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計画数理
第７回：制約つき非線形計画
林 俊介
制約付き最適化問題
制約付き最適化問題
テキストに書かれている問題
上記の問題
制約付き最適化問題と無制約最適化問題
制約付き最適化問題
無制約最適化問題
前々回の授業で最適性
の条件を勉強した．
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無制約最適化問題の最適性条件（前々回の授業）
(P)
最適性の一次の必要条件
local minimum
（局所最小点）
local maximum
（局所最大点）
saddle point
（鞍点）
無制約最適化問題の最適性条件（前々回の授業）
(P)
最適性の一次の必要条件
最適性の二次の必要条件
最適性の二次の十分条件
これらの条件は「制約付き」最適化問題に直接適用できるか？
No!
反例
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Karush-Kuhn-Tucker (KKT) 条件
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１次の必要条件
制約付き最適化問題の場合，最適性の１次の必要条件
は，Karush-Kuhn-Tucker (KKT) 条件という名前でも
知られている．
以前はKuhn-Tucker条件と言われていたが，最近
無制約最適化
は Karush を加えて呼ばれるのが一般的．
制約付き最適化
以後，しばらくは簡単のため，不等式制約のみを含む問題を考える．
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Karush-Kuhn-Tucker (KKT) 条件
(P)
問題 (P) の制約関数が一次独立制約想定を満たしているものと仮定．
効いてる制約の勾配ベクトルが
一次独立（詳しくは後で説明）
Karush-Kuhn-Tucker (KKT) 条件
（ラグランジュ乗数）
テキストでは u で表記
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KKT条件の意味
Karush-Kuhn-Tucker (KKT) 条件
ラグランジュ関数の x
に対する偏微分が0.
ラグランジュ関数
(相補性条件: complementarity condition）
KKT条件の図的解釈
(P)
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KKT条件の図的解釈
(P)
KKT条件
(効いている)
(効いていない)
(効いている)
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KKT条件の図的解釈
微小なボールが領域 S の内部を転がり，
(P)
で止まった状況を想像しよう．
KKT条件は力のつり合い式とも解釈できる．
壁１
壁３
壁の内部
壁2
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KKT条件の図的解釈
(P)
次のような場合はどう考えられるか?
(すべての制約が効いていない.)
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KKT条件の図的解釈
(P)
KKT条件
（効いてない）
（効いてない）
（効いてない）
(無制約最適化の場合と一緒）
すべての制約が
で効いていない．
(P) は
の周りでは，本質的に無制
約最適化問題である．
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KKT条件の図的解釈
(P)
では，次の場合はどうか？
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KKT条件の図的解釈
(P)
KKT条件
（効いている）
（効いていない）
（効いている）
(Notice: 効いていない制約と弱い意味で効いている制約は，
それらを取り除いたとしても，一般には局所最適解が変わらない．）
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KKT条件（等式制約も含む場合）
不等式制約と等式制約の両方を含む問題を考える．
(P)
(P) の制約関数は一次独立制約想定（後述）を満たすとする．
Karush-Kuhn-Tucker (KKT)条件
不等式制約へのラグランジュ乗数 （必ず0以上）
等式制約へのラグランジュ乗数
（負にもなりえる．）
一次独立制約想定 (LICQ: Linear Inequality Constraint Qualification)
(P)
局所最適解において効いているすべての制約関数の勾配ベクトル
が一次独立であるとき，一次独立制約想定 (LICQ) を満たすという．
数式で書くと，以下を満たすことを要請している．
局所最適解，
は一次独立である．
とする．このとき，
一次独立制約想定を満たしている例
(P)
以下の例の場合，
において効いている制約は
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一次独立制約想定を満たしていない例
(P)
以下の例の場合，
において効いている制約は
実際，KKT条件は満たさない．すなわち
を満たす
は存在しない．
ただし，こんな例はあまり
出てこない．（普通は一次
独立制約は満たされる．）
KKT条件のベクトル表現
(P)
ベクトル表現
(P)
KKT条件 (ベクトル表現)
転置ヤコビ行列
（ヤコビ行列を転置したもの）
凸最適化問題に対するKKT条件
(P)
(P) は凸最適化問題（凸計画問題）といわれる．
非凸最適化問題
凸最適化問題
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テキストでの表記との比較
テキストでの表記
最適化問題
KKT条件
本授業スライドでの表記
最適化問題
KKT条件
どちらも同じことを言ってる！
（記号や添字の付け方が違うだけ．）
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二次の最適性条件
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無制約最適化問題の場合
(P)
無制約最適化の場合，二次の最適性条件は以下のとおりであった．
最適性の二次の必要条件
最適性の二次の十分条件
制約つき最適化問題の場合，この条件はより複雑になる．
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二次の最適性条件
(制約つきバージョン)
• 一次独立制約想定(LICQ)が成り立つとする．
• KKT点において弱い意味で効いている制約が無いものとする．
（i.e., 効いてる制約に対するラグランジュ乗数は正）
最適性の二次の必要条件
: (P) のラグランジュ関数
ただし，
: 効いてる制約の添字集合
※ この条件は，
が
上で（局所的に）正定値であること意味する．
(もし
が（空間全体で）半正定値なら，上の条件は満たす．
よって，上の条件は通常の半正定値性よりも緩い条件である．）
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二次の最適性条件
(制約つきバージョン)
• 一次独立制約想定(LICQ)が成り立つとする．
• KKT点において弱い意味で効いている制約が無いものとする．
（i.e., 効いてる制約に対するラグランジュ乗数は正）
最適性の二次の十分条件
ただし，
: (P) のラグランジュ関数
: 効いてる制約の添字集合
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条件の適用例
なので，二次の
最適性条件は自動的に成り立つ．
は赤の破線である．ラグランジュ
関数は，赤の破線上で下に凸なので，
二次の最適性条件は成り立つ．
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