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等式の証明
数学 II・B 授業ノート
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1 恒等式の証明
等式が恒等式であることの証明を考えてみよう．等式が恒等式であることを証明するには次のような手法がと
られる．
1. (左辺) − (右辺) = 0 となることを示す．
2. 左辺または右辺の一方を変形して同じ式になることを示す．
3. 左辺と右辺の両方を変形して同じ式になることを示す．
• (x + 1)3 − (3x2 + 1) = (x − 1)3 + (3x2 + 1) であることを証明してみよう．
証明
(左辺) = (x + 1)3 − (3x2 + 1)
= x3 + 3x2 + 3x + 1 − 3x2 − 1
= x3 + 3x
(右辺) = (x − 1)3 + (3x2 + 1)
= x3 − 3x2 + 3x − 1 + 3x2 + 1
= x3 + 3x
よって，(左辺) = (右辺) である．
■
•
1
1 − xy
1
+
=1+
であることを証明してみよう．
1−x 1−y
(1 − x)(1 − y)
証明
1
1
+
1−x 1−y
1−y+1−x
=
(1 − x)(1 − y)
2−x−y
=
(1 − x)(1 − y)
(左辺) =
1
1 − xy
(1 − x)(1 − y)
(1 − x)(1 − y) + 1 − xy
=
(1 − x)(1 − y)
1 − y − x + xy + 1 − xy
=
(1 − x)(1 − y)
2−x−y
=
(1 − x)(1 − y)
(右辺) = 1 +
よって，(左辺) = (右辺) である．
■
2 条件付きの等式の証明
ある条件のもとで成り立つ等式の証明について考えてみよう．
• a + b + c = 0 のとき，
2a2 + bc = (b − a)(c − a)
であることを証明してみよう．
証明 a + b + c = 0 であるから，
a = −(b + c)
であり，このとき
(左辺) − (右辺) = 2a2 + bc − (b − a)(c − a)
= 2{−(b + c)}2 + bc − {b + (b + c)}{c + (b + c)}
= 2(b + c)2 + bc − {bc + b(b + c) + c(b + c) + (b + c)2 }
= 2(b + c)2 + bc − {bc + (b + c)(b + c) + (b + c)2 }
= 2(b + c)2 + bc − bc − 2(b + c)2
=0
よって，(左辺) = (右辺) である．
■
3 比例式
a
c
= や a : b = c : d のように比が等しいことを示す等式を比例式という．
b
d
a
b
c
= = を a : b : c = x : y : z と書く．a : b : c を a，b，c の連比という．
x
y
z
a
b
c
a : b : c = x : y : z のとき， = = が成り立つから，これを k とおいて，
x
y
z
a = kx,
b = ky,
c = kz
と表せる．
•
a
c
a+b
c+d
= のとき，
=
であることを証明してみよう．
b
d
a−b
c−d
2
証明
a
c
= = k とすると，
b
d
a = bk,
c = dk
と表すことができる．このとき，
a+b
a−b
bk + b
=
bk − b
b(k + 1)
=
b(k − 1)
k+1
=
k−1
(左辺) =
c+d
c−d
dk + d
=
dk − d
d(k + 1)
=
d(k − 1)
k+1
=
k−1
(右辺) =
よって，(左辺) = (右辺) である．
■
• a : b : c = 1 : 2 : 3，a + b + c = 24 のとき，a，b，c の値を求めてみよう．
a : b : c = 1 : 2 : 3 だから，k を定数として，
a = k,
b = 2k,
c = 3k
と表される．ここで，a + b + c = 24 だから，
k + 2k + 3k = 24
6k = 24
k=4
したがって，
a = 4,
b = 8,
c = 12
4 演習問題
1. 次の等式が成り立つことを証明せよ．
(a) a3 + b3 = (a + b)3 − 3ab(a + b)
(b) a + b + c = 0 のとき，(a + b)(b + c)(c + a) + abc = 0
a2
b2
c2
+
+
=3
(a + b)(a + c) (b + c)(b + a) (c + a)(c + b)
a
c
a−b
c−d
(d)
= のとき，
=
b
d
b
d
(c) a + b + c = 0 のとき，
2. x + y + z = 1，xy + yz + zx = xyz のとき，x，y ，z のうち，少なくとも 1 つは 1 に等しいことを証明せよ．
3. a : b : c = 2 : 3 : 4，a + 2b + 3c = 40 のとき，a，b，c の値を求めよ．
3