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Antilock Braking System(ABS)への
ゲインスケジューリング制御適用事例
南山大学大学院
理工学研究科 機械電子制御工学専攻
片岡 寛
研究の手順
モデリング
制御対象の振る舞いを数式で表現
制御系設計
ロバスト制御系設計
シミュレーション・実験
設計した制御器の有効性を検証
使ったツール
・MATLAB…………制御器を求める際に使用
・Simulink………...シミュレーションの際に使用
モデリングより、求めたモデルをベースにロバ
スト系制御器を設計し、シミュレーションを行っ
た。
内容
序説
制御対象・モデリング
制御器設計
実験・シミュレーション
苦労した点
結論
序説
研究の特徴
自動車のブレーキに関する運動特性
・・・・車体速度、路面間の摩擦係数に依存
車体速度、摩擦係数の変化に対して
ロバスト性を保証
車体速度の変化と共に制御器の係数も変化
するコントローラ（ゲインスケジューリング）
設計した制御器を用いてシミュレーション・実験
6
ABSとスリップ率の関係
スリップ率が 0.2の時
横力
縦力
共に高い
[Idar Petersen, IEEE, 2003]
スリップ率を 0.2付近に維持することで
・制動距離が短くなる
・スリップを防ぐ
6
研究手法
・車体速度 は時変パラメータで観測可能 （実験機）
車体速度の変化と共に制御器の係数も変化する
ゲインスケジューリング制御をABSに適用
・線形行列不等式（LMI)を解き、制御器を設計
8
制御対象・モデリング
実験機
車輪
道路
10
実験機
ブレーキ
17
モデリング（ABSのモデル）
L[ m] ：バランスレバーの回転軸から車輪間の接点までの距離
ϕ[rad] ：車輪間の接点の法線との角度
µ
τ 1 [ N/m]
Fn [ N]
r1 , r2 [m]
ω1 [rad/s]
ω2 [rad/s]
：車輪間の摩擦係数
：ブレーキトルク
：垂直抗力
:上、下の車輪の半径
：上の角速度
：下の角速度
12
モデリング（運動方程式）
上の車輪,下の車輪の運動方程式
J 1ω 1 = Fn r1 µ − τ 1
J 2ω 2 = − Fn r2 µ
(1)
( 2)
J 1 , J 2 [kgm 2 ] :上の車輪,下の車輪
の慣性モーメント
スリップ率の定義
r2ω 2 − r1ω1
λ =
r2ω 2
(3)
13
制御器設計
評価関数
状態フィードバックコントローラ u (t ) = K (ω2 ) x(t )
を用いて
評価関数 J を
∞
(
)
J = ∫ x(t ) Qx(t ) + u (t ) Ru (t ) dt
0
T
T
と定義し, この評価関数 J の最小化を行う
Q ：状態変数に対する重み行列
R ：入力に対する重み
Q≥0
R>0
15
定理(LMI 条件)
~
~
以下を満たす X d (Θ i ) と Yd (Θ i ) が存在すれば、
システムを安定化できるコントローラが求まる。
設計ツール・・・・matlab
γ
subject to : X 11 (Θ i ) > 0
minimize :
1

~
~
~ ~
~ ~
~
T
2 T
 He[ Ad (Θ i ) X d (Θ i ) + Bd Yd (Θ i )] − E d X d (Θ i ) X d (Θ i ) (Q )
1

~
Q 2 X d (Θ i ) T
−I

1

~
2

0
R Yd (Θ i ) T

W
I


>0

X 11 (Θ i )
I
(i = 1,2.....7,8)
Trace (W ) <
γ
1

~
T
2 T
Yd (Θ i ) ( R ) 

0

<

−I

16
0
シミュレーション・実験
シミュレーション条件
摩擦係数と車体速度の範囲を以下のようにしてシ
ミュレーションする
使ったツール・・・・simulink
0.1 ≤ µ ≤ 0.7
10 ≤ V [km/h ] ≤ 50
28.1 ≤ ω2 ≤ 140
18
フィードバックゲイン
状態変数と入力に対する重み行列
800
Q=
 0
0 
,

100
R = 0.03
19
シミュレーション µ = 0.1
制動距離:
39.4m
20
シミュレーション µ = 0.7
制動距離:
4.9m
21
実験 µ = 0.21
22
実験 ( µ = 0.21 )
(t < 1.7)
シミュレーション結果とほぼ一致している
・10[km/h] 以上
実験結果から、提案した手法の有効性が証明された
23
苦労した点
苦労した点
• 実験を繰り返すが、シミュレーションとは一致しな
かった。
一致しない原因
・入力したブレーキと出力したブレーキに差がある
・車輪間の摩擦係数を把握できていない
同定実験、ブレーキパットの仕組みを理解する
ことが必要と考えた。
ブレーキトルクの同定
 r1

τ 1 = −  J 2 x 2 + J1 x1 
 r2

上の式を用いて、同定を行った。毎回、同じ入
力を入れても値が違う場合が発生。
正確な値を定めることに苦労した。
摩擦係数の同定
L sin ϕ
J 2 x 2
r2
µ=
L sin φ r1
+ ) + J1 x1 − τ g
J 2 x 2 (
r2
r2
上の式を用いて、同定を行った。毎回、同じ入
力を入れても値が違う場合が発生。
正確な値を定めることに苦労した。
ブレーキパット
・ブレーキパットに遊びがあることが判明
ブレーキパットがどの程度遊び部分を含んでい
るのかを把握するのに苦労した。
結論
・制御対象のモデルをベースにシミュレーション
し、実験結果の整合性を確認できた
・パラメータ同定や制御対象の仕組みを確実に
把握することの大切さを実感した
今後の課題
・カルマンフィルタを用いて摩擦係数を推定する
研究を行う
線形化
テーラー展開を用いて非線形方程式を線形化
する。 [Idar Petersen, IEEE, 2003].


λ
λ
∂
∂
*
*
*
*


|τ =τ * (τ 1 − τ 1 )
λ ≅ λ (λ ,τ 1 ) + |λ =λ* (λ − λ ) +
∂λ
∂τ 1 1 1
*
*
τ
はスリップ率の目標値,
は
λ
λ
1
を維持する為のブレーキトルク
*
30
モデリング
スリップ率の微分方程式
2


r
r2 (1 − λ )τ g µ (λ )
1 
1 τ g µ (λ )


−
−
λ=
ω 2  J 1 r2 L(sin ϕ − µ (λ ) cos ϕ ) J 2 L(sin ϕ − µ (λ ) cos ϕ ) 
r12 µ (λ )
r2 (1 − λ ) µ (λ )
r1 
1 
τ 1 (5)
+  −
−
+
ω 2  J 1 r2 L(sin ϕ − µ (λ ) cos ϕ ) J 2 L(sin ϕ − µ (λ ) cos ϕ ) J 1 r2 
Eq.(5) は非線形である
31
自動車の特徴
車の運動は
・車体速度
・摩擦係数 （タイヤと路面の間）
車体速度
時変パラメータ
摩擦係数
路面状態で大きく変動
32
線形化されたモデル
* 3
* 2
*
c
c
c
(
)
(
)
(
) + c4
µ
λ
µ
λ
µ
λ
+
+
*
1
2
3

λ=
(λ − λ )
* 3
* 2
*
ω 2 (c9 µ (λ ) + c10 µ (λ ) + c11 µ (λ ) + c12 )
c5 µ (λ* ) 3 + c6 µ (λ* ) 2 + c7 µ (λ* ) + c8
*
+
(
τ
τ
−
1
1 ) (6)
* 3
* 2
*
ω 2 (c9 µ (λ ) + c10 µ (λ ) + c11 µ (λ ) + c12 )
µ (λ ) はスリップ率が λ の時の摩擦係数
c1 , c2 , ⋅ ⋅⋅, c12 は定数
*
*
*
*
µ
(
λ
)
µ
以降、
を とし、記載
33
状態方程式
x(t ) = E −1 Ax(t ) + E −1 Bu (t )
(8)
0
0

3
2
*
*
*
−1


+
+
+ c4
c
c
c
µ
µ
µ
E A= 0
1
2
3


*3
*2
*
 ω 2 (c9 µ + c10 µ + c11 µ + c12 ) 


 c µ *3 + c µ * 2 + c µ * + c

−1
E B=
7
8
5
6

 ω 2 (c9 µ * 3 + c10 µ * 2 + c11 µ * + c12 ) 
34
状態方程式
*
µ
E A, E B 行列の分母には
の変動パラメータ、
また µ * の累乗項も存在している。
−1
−1
変動パラメータのロバスト性の保証
難しい
ディスプリプタ表現、LFT
非線形な項をなくす
35
ディスクリプタ方程式
Ed xd (t ) = Ad xd (t ) + Bd u (t )
(9)
T

xd (t ) = [ x(t ) λ u (t )]
I
Ed = 
0
0
, Bd = [0

0
0
0 1]
T
1
0
0
0


0
0
1
0

Ad = 
*3
*2
*
*3:
*2
*
:*3
*2
*
0 c1 µ + c2 µ + c3 µ + c4 − ω 2 (c9 µ + c10 µ + c11 µ + c12 ) c5 µ + c6 µ + c7 µ + c8 


0
0
−1
0

µ の累乗項が存在
*
ポリトープ表現を使うことが難
36
ディスクリプタ方程式
Ed xd (t ) = Ad xd (t ) + Bd u (t )
(9)
T

xd (t ) = [ x(t ) λ u (t )]
I
Ed = 
0
0
, Bd = [0

0
0
0 1]
T
1
0
0
0


0
0
1
0

Ad = 
*3
*2
*
*3:
*2
*
:*3
*2
*
0 c1 µ + c2 µ + c3 µ + c4 − ω 2 (c9 µ + c10 µ + c11 µ + c12 ) c5 µ + c6 µ + c7 µ + c8 


0
0
−1
0

µ の累乗項が存在
*
ポリトープ表現を使うことが難
37
ディスクリプタ方程式（LFT後)
1
0
0
0

0 c 3 µ + c 4

0
0
~

Ad =
0
c2 µ

c1 µ
0
0
0

0
0
0
1
− (c11 µ + c12 )ω 2
0
− c10 µω 2
− c9 µω 2
0
0
c 7 µ + c8
−1
c6 µ
c5 µ
0
0
0
0
0
0 
µ
µ

0
0
−1 0
0
0

0 −1 0
0
µ 0 −1 0 

0 µ 0 − 1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
µ * の累乗項が消える。ポリトープ表現を行い、変動パラメータの
ロバスト性を保証できる。
パラメータボックス
パラメータボックスΘは変動パラメータの上限と下限
の頂点として定義する。
{
{
}}
[θ1 θ 2 θ 3 ] : θ i ∈ θ i ,θ i (20)
Θ= θ1 = ω 2 (スケジューリングパラメータ)
T
*

θ 2 = ω 2 ,θ 3 = µ (i = 1,2,3)
Θ1 = [θ1 θ 2 θ 3 ]
... Θ 7 = [θ1 θ 2 θ 3 ]
, Θ 2 = [θ1 θ 2 θ 3 ] ,... (21)
, Θ 8 = [θ1 θ 2 θ 3 ]
39
~
X d (θ ) の制約
~
Ed の構造を考慮し、 X~ d (θ ) を以下のように限定する。
 X 11 (θ )
~
X d (θ ) =  X 21 (θ )
 X 31 (θ )
I
0

0
0
X 22 (θ )
X 32 (θ )

X 23 (θ )
X 33 (θ )
~ ~
~ ~
E d X d (θ ) = ( E d X d (θ )) T ≥ 0
0 0  X 11 (θ )
0
0   X 11 (θ )
0 0  X 21 (θ ) X 22 (θ ) X 23 (θ ) =  0
0 0  X 31 (θ ) X 32 (θ ) X 33 (θ )  0
0
(16)
X 21 (θ ) X 31 (θ )  I 0 0
X 22 (θ ) X 32 (θ ) 0 0 0
X 23 (θ ) X 33 (θ ) 0 0 0
X 11 (θ ) > 0 等号制約を取り除く事ができる。
40
~
Yd (θ ) の制約
状態フィードバック
~
~
~
−1 ~
~
u (t ) = K d (θ ) x d (t ) = Yd (θ ) X d (θ ) x d (t )
~
Yd (θ ) = [Y (θ ) 0 0]
~
K d (θ ) = [Y (θ )
0
0 
 X 11 (θ )
0 0]  X 21 (θ ) X 22 (θ ) X 23 (θ )
 X 31 (θ ) X 32 (θ ) X 33 (θ )
(17 )
(18)
−1
u (t ) = K (θ ) x(t ) = Y (θ ) X 11 (θ ) x(t )
−1
(19)
K (θ ) は状態方程式と同じ次元の行列
で表されるコントローラ。
41
研究手法
・ポリトープ表現
変動パラメータのロバス
性を保証
・リアプノフ安定理論
・線形行列不等式（LMI)を解き、制御器を設計。
ABSの機能
ABSはタイヤのロックによるスリップを防ぐ。
・ 雪道や急ブレーキの時
43