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日本機械学会［No.147-1］北陸信越支部 第51期総会・講演会 講演論文集 [2014.3.8 富山県射水市] 0801
分子動力学法による異原子バンプと基板の界面特性評価
Evaluation of interface properties between a bump of different atom
and substrate using molecular dynamics
○ 平澤 勇気（長岡技科大院） 正 古口 日出男（長岡技科大）
Yuki HIRASAWA, Graduate School of Nagaoka University of Technology, 1603-1 Kamitomioka, Nagaoka, Niigata
Hideo KOGUCHI, Nagaoka University of Technology, 1603-1 Kamitomioka, Nagaoka, Niigata
Key Words: Molecular Dynamics, Interface, Elastic constants, Interface stress 1. 緒言 本研究では,分子動力学法を用いてナノメートルの異方
性異材接合体の界面特性および界面端部の特異応力場の特
性について調べる.二つの異なる材料からなる異原子バン
プと基板の接合体における原子応力の分布を調べ,界面上
の原子応力分布と Stroh 形式を用いた特異性オーダの解析
との比較を行う. 2. 分子動力学法 本研究では分子動力学(MD)法を用いて解析を行う.MD
法では原子の動きを以下のようなニュートン運動方程式に
より求める. ∂E α
m a = F = αβ
∂γ
α
α
α
1 ∂2 Eα
,
Ωα ∂εij∂ε kl
σ ijα =
a ∂γ a
,
Ωα ∂εij
α
dijkl
=
a ∂2γ a
Ωα ∂εij∂ε kl
(3)
ここで，a はレイヤー厚さである.
4. 界面特性を考慮した特異性固有値の算出方法 異材界面角部の特異応力場は,角部の特異点を原点とし
て,特異点からの距離 r とすると次式で表される．
{
τ xy = k xy r − λΙ − ( L − r )
− λΙ
}
(4)
ここで，k
xy は応力集中の大きさを示すスカラー, λΙ は特
異性のオーダ,L は界面の長さである． 次に,界面特性を考慮した特異性固有値 λ は以下のよう
に求められる (3)．K は材料定数と角度から成る 6×6 の行列
!
−1 #
G 2(2) #
#"
+
)
−1
, = !"G1(1)G1(0)
)
-
$ !
& # A2
&−
1−
λ
−1+
λ
pˆ*1 (θ1 ) pˆ*1 (θ 0 ) & #" B 2
%
$$
1−λ
−1+λ
pˆ*2
(θ1 ) pˆ*2
(θ 2 )
0
&&
&&
1−
λ
−1+
λ
0
pˆ*2 (θ1 ) pˆ*2 (θ 2 ) &&
%%
0
$
A2 &
B 2 &%
(5)
'
' 0 )
+
) p* +
) )
(
,=(
,
)
)
0
) 0 )
*
- *
ここで，p*は変位の固有ベクトル，<>は 3×3 の対角行列，
Ak と Bk は Stroh 固有ベクトルによって与えられる材料 k の
行列，p*k は Stroh の固有値，¯は共役複素数を表す (4)．θi は
図 1 における角度を表す．Gk(s)は 6×6 の行列であり式(6)で
定義される． "
%
A Ak ' )
0 %
, " 0
H
' (6)
G k (s) = Ωk $ k
− + H10 − 21s λ . Ωk $
$ Bk Bk ' *
 - $# A k A k '&
#
&
ここで，  は応力場の代表寸法であり，本研究では 1nm と
する．Ωk, H10k, H21k は次式となる．
# cosθ
%
Ωk = % −sin θ
% 0
$
! k (a)
# d1111i
1
H10 k = # 0
 # k (a)
#" d3111i
1 ∂Eα
(2) Ωα ∂εij
ここで,Ωα は原子 α に対するボロノイ多面体の体積であり,
εij はひずみテンソルである.原子レベルの界面応力 τ ijα ,原
α
子界面弾性係数 dijkl
は,界面エネルギ γ α を界面ひずみで微
分した次式で得られる. τ ijα =
! K K $'
) *
1
2
&( p
K =#
#" K 3 K 4 &%)
* 0
!
1−λ
−1+λ
# pˆ*1 (θ1 ) pˆ*1 (θ 0 )
#
0
#"
(1) α は原子 α の原子質量,
aα は原子
α の加速度,
ここで,m
Fα は
α
原子 α に加わる力, E は原子 α のもつポテンシャルエネル
ギ, γ αβ は原子 α,β 間の距離を表す.
本研究では式(1)のポテンシャルエネルギに GEAM ポテ
ンシャル (1)を用いた. 3. 原子界面応力,界面応力,界面弾性係数 原子レベルの不連続構造体における有効な弾性係数とし
α
て原子弾性係数 Cijkl
,原子応力 σ ijα がある.原子弾性係数,原
子応力は式(2)で表される (2). α
Cijkl
=
であり，次式で求める． H 21k
! k (a)
# da1111i
=# 0
#
k (a)
# da3111i
"
sin θ
cosθ
0
0
0
1
&
(
( (
'
k (a) $
0 d1131i
&
0
0 & k (a) &
0 d3131i
&%
0
τ
k (a)
a11i
0
$
k (a)
da1131i
&
0 &
&
k (a)
& da3131i
%
(7)
(8)
(9)
式(3)より得られる原子レベルの界面応力 τ ijα ，原子界面弾
α
性係数 dijkl
を用いて，式(8),(9)は求められる．次式を解くこ
とで，特性異固有値 λ を求める． K 3 p* = 0,
K 3 = 0 (10) 6・ 2 固有値解析結果と MD 法における界面上の応力比較
開き角 70°において, 6・1 節より得られた結果と式(10)を
用いて固有値解析を行った.固有値解析により得られた Au
と Cu の固有値 λⅠ について近似した結果を図 4 に示す.MD
法により得られた界面上の応力分布 τxy および式(4)による
結果を図 5 に示す. 式(4)はそれぞれ λⅠ に図 4 の式，kxy は
0.985 を適用している.図 5 より,MD 法の結果と固有値解析
により求めた結果が良く一致していることが分かる.
他の開き角の結果については講演時に報告する.
5. 解析条件 接合体として図 2 のような Γ2 を界面とし，異材界面角部
を有するモデルを用いた．Γ1 と Γ3 の外向き法線方向に
100MPa の力を加える. Γ4 は y 方向変位を固定する.また,界
面は[100]になるような結晶構造を持つ.解析に用いたモデ
ルの厚さは約 2nm とし,材料 1 の開き角 ω は 70°, 90°, 130°
と変え,モデル全体の原子数は 14,000~16,000 個である.1 ス
テップを 1fs とした.計算中の温度変化は 0K から計算を始
め 25,000 ステップで 0.5K までに上げ,その後 75,000 ステッ
プから 100,000 ステップまでに 0K に下げ，150,000 ステッ
プまで計算した．z 方向に周期境界条件を設定した．
Material1, 2 はそれぞれ金(Au), 銅(Cu)を用い，界面は整合
界面になるようにした．
Au : λΙ
Cu : λΙ
0.48
-0.000113
0.0172exp(-6.46r)cos(-4.26r)-0.561r
+1.00
-0.000319
0.115exp(-5.24r)cos(-2.56r)+1.72r
-1.28
0.47
1-λΙ
Fig.1 Wedge model
0.46
0.45
0.44
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
r , nm
Fig.4 The order of stress singularity λⅠ
Interface edge of Au and interface
Interface edge of Cu and interface
-λ
-λ
Fitting curve of Au : 0.985{r Ι-(11.43-r) Ι}
2
Atomic stress τxy , GPa
- λΙ
- λΙ
Fitting curve of Cu : 0.985{r -(11.43-r) }
1
0
-1
-2
0
Fig.2 Model for analysis
Atomic interface elastic modulus d1111 , N/m
0
-5
Interface edge of Au and interface
Interface edge of Cu and interface
-73.5exp(-8.70r)cos(5.90r)+10.7r
-0.0226
-10.9
-0.0218
-5623exp(-15.6r)cos(-4.15r)+10.8r
-11.0
-15
0
1
2
3
4
5
r , nm
Fig.3 Distribution of interface elastic modulus d1111
along the interface
4
6
8
10
12
r , nm
6. 解析結果 6・ 1 原子界面応力，原子界面弾性係数 開き角 70°において MD 解析により得られた Au と Cu の
原子界面弾性係数 d1111 について近似した結果を図 3 に示す．
図 3 より界面端 y≒1.5nm 以内で異なる傾向を示すことがわ
かる．τ11, d1131, d3131 においても同様の傾向を得る． -10
2
6
Fig.5 Distribution of stress τxy along the interface
6. 結言 MD 法により,Au と Cu の接合モデルにおいて原子界面応
力,原子界面弾性係数を求めた.MD 法による結果と Stroh 形
式を用いた固有値解析により得られた結果の比較を行い，
良く一致していることを示した.
参考文献 (1) X.W.Zhou. et al., Atomic scale structure of sputtered metal
multilayer, Acta materialia., 49 (2001), pp. 4005-4015.
(2) Izumi, S. et al., The atomic level evaluation of the interface
stress and interface elastic constants for semiconductor
materials, Transactions of the Japan Society of Mechanical
Engineers, No.03-06 (2003), pp. 1- 6
(3) Koguchi, H., Analysis for Stress singular fields near a
wedge corner in 2D joints considering interface stress and
interface elasticity, ASME 2012 International Mechanical
Engineering Congress & Exposition (IMECE2012),
Technical Paper (Reviewed paper), IMECE2012-86097.
(4) Ting T. C. T., Anisotropic Elasticity: Theory and
Applications, Oxford University Press, (1996), pp.134-263.