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基礎解析 AI 演習問題 1 (論証の注意点 4 月 14 日)
問題 1. “ 関数 f (x) = x3 が x において微分可能であることを証明してください” という課題の解
答例をいくつか書きます. 正解例以外の解答にはそれぞれ誤りがあります. 指摘してください.
[正解例] 変数 x がわずかに変化して x + ∆x になるとき, 関数 f の平均変化率は
f (x + ∆x) − f (x)
(x + ∆x)3 − x3
=
= 3x2 + 3x∆x + (∆x)2
∆x
∆x
である. 変数 x の変化分 ∆x が 0 に近づくとき, 上記の平均変化率は
lim {3x2 + 3x∆x + (∆x)2 } = 3x2
∆x→0
に近づく. 変化分 ∆x を 0 に近づけるときの平均変化率の極限が存在する. よって関数 f は x にお
いて微分可能でである.
(1) 変数 x がわずかに変化して x + ∆x になるとき, 関数 f の平均変化率は
f (x + ∆x) − f (x)
(x + ∆x)3 − x3
=
= 3x2 + 3x∆x + (∆x)2
∆x
∆x
である. 変数 x の変化分 ∆x が 0 に近づくとき, 上記の平均変化率は
lim {3x2 + 3x∆x + (∆x)2 } = 3x2
∆x→0
に近づく. 公式 (x3 )′ = 3x2 と一致したので関数 f は x において微分可能でである.
(2) 変数 x がわずかに変化して x + ∆x になるとき, 関数 f の平均変化率は
f (x + ∆x) − f (x)
(x + ∆x)3 − x3
=
= 3x2 + 3x∆x + ∆x2
∆x
∆x
である. 変数 x の変化分 ∆x が 0 に近づくとき, 上記の平均変化率は
lim 3x2 + 3x∆x + ∆x2 = 3x2
∆x→0
に近づく. 変化分 ∆x を 0 に近づけるときの平均変化率の極限が存在する. よって関数 f は
x において微分可能でである.
(3) 変数 x がわずかに変化して x + ∆x になるとき, 関数 f の平均変化率は
(x + ∆x)3 − x3
f (x + ∆x) − f (x)
=
= 3x2 + 3x∆x + (∆x)2
∆x
∆x
⇐⇒
f (x + ∆x) − f (x)
= 3x2 .
∆x→0
∆x
極限が存在するので関数 f は x において微分可能でである.
lim
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基礎解析 AI 演習問題 2 (微小量の扱い 4 月 21 日)
問題 2. (1) 一辺が 100m の正方形と一辺の長さが 100.03m の正方形と比較しましょう. 正方形
の面積の差はどれほどでしょうか.
(2) (1) の答えの小数点以下を四捨五入しておおよその値を求めてください.
問題 3. 関数 y = x2 について考える.
(1) 変数 x が微小に変化して x + ∆x になる場合を考えます. y の変化分 ∆y を x と ∆x の式で表
してください. 答えは因数分解した形ではなく, 展開された形で答えてください.
(2) (1) の答えに x = 100, ∆x = 0.03 を代入したとき, ∆y の数値はいくつでしょうか.
(3) (1) の答えは二つの項からなりますが, 片方の項は ∆x よりも高次の無限小です. どちらで
しょうか.
(4) (1) の答えは二つの項からなります. ∆x と比例する部分に x = 100, ∆x = 0.03 を代入して
えられる値を計算してください.
次回: 微分形式入門
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基礎解析 AI 演習問題 3 (微分形式入門 4 月 28 日)
問題 4. 半径 r の球の表面積が S = 4πr2 , 体積が V =
に答えてください.
4 3
πr で与えられることを用いて以下の設問
3
(1) 微分形式 dS を r と dr の式で表してください.
(2) 微分形式 dV を r と dr の式で表してください.
(3) 微分形式 dr を r と dV の式で表してください. (2) の結果を用いてよいです.
(4) 微分形式 dS を r と dV の式で表してください. これまでの結果を用いてよいです.
(5) (4) の式の意味を解釈すると次のようになります. 空欄を埋めてください：
“半径が r の球を基準として考え, そこから球をわずかに大きくしたり小さくすることを考え
る. 表面積の変化を ∆S, 体積の変化を ∆V とおくと, それらの間には近似的に
の関係が成り立つ. より詳しく言うと,
∆S と
∆V
がほとんど同じ値をとる.”
問題 5. ストローでシャボン玉を膨らまして半径が 10 cm の球を作ったとしましょう. そのシャボ
ン玉へさらに息を吹き込み, 体積を 15 cm3 だけ増やしたとき, シャボン玉の表面積はどれくらい
増えるでしょうか? 推定してください. ∗
∗
球全体の体積 (4 × π × 103 ÷ 3 cm3 ) に比べれば新しく吹き込む空気の量 (15cm3 ) はかなり小さいので, 微分形式
の知識を生かすことができます.
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