1. EDUCATION

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ピタゴラスの定理の導入 マスタープラン
１．学習の題材
授業コンセプト 対象学年：中学校３年生
正方形の辺上の４点を頂点とする四角形
の面積を求めよう．
２．学習のねらい
与えられた正方形の内部の正方形の面積を求めることを通して，直角三
角形上の３つの正方形の関係（三平方の定理）を発見することができる．
このマスタープランは，「三平方の定理」の単元（中
学校３年生）の第１時間目の授業のためのプランで
ある．正方形の内部に作図した正方形の面積を求め
る問題を通して，直角三角形の３辺上の正方形の面
積の関係（三平方の定理）を発見させることがねら
い．正方形の面積を求める問題の解決過程で意義を
持つ定理として「三平方の定理」を印象的に導入し
たい．
b
a
３．学習活動の計画と意図
a
b
（１）正方形の各辺に４点をとり四角形 ABCD の面積を求める．
A
b
a
D
b
１辺 １０ｃ ｍの 正方形 （折り 紙の 場合は １５
a 2 + b2 = c 2
a
2
内部の正方形の面積は， ( a + b) − 4
cm）を与え，４つの直角三角形の各辺を実測さ
めることができる．したがって，内部の正方形の１辺を c
せ，四角形 ABCD の面積を求めさせる．
B
1
ab = a 2 + b 2 で求
2
c
2
2
2
とすると， c = a + b が成り立つ．
C
（２）内部の四角形を正方形にしてその面積を求める．
【発問１】：四角形 ABCD が正方形になることがありますか？
a
b
A
b
a
B
各辺を a，b に分割する点を取ると４つの直
正方形の各辺を同じ長さに分割する点をとっていけ
角三角形はすべて合同となり，
四角形 ABCD
ば，内側に正方形 ABCD ができることに気付かせ，
は正方形となる．
三角形の合同条件をもとに証明して確認させたい．
D
a
b
b
C
a
【発問２】：四角形 ABCD が正方形になるとき，その面積を求めなさい．! 簡単に求めることはできませんか？
７cm
３cm
内部に正方形を作図させ，面積を求めさせる．その後，
生徒に適当な数値で正方形を内部につくらせ，それ
もっと簡単に求めることはできないかを考えさせる．
ぞれ面積を求めさせる．左例のように数値式による
2
2
表現を通して，58＝ 3 + 7 になっていることに気
1
（内部の正方形）＝ 10 ⋅10 − 4 ⋅ 3⋅ 7 = 100 − 42 = 58
2
付かせたい．また，文字式 (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 を
使って一般的に説明もさせてもよい．
€
1
2
2
2
2
（内部の正方形）＝ (3+ 7)(3+ 7) − 4 ⋅ 3⋅ 7 = 3 + 2 ⋅ 3⋅ 7 + 7 − 2 ⋅ 3⋅ 7 = 3 + 7€ = 58
€
2
（３）内部の正方形の面積が b 2 + c 2 で求められる理由を考える．
①
１０cm
€
③
１０cm の枠を用意し，その
中で４つの直角三角形を並べ替える．
【三平方の定理】
その中で２つの正方形に注目させ，①
と④との比較を通して，３つの正方形
の面積の関係（三平方の定理）を発見
枠の中で並べ替える
させたい．
２つの正方形に気付く
切り離す
②
④
３つの正方形の面積
の関係を表現する
Designed by S. Yamamoto, 2004.12.19