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480_２次方程式の解と係数の関係を利用する求値問題
２次方程式の解と係数の関係を利用する求値問題
2 次方程式 ax + bx + c = 0 ( a ' 0) の 2 つの解を α ,
2
β とすると
α + β = − b , αβ = c
a
a
の関係が成り立つ．
証明
2 次方程式 ax + bx + c = 0 ( a ' 0) の解は，解の公式から
2
x = −b ± D （ただし， D = b 2 − 4ac とおく．）
2a
−b + D , β = −b − D とおくと
ここで， α =
2a
2a
α + β = −b + D + −b − D = −2b = − b
2a
2a
2a
a
2
2
2
b − (b 2 − 4ac) 4ac c
αβ = −b + D ⋅ −b − D = b − D
=
= 2 =
2a
2a
a
4a 2
4a 2
4a
2
別証 ax + bx + c = 0 の 2 解が α , β であることから
ax 2 + bx + c = a( x − α )( x − β )
■
とおける．右辺を展開して整理すると
ax 2 + bx + c = ax 2 − a(α + β ) x + aαβ
上式が x についての恒等式となるためには，両辺の係数を比較して
−a(α + β ) = b , aαβ = c
よって， a ' 0 より
α + β = − b , αβ = c
■
a
a
例題１．2 次方程式 2 x − 4 x + 5 = 0 の 2 つの解を α ,
2
1 + 1 , (α − β ) 2 ,
α
β
1
α +1
+
β とするとき，
1
β +1
(甲南大)
の値を求めよ．
)
2 次方程式の解を直接求めて代入してもよいが，2 解が有理数解にならない限り計算が
煩雑になる．与えられた式が α , β についての対称式であるから，これを解と係数の関係
から求められる基本対称式 α + β ,
s 解と係数の関係から
αβ で表してから代入すると手際がよい．
α + β = − −4 = 2 , αβ = 5
2
2
したがって
1 + 1 = α + β = 2× 2 = 4
5
5
α β
αβ
(α − β ) 2 = (α + β ) 2 − 4αβ = 22 − 4 ⋅ 5 = − 6
2
(
1)
(
1)
(α + β ) + 2
β
α
+
+
+
1 + 1 =
=
= 2+2 = 8
(α + 1)( β + 1)
α +1 β +1
αβ + (α + β ) + 1 5 + 2 + 1 11
2
−1−
http://www.geocities.jp/ikemath
例題２．2 次方程式 x − x + 1 = 0 の 2 つの解を α ,
2
(1)
1
+ 2 1
α + 3α + 1 β + 3β + 1
2
β とするとき，次の式の値を求めよ．
α 10 + β 10
(2)
(3)
α 6 − 2α 3 β 3 + β 6
(改
)
名城大)
3 式とも α , β についての対称式であるが，すぐ基本対称式で表す式変形はしないで，
少し工夫を考えてみることが大切である．
s(1) α , β は x 2 − x + 1 = 0 の解であるから
α 2 − α + 1 = 0 , β 2 − β + 1 = 0 "" ①
x = α が f ( x ) = 0 の解
⇔
が成り立つ．したがって
f (α ) = 0
α 2 + 3α + 1 = (α 2 − α + 1) + 4α = 4α
β 2 + 3β + 1 = ( β 2 − β + 1) + 4 β = 4β
また，解と係数の関係から
α + β = − −1 = 1 , αβ = 1 = 1
1
1
よって
α +β
1
+ 2 1
= 1 + 1 =
= 1
4αβ
4
α + 3α + 1 β + 3β + 1 4α 4β
2
t ①から
α 2 = α − 1 , β 2 = β − 1 "" ②
（←次数下げが可能）
したがって
α 2 + 3α + 1 = (α − 1) + 3α + 1 = 4α
β 2 + 3β + 1 = ( β − 1) + 3β + 1 = 4β
以下，同様．
(2)
x2 + x + 1 = 0
⇒ x 3 − 1 = ( x − 1)( x 2 + x + 1) = 0
⇒ x3 = 1
2
x − x +1 = 0
⇒ x 3 + 1 = ( x + 1)( x 2 − x + 1) = 0
⇒ x 3 = −1
①より
⎧⎪ α 3 + 1 = (α + 1)(α 2 − α + 1) = 0
⎨ 3
2
⎪⎩ β + 1 = ( β + 1)( β − β + 1) = 0
⇔ α 3 = β 3 = −1
よって
α 10 + β 10 = (α 3 )3 ⋅ α + ( β 3 )3 ⋅ β = (−1)3 α + (−1)3 β = −(α + β ) = − 1
t ②から
3
2
2
⎪⎧ α = α ⋅ α = (α − 1)α = α − α = (α − 1) − α = −1
⎨ 3
2
2
⎪⎩ β = β ⋅ β = ( β − 1) β = β − β = ( β − 1) − β = −1
以下，同様．
(3)
α 6 − 2α 3 β 3 + β 6 = (α 3 ) 2 − 2(αβ )3 + ( β 3 ) 2 = (−1) 2 − 2 ⋅13 + (−1) 2 = 0
t α 6 − 2α 3 β 3 + β 6 = (α 3 − β 3 ) 2 = {(−1) − (−1)} = 0
2
−2−
480_２次方程式の解と係数の関係を利用する求値問題
■ 練 習 問 題．
１．2 次方程式 x − 2 x + 3 = 0 の 2 つの解を α ,
2
β とするとき， α 2 − αβ + β 2 = ア ，
β2 α2
+
= イ である．
α
β
２．方程式 x − 3 x + 7 = 0 の解を α ,
2
(甲南大)
β とするとき， (α − β ) 2 ,
1
α −2
+
1
β −2
(北海道薬科大)
よ．
３．2 次方程式 3 x − 6 x + 5 = 0 の 2 つの解を α ,
2
β とするとき，α 2 + β 2 と 13 + 13 の値を
α
β
(滋賀大)
求めよ．
４．2 次方程式 2 x + 3 x + 4 = 0 の 2 つの解を α ,
めよ．
2
５．2 次方程式 x − x + 1 = 0 の 2 つの解を α ,
2
(1)
α + β , αβ を求めよ．
(2)
整式 ( x + 1)( x − x + 1) を展開せよ．
(3)
α 3 , β 3 を求めよ．
(4)
(東京電機大)
2
1 + 1 を求めよ．
100
α 100
(長岡技術科学大)
β
2
(2)
β とするとき， α 4 + α 2 β 2 + β 4 の値を求
β とする．
６．2 次方程式 x + 2 x + 4 = 0 の 2 つの解を α ,
(1)
の値を求め
β として，次の問いに答えよ．
1 + 1 の値を求めよ．
2
2
α
β
2 次方程式 2 x + ax + b = 0 の解の 1 つが
2
β
となるように，係数 a，b の値を定めよ．
α
ただし，a，b は実数とする．
(3)
α 3 および β 3 の値を求めよ．
(4)
i を虚数単位，n を自然数とするとき，c(n) =
( )
⎧
α
⎨i −
2
⎩
n
1
の値を求めよ．
n
⎫⎧ ⎛ β ⎞ ⎫
⎬ ⎨i − ⎜ ⎟ ⎬
⎭⎩ ⎝ 2 ⎠ ⎭
(早稲田大)
−3−