎠
こういう式でかけるものをポアッソン過程と呼ぶ
1
0.8
e
N /N
0
0.6
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5
2
x/λ
2.5
3
3.5
10
電離係数α
電子が単位長さ進む間の衝突の回数
1
λmfp
自由行程がzoより長い電子の数の全体に対する割合
⎛
Ne
φi ⎞
= exp ⎜ −
⎟
No
⎝ λmfp E ⎠
電子1個が単位長さ進んで衝突する回数の内、電離になる回数
同じ意味
1
λmfp
⎛
φi ⎞
× exp ⎜ −
=α
⎟
⎝ λmfp E ⎠
11
電離係数α：電子1個が単位距離を進む間に起こす電離衝突の回数
実効電離係数α/Nn
平均自由行程はガス密度Nnに比例
1
λmfp
⎛
φi ⎞
=α
× exp ⎜ −
⎟
⎝ λmfp E ⎠
λmfp
1
=
N nσ
代入
α
⎛ φiσ N n ⎞
= σ exp ⎜ −
⎟⎠
⎝
Nn
E
⎛
φiσ ⎞
= σ exp ⎜ −
⎟
Nn
E
/
N
(
)
⎝
n ⎠
α
⎛
B′ ⎞
= A′ exp ⎜ −
⎟
Nn
E
/
N
⎝ (
n )⎠
電離係数をガス密度でわった
実効電離係数は実効電界
（換算電界）の関数
α
12
実効電離係数α/p
⎛
B′ ⎞
= A′ exp ⎜ −
⎟
Nn
E
/
N
⎝ (
n )⎠
α
昔（1930年代）は、密度の代わりにガス圧力(Torr)で表すのが普通だった
p = N nκ T
⎛
B ⎞
= A exp ⎜ −
p
⎝ (E / p )⎟⎠
α
実験で求めた電離係数を結構よく近似する
13
実効電離係数α/p
Ionizat ion
coefficient
of
wat er
vapor
100
T=300 K
α/p
10
(1/cm/Torr)
1
Monte-Carlo Code
Ryzko
Risbud and Naidu
0.1
0
10
100
E/p
1000
(V/cm/Torr)
14
γ作用
陰極
イオン衝突による
二次電子の放出
z=0
陽極
z=d
電離衝突でできた正イオンが電界で加速されて陰極に衝突
衝突時のエネルギーで陰極から電子を放出する
⇒
二次電子放出
15
γ作用
陰極
イオン衝突による
二次電子の放出
z=0
陽極
z=d
（イオン衝突）２次電子放出係数：
γi
一個のイオンが衝突してでてきくる電子の数
入射イオンの種類、エネルギー、入射角、陰極材料に依存
16
γ作用
陰極
イオン衝突による
二次電子の放出
陽極
励起された原子からの
紫外線による光電子
準安定励起原子からの
電子放出
z=d
z=0
励起された原子からの紫外線による光電子 γp
準安定励起原子からの電子放出 γm
γ作用
γ =γi +γ p +γm
正イオン一個に
換算した値
17
タウンゼント放電（火花放電）
紫外線
中性ガス
陰極
z=0
陽極
z=d
陰極から放出された一個の電子から始って、電子の数が次々に
増えていき、最後には過大な電流が流れるようになって、
放電に至る条件
18
タウンゼント放電（火花放電）
陰極から最初に出る電子のフラックス
Γo
陽極に到達した時の電子のフラックス
Γ o exp(α d )
電極間で増加した電子のフラックス
Γ o eα d − Γ o
陰極に衝突するイオンのフラックス
Γ o eα d − Γ o
（イオンは電離により作られるため、電子の増加分と等しい）
陰極に衝突するイオンのγ作用により
放出される電子のフラックス
Γ1で放出された電子により作られた
イオンによる放出される電子のフラックス
(
= γΓ (e
)
− 1)
Γ1 = γΓ o eα d − 1
Γ2
αd
1
19
タウンゼント放電（火花放電）
陰極に衝突するイオンのγ作用により
放出される電子のフラックス
Γ1で放出された電子により作られた
イオンによる放出される電子のフラックス
(
Γ n = γΓ n −1 e
αd
)
(
− 1 = Γ o ⎡⎣γ e
αd
(
= γΓ (e
)
− 1)
Γ1 = γΓ o eα d − 1
Γ2
)
− 1 ⎤⎦
αd
1
n
γ (eα d − 1) が1以上なら、紫外線等が外部から来なくても、
最初の1個の電子だけで電流が持続する。
γ (eα d − 1)= 1
20
タウンゼント放電（火花放電）
γ (eα d − 1)= 1
⎛1 ⎞
α d = ln ⎜ + 1⎟
⎠
⎝γ
タウンゼントの火花条件式
電離係数がこれより大きくなると、電流がどんどん増えて、最
終的に放電(火花放電、Spark-over）に至る
21
パッシェンの法則
実効電離係数
⎛
B ⎞
= A exp ⎜ −
p
⎝ (E / p )⎟⎠
α
をタウンゼントの火花条件式に代入
⎛1 ⎞
α d = ln ⎜ + 1⎟
⎠
⎝γ
⎛
⎛1 ⎞
B ⎞
pA exp ⎜ −
d = ln ⎜ + 1⎟
⎟
⎝γ
⎠
⎝ (E / p )⎠
放電発生電圧（火花電圧）をVsとする
E = Vs / d
代入
22
パッシェンの法則
⎛
⎛1 ⎞
B ⎞
pA exp ⎜ −
d = ln ⎜ + 1⎟
⎟
⎝γ
⎠
⎝ (E / p )⎠
⎛
B ⎞ 1 ⎛1 ⎞
= ln ⎜ + 1⎟
pd exp ⎜ −
⎟
⎠
⎝ (Vs / pd )⎠ A ⎝ γ
⎛ 1 ⎛ 1 ⎞⎞
B
ln ( pd ) −
= ln ⎜ ln ⎜ + 1⎟ ⎟
(Vs / pd ) ⎝ A ⎝ γ ⎠ ⎠
⎛
⎞
⎜
⎟ Bpd
A
⎟=
ln ( pd ) + ln ⎜
Vs
⎜ ⎛1 ⎞⎟
⎜ ln ⎜⎝ γ + 1⎟⎠ ⎟
⎝
⎠
E = Vs / d
代入
両辺対数とる
整理して
23
パッシェンの法則
⎛
⎞
⎜
⎟ Bpd
A
⎟=
ln ( pd ) + ln ⎜
Vs
⎜ ⎛1 ⎞⎟
⎜ ln ⎜⎝ γ + 1⎟⎠ ⎟
⎝
⎠
整理して
Bpd
Vs =
ln ( pd ) + C
ここでCは定数
⎞
⎛
⎟
⎜
A
⎟
C = ln ⎜
⎜ ⎛1 ⎞⎟
⎜ ln ⎜⎝ γ + 1⎟⎠ ⎟
⎠
⎝
24
パッシェンの法則
Bpd
Vs =
ln ( pd ) + C
圧力pのガスで満たされた距離dの電極間に直流電圧を
かけた時の放電電圧は、圧力と距離の積に依存する
定数Bはガスの種類で決まり、定数Cはガスの種類と
電極の材料で決まる。
25
パッシェン曲線
Bpd
Vs =
ln ( pd ) + C
Vs
低い程、放
電しやすい
最小値をもつ
Paschen Minimumと呼ばれる
Pashcen 曲線
pd
衝突が起きにくい
衝突が多すぎて、電子のエ
ネルギーが高くならない
26
パッシェン曲線
Paschen Minimumは大体0.1~10Torr・cmの間で、
200~400V程度にある
27
パッシェン曲線
放電は、いつも一番近いところで起きるとは限らない
28
高周波放電
• 高真空（中性ガスとの衝突が殆どない）
– マルチパクタ放電
• 電子の極板間の移動時間＝半周期
• 中真空（平均自由行程<電極間距離）
– RF(Radio Frequency)放電
• 電子の極板間の移動時間＞半周期
29
マルチパクタ放電
電極 A
時刻 t1
時刻 t3
t1に電極Aを出た電子
t2に対向する電極Bに衝突
f
電極Bの極性が正に反転
時刻 t2
電極 B
電子は逆方向へ加速
電極 A、+
電極Aに衝突
t2
t3
t1
電極 B、+
Time
電子放出
30
マルチパクタ放電
電極 A
時刻 t1
時刻 t3
f
時刻 t2
電極 B
• 電子が極板の間を進む時間が半周期に相当する時、
電界から最大のエネルギーを得る
• 極板に衝突する1個の電子が1個以上の２次電子を
放出する
31
高周波中の電子の動き
f
d
• 電子は外部からの電界により加速されるが、電極に
到達する前に電界の方向が反転するので、電極に到
達できない
電子の運動方程式
m
dv
= −ν c mv + eEo sin ω t
dt
衝突による運動量損失
外部高周波電界
32
高周波中の電子の動き
電子の運動方程式
dv
m = −ν c mv + eEo sin ω t
dt
• 電子の速度も同じ周波数ωで変動すると仮定
• フェーザと同様に考えて
速度vのフェーザ表示
Ve− jω t
外部電界Eのフェーザ表示 Ee− jω t
dv
m = −ν c mv + eEo sin ω t
dt
mjωV&= −ν c mV&+ eE&
eE&
V=
m ( jω + ν c )
33
高周波中の電子の動き
eE&
V=
m ( jω + ν c )
衝突が無いとき
eE&
V≈
jmω
電子の速度は電界とπ/2位相が
ずれる
電子電流もフェーザ表示する
je = ene v
⇒
& − jω t
Je
e2 ne E&
J=
m ( jω + ν c )
電子により消費される電力は単位体積あたり
p = je E
34
高周波中の電子の動き
e2 ne
− jω + ν c &
e2 ne E&
e2 ne − jω + ν c &
E=
J=
=
E
2
2
2
2
2
2
m ( jω + ν c ) m ω + ν c
m ω + νc ω + νc
ν
E
θ
θ
J
− jω + ν c
ω
ω 2 + νc2
実効電力と同じように考えて、一周期平均をとった消費電力は
1 & &
P = J E cosθ
2
J ==
e2 ne
m ω 2 + νc2
E&,
cosθ =
νc
ω 2 + νc2
νc
1 e2 ne
2
P=
E
o
2 m ω 2 + νc2
より
E = Eo
35
高周波放電の条件
単位体積あたりに電子により吸収されるエネルギー
1 e2 ne
νc
2
P=
E
o
2 m ω 2 + νc2
電子一個あたりは、neでわって、
e2
νc
2
E
o
2m ω 2 + ν c 2
(A)
プラズマが生成されている領域の代表的な長さ Λ
拡散により、プラズマ生成領域から電子がなくなるのかかる時間
Λ2
Da
両極性拡散係数
36
拡散方程式の解
N
n(x,t) = 01
2π
π
⎛ x2 ⎞
exp ⎜ −
Dt
⎝ 4 Dt ⎟⎠
-3
density (m )
3
t=0.01s
t=0.1s
t=1s
t=5s
2
1
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
x (m)
N01=1 (m-2),D=1m2/sの時の拡散の様子
37
拡散方程式の解
N
n(x,t) = 01
2π
π
⎛ x2 ⎞
exp ⎜ −
Dt
⎝ 4 Dt ⎟⎠
粒子密度の分布は、exp項の値でほぼ決まる
x2
4Dt
が同じところは、密度もほぼ同じ
密度の拡がる領域は
x ≈ Dt
時間の1/2乗で拡散により密度がひろがっていく
38
高周波放電の条件
拡散により、プラズマ生成領域から電子がなくなるのかかる時間
Λ2
Da
プラズマが維持されるには、この拡散による損失に均衡する
新しい電子が電離衝突により産まれないといけない。
電子一個が電離衝突でできるのにかかる時間は
1
ν ion
νionは電離周波数
よって、
1
Λ2
=
Da ν ion
(B)
39
高周波放電の条件
電子一個により、電離衝突が起きるまでに吸収されるエネルギーは
(A)式を使って、
e2
νc
1
2
E
×
o
2m ω 2 + νc2
ν ion
νionに(B)式を代入する
2
e2
νc
2 Λ
Eo
2
2
2m ω + νc
Da
放電が起きるためには、このエネルギーが電離エネルギーeΦionよりも
大きくないといけない
2
e2
νc
Λ
2
E
> eφion
o
2
2
2m ω + νc
Da
Da
eEo 2
νc
> 2
2
2
2mφion ω + ν c
Λ
高周波放電の維持条件
40