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第２７回理論懇シンポジウム「理論天文学・宇宙物理学と境界領域」
国立天文台三鷹キャンパス
2014年12月24－26日
トリプルアルファ反応率の量子力学計算
矢花一浩
筑波大学計算科学研究センター
共同研究者：
赤堀孝彦（筑波大数理物質科学研究科→日立製作所）
船木靖郎（理化学研究所仁科加速器センター）
陽子と中性子の多体系としての原子核
密度汎関数理論
殻模型
AMD
少数系厳密計算
量子モンテカルロ
計算による原子核の構造と反応
2
・質量 ・崩壊（寿命） ・断面積 ・・・
元素の起源・星の構造に関わる原子核の情報
― 構造計算（基底状態、励起状態）から反応（率）へ ―
- 水素燃焼
少数核子系反応の厳密計算
- ヘリウム燃焼、・・・
トリプルアルファ反応、 12C(α,γ)16O、・・・
- ｓ 過程、ｒ 過程
原子核質量、ベータ崩壊、(n,γ)反応、・・・
Contents
１．トリプルアルファ反応の歴史と現状
２．炭素原子核 - 12C - の構造
３．トリプルアルファ反応率の難しさ
４．光捕獲反応率の虚時間理論
トリプルアルファ反応を巡る経緯（１）
F. Hoyle, 1952
12C核の3α閾値近傍に
α
共鳴状態の存在を予測。
Hoyle 状態
12C*(0 +)
2
α
α
γ線
12C(2 +)
1
後にFowlerらにより
共鳴状態が発見される。
トリプルアルファ反応を巡る経緯（２）
α−α反応と、α-8Be反応の2段階過程による記述
ααα = 3∫
∞
0
d αα (Eαα )

αBe(Eαα ) dEαα
dEαα
Γα (Be, Eαα )
K. Nomoto, F.-K. Thielemann, S. Miyaji, Astron. Astrophys. 149, 239 (1985)
NACRE compilation, C. Angulo et.al, Nucl. Phys. A656 (1999) 3.
低温
温度により異なる反応メカニズム
2,000万度以下
３つのα粒子が
直接衝突する
高温
1億度以上
ベリリウムの共鳴
状態を経由
8Be*
92keV
炭素12の共鳴状態
（ホイル状態）を経由
12C*(0 +) 379keV
2
トリプルアルファ反応を巡る経緯（３）
量子３体計算に基づく反応率、2009～
CDCC, Ogata, Kan, Kamimura,
Prog. Theor. Phys. 122 (2009) 1055.
Faddeev+HyperSpherical
+R-matrix, Nguyen,
Nunes, Thompson, Brown
低温(107K)で、
1026倍の差
NA2<ααα> [cm6 s-1 mol-2]
PRL109, 141101 (2012)





107 K
NACRE compilation
C. Angulo et.al, Nucl. Phys. A656 (1999) 3.
Faddeev: S. Ishikawa,
Phys. Rev. C87 055804 (2013)
Imaginary-time theory,
Akahori, Funki, Yabana arXiv: 1401.4390.
109 K
Contents
１．トリプルアルファ反応の歴史と現状
２．炭素原子核 - 12C - の構造
３．トリプルアルファ反応率の難しさ
４．光捕獲反応率の虚時間理論
原子核の中の、陽子・中性子の独立粒子運動
基本的な見方
- １体近似
- 独立粒子運動
- 平均場ポテンシャル
陽子と中性子が原子核の中で
勝手に動いている。
 2
 

(
)
(
)
(
)
−
∆
+
=
V
r
φ
r
ε
φ
r
i i

 i
2
m


魔法数、殻模型、密度汎関数理論、・・・
軽い原子核では、独立粒子描像で理解できない状態が多数ある。
12C核のHoyle状態もその一つ
小さなエネルギー（7.27 MeV）で、 12C を３つの α粒子に分解できるため、
クラスター構造が発達する。
cf: 16.0 MeV 陽子の分離エネルギー
18.7 MeV 中性子の分離エネルギー
12C
4He
4He
4He
結合エネルギー
92.16 MeV
28.29 MeV * 3 = 84.87 MeV
原子核の基底状態とHoyle状態の構造（模型による理解）
7.27 MeV
3α threshold
Excitation energy (MeV)
12C
10
7.65 MeV
+ (Hoyle 状態)
02
2
0
+
+
01
4.44 MeV
+
基底状態
Hoyle状態の現在の理解： α粒子がボーズ凝縮を起こした、空間的に広がった状態
Tohsaki, Horiuchi, Schuck, Roepke, PRL87, 192501 (2002).
Funaki, Tohsaki, Horiuchi, Schuck, Roepke, PRC67, 051306 (2003).
( )
 



 
 
 
Φ (r1 ,  , r12 ) = AΠ f Ri φ (r1 ,  , r4 )φ (r5 ,  , r8 )φ (r9 ,  , r12 )
i =1,3

12Cの構造：
原子核構造の大規模「非経験」計算の舞台（１）
量子モンテカルロ法（現実的な核力から出発した原子核構造計算）
J. Carlson, S. Gandolfi, F. Pederiva, S.C. Pieper, R. Schiavilla, K.E. Schmidt, R.B. Wiringa, arXiv:1412.3081
8Be原子核に現れる
２α構造
Hoyle状態に対する量子モンテカルロ計算（継続中）
J. Carlson, S. Gandolfi, F. Pederiva, S.C. Pieper, R. Schiavilla, K.E. Schmidt, R.B. Wiringa, arXiv:1412.3081
実験：7.65MeV、計算: 10.5MeV
原子核の密度分布
エネルギーの収束性
基底状態
Hoyle状態
Hoyle状態
基底状態
虚時間
半径
12Cの構造：
原子核構造の大規模「非経験」計算の舞台（２）
「経験的な核力」を用いているが、それ以外の入力パラメータは、陽子＝６、中性子＝６のみ。
（Skyrme力）
Y. Fukuoka, S. Shinohara, Y. Funaki, T. Nakatsukasa, KY, Phys. Rev. C88, 014321 (2013).
12C
正パリティ
arrow : B(E2) value (e 2fm4)
Excitation Energy [MeV]
20
linear chain (0+
3)
15
10
5
0
13 ± 2
7.6 ± 0.4
EXP
12.8 ± 1.5
14.4 ± 0.3
8.6 ± 0.2
CAL
Hoyle state (0+
2)
Ground state (01+ )
14/14
Contents
１．トリプルアルファ反応の歴史と現状
２．炭素原子核 - 12C - の構造
３．トリプルアルファ反応率の難しさ
４．光捕獲反応率の虚時間理論
トリプルアルファ反応を巡る経緯（３）
量子３体計算に基づく反応率、2009～
CDCC, Ogata, Kan, Kamimura,
Prog. Theor. Phys. 122 (2009) 1055.
Faddeev+HyperSpherical
+R-matrix, Nguyen,
Nunes, Thompson, Brown
低温(107K)で、
1026倍の差
NA2<ααα> [cm6 s-1 mol-2]
PRL109, 141101 (2012)





107 K
NACRE compilation
C. Angulo et.al, Nucl. Phys. A656 (1999) 3.
Faddeev: S. Ishikawa,
Phys. Rev. C87 055804 (2013)
Imaginary-time theory,
Akahori, Funki, Yabana arXiv: 1401.4390.
109 K
トリプルアルファ反応率： ３つのα粒子が、核力の作用する範囲まで接近する確率が鍵
最後の融合過程を除けば、クーロン３体問題
(
)
  2  2  2  2 4e 2 4e 2 4e 2    
  
(
)
(
−
∇
+
∇
+
∇
+
+
+
Φ
=
Φ
r
,
r
,
r
E
r
1
2
3
1 , r2 , r3 )

 1 2 3
2
m
r
r
r
12
23
31 

クーロン３体問題： 構造の計算は難しくない
ヘリウム原子の結合エネルギーの場合
(
)
  2  2  2 e 2 2e 2 2e 2   
 
∇1 + ∇ 2 + −
−
−
 Φ (r1 , r2 ) = EΦ (r1 , r2 )
r12
r1
r2 
 2m
1929年、Hylleraas
5桁の精度
2008年、
中辻（京大）
32桁の精度
トリプルアルファ反応率計算の難しさ
‐ 実験は（ほぼ）不可能。
‐ ３つの電荷を持つ粒子の散乱問題の定式化が不明。
（３つの電荷を持つ粒子の「クーロン波動関数」の解析形がない）
‐ ３つの電荷を持つ粒子に対するトンネル現象を扱うことが必要。
反応率は温度とともに1060も変化する。
数値計算の精度に細心の注意を払う必要。
クーロン透過率（２体反応）
Pl (E , R ) =
kR
2
2
Fl (kR ) + Gl (kR )
クーロン波動関数
Contents
１．トリプルアルファ反応の歴史と現状
２．炭素原子核 - 12C - の構造
３．トリプルアルファ反応率の難しさ
４．光捕獲反応率の虚時間理論
光捕獲反応の反応率の計算： ふつうは、
まず断面積𝜎𝜎𝛾𝛾 E を求め、次にマクスウェル分布で統計平均をする。
vσ ∝ ∫ dEEe − E / kT σ γ (E )
ガモフピーク
Energy
vσ ∝ ∫ dEEe − E / kT σ γ (E )
断面積𝜎𝜎𝛾𝛾 E を経ずに、直接反応率を求める。 ⇒ 虚時間理論
KY and Y.Funaki. PRC85,055803(2012)
Im t = β =
温度の逆数を
虚数の時間軸とみなす。
Re t
1
kT
虚時間法（２体散乱の場合）
光捕獲断面積の表式
統計平均：温度 𝛽𝛽 = 1/𝑘𝑘𝐵𝐵 𝑇𝑇
M λµ = ∑ ri Yλµ (rˆi )
λ
 Ek − E f
vσ fi ∝ 
 c



2 λ +1
i∈ p
 * 
 2

λ
フォトンの多重度
∫ dr φ f (r )M λµφk (r )
束縛状態（終状態）


(
) =1
φ
d
r
r
f
∫
2
 − βE
vσ ∝ ∫ dk e k vσ fi
散乱状態（初期状態）


eikr
ik r
ˆ
φ (r ) → e + f (r )
r

k
(2-body)
（ハミルトニアンのスペクトル表現）
vσ fi ∝ φ f M λµ e
− βHˆ
 Hˆ − E f

 c





2 λ +1
+
Pˆ M λµ φ f
Pˆ = 1 − ∑ φn φn
n
散乱状態を消去できる。そのかわり、指数演算子 exp[-βH] が現れる。
指数演算子 exp[-βH] の計算 ⇒ 虚時間発展
vσ fi
 Hˆ − E f
− βHˆ 
∝ φ f M λµ e
 c

出発点は、光放出後の束縛波動関数
に、光遷移演算子を掛けたもの。
虚時間軸に沿って、時間発展計算。
期待値として反応率が得られる。




2 λ +1
β=
+
Pˆ M λµ φ f
1
kT
ψ (β = 0) = M λ = 2, µ +φ f
−
∂
ψ (β ) = Hψ (β )
∂β
 β   Hˆ − E f 
vσ ∝ ψ  
 2  
c


2 λ +1
β 

2
ψ
トリプルアルファ反応の計算：ハミルトニアン
- α粒子は点粒子として扱う。
- ハミルトニアンは現象論的に作る。
H = T + V12 + V23 + V31 + V123
・α−α間のポテンシャルは、8Beの共鳴状態を再現
・α−α−α間の３体ポテンシャルを導入、Hoyle状態を再現
トリプルアルファ反応を巡る経緯（３）
量子３体計算に基づく反応率、2009～
CDCC, Ogata, Kan, Kamimura,
Prog. Theor. Phys. 122 (2009) 1055.
Faddeev+HyperSpherical
+R-matrix, Nguyen,
Nunes, Thompson, Brown
低温(107K)で、
1026倍の差
NA2<ααα> [cm6 s-1 mol-2]
PRL109, 141101 (2012)





107 K
NACRE compilation
C. Angulo et.al, Nucl. Phys. A656 (1999) 3.
Faddeev: S. Ishikawa,
Phys. Rev. C87 055804 (2013)
Imaginary-time theory,
Akahori, Funki, Yabana arXiv: 1401.4390.
109 K
計算に用いる空間領域（α粒子間の距離）に関する収束性
3
1
𝑟𝑟⃗ , 𝑙𝑙 = 0
rmax = 100 fm
Rmax= 100 fm
rmax = 200 fm
Rmax= 200 fm
rmax = 400 fm
Rmax= 400 fm
rmax = 500 fm
Rmax= 500 fm
𝑅𝑅 , 𝐿𝐿 = 0
2
重なっている
rmax = 600 fm
Rmax= 600 fm
rmax = 50 fm
Rmax= 50 fm
虚時間＝
温度の逆数
100 MeV-1
= 1.15 x 108 K
=1/kBT
1000 MeV-1
= 1.15x 107 K
27/22
虚時間計算とNACRE反応率は、高い精度で定量的に一致
反応メカニズムが切り替わる温度も一致している。
>1
>1
𝑇𝑇 ≲ 7.4 × 107 K
𝑇𝑇 ≲ 2.8 × 107 K
(K.Nomoto, AJ253(1982)798)
𝑇𝑇 = 7.4 × 107 K
三つのα粒子が直接
核融合する反応
12C*を経由
する反応
𝑇𝑇 = 2.8 × 107 K
8Be*+α
反応
虚時間発展した波動関数 ψ (R, r , β ) から、反応メカニズムが分かる。
反応率
𝛽𝛽 = 10 MeV −1 (T = 1.15 × 109 K)
𝛽𝛽 = 200 MeV −1 (T = 5.76 × 107 K)
R
R
r
r
𝛽𝛽
𝑟𝑟 𝛽𝛽 ∝ Ψ
2
� − 𝐸𝐸𝑓𝑓
𝐻𝐻
ℏ𝑐𝑐
2λ+1
Ψ
𝛽𝛽 = 400 MeV −1 (T = 2.88 × 107 K)
R
r
𝑇𝑇 = 7.4 × 107 K
三つのα粒子が直接
核融合する反応
𝛽𝛽 = 1000 MeV −1 (T = 1.15 × 107 K)
12C*（Hoyle
状態）を経由
8Be*+α
反応
𝑇𝑇 = 2.8 × 107 K
29/11
𝛽𝛽
2
虚時間理論から、NACRE（〜野本）の式を導くことができる
必要とされる仮定
1. ３体ハミルトニアンが, α-α と α-8Be の部分に分解できる（分離型仮定）
H = H αα + H αBe
2. Hoyle状態が、 α−α と α-8Be の共鳴状態の積で記述できる
虚時間理論とR行列理論を組み合わせて、
3
 2π 2 

ααα = 6 ⋅ 3 
M
kT
 α 
Γα 8 Be; Eαα
1
× ∫ dEαα
2π Er 8 Be − Eαα 2 + Γα (Eαα ) / 4
3
2
( ( )
× ∫ dEα 8Be
1
2π Er
(
Γα
(
)
12
( ( C) − E
)
) + Γ (E )/ 4
C; Eα 8Be
2
12
 Eαα + Eα 8Be 
× exp −
 ⋅ Γγ
kT


)
α Be
8
α
α 8 Be
(
) (
 Eαα + Eα 8Be − E 12 C;2 +
12
C  12
 E C;0 + − E 12 C;2 +
2

( )
(
) 
) 
2 λ +1
この結果は、ほぼNACREで用いられている式に一致
まとめ
軽い原子核の構造の非経験的に記述が可能に。
基底状態から励起状態へ、構造から反応へ、発展途上。
トリプルアルファ反応の、量子３体理論に基づく計算は2009年から始まった。
低温で、収束した答えが出ていない。
クーロン３体系のクーロン波動関数の欠如が困難の原因。
我々は、光捕獲反応率の虚時間理論を提案した ⇒ NACRE（野本理論）を支持
１０－２０年のレンジで、元素合成で必要とされる反応率の信頼できる非経験的計算を
行うことが目標。