1. EDUCATION

3年
数学科 『三平方の定理』(ピタゴラスの定理)
―1―
ピタゴラスの定理の発見
ピタゴラス(B.C.582 頃∼B.C.493
頃)は、最も有名な数学者のうちの１
人です。
ある雨の日です。
ピタゴラスは雨に
ぬれる、
右のような敷石を敷き詰めた
歩道をぼんやりとながめていました。
そのときです。我々凡人と違って、ピ
タゴラスにはある図形が見えてきま
した。さて、皆さんには見えますか？
ピタゴラスは、当時文明が進んでいたエジプトとバビロニアに、長いこと留学していたそうです。
エジプトにいたとき、ピタゴラスは次のようなエジプト人の知恵に感心していました。
エジプトの測量士(縄張り師)は、しばしば土地の上に互いに直角に交わる 2 本の直線を引く必
要に迫られていました。そのとき彼らは、まず 12 の長さの縄をとり、その一方から 3 の長さの
ところに印を付ける。そしてその長さから 4 のところに印を付ける。そうすると残った部分の長
さは 5 である。
こうしておいて、両端をつないで縄を輪にする。そして、2 つの印とつなぎ目を持って縄をピ
ンと張れば、ここに 3 辺の長さが 3,4,5 である三角形ができる。このとき、3 の長さの辺と 4 の
長さの辺に挟まれた角はいつも直角になる。(ピタゴラスの定理の逆の定理)
これを、図にかいてみる
と右のようになります。
3年
数学科 『三平方の定理』(ピタゴラスの定理)
―2―
ピタゴラスの定理の証明
(その 1)
c
b
a
(その 2)
b
a
c
バスカラ(1114∼？)の証明
建部賢弘(1664∼1739)の証明
b
( い)
a
b−a
(あ)
b
c
a
b
(あ)
( い)
a
a
3年
数学科 『三平方の定理』(ピタゴラスの定理)
―3―
直角三角形の直角をはさむ 2 辺の長さを a , b 、斜辺の長さを c とします。下の図は a , b が、
問1
a = 1

b = 1
(ｱ)
(ｲ)
a = 2

b = 1
(ｳ)
a = 3

b = 1
(ｴ)
a = 3

b = 2
の場合、斜辺を 1 辺とする正方形をかいたものです。
(ｱ)
(1)
(ｲ)
( ｳ)
( ｴ)
(ｱ),(ｲ),(ｳ),(ｴ)の正方形の面積を、図から求めなさい。
(ｱ)
(2)
(ｲ)
(ｳ)
それぞれの直角三角形について、 a
2
(ｴ)
(ｱ)
, b 2 , c 2 を求め、右の
(ｲ)
(ｳ)
(ｴ)
a2
表を完成しなさい。
b2
c2
a 2 , b 2 , c 2 の間にはどんな関係がありますか。
(3)
問2
下の図の直角三角形で、残りの辺の長さを求めなさい。
( ｱ)
(ｲ)
(ｳ)
12㎝
5㎝
10㎝
13㎝
5㎝
3㎝
3年
数学科 『三平方の定理』(ピタゴラスの定理)
―4―
ピタゴラスの定理(三平方の定理)の使い方
次のそれぞれの図の x の長さを求めてみましょう。
( ｱ)
(ｲ)
(ｳ)
9
χ
χ
4
3
5
8
χ
4
( ｵ)
(ｶ)
( ｷ)
χ
5
6
13
χ
5
12
8
χ
(ｹ)
(ｸ)
(ｺ)
8
7
χ
χ
10
χ
7
8
6
1辺の長さが7㎝の正方形
の対角線の長さ
( ｽ)
(ｼ)
( ｻ)
6
χ
6
χ
6
9
5
3
6
1辺の長さが6㎝の
正三角形の高さ
4
3
10
3年
問3
問4
数学科 『三平方の定理』(ピタゴラスの定理)
―5―
次の図のそれぞれの長さを求めなさい。
( ｱ)
縦 3 ㎝、横 4 ㎝の
長方形の対角線
(ｴ)
対角線が 6 ㎝と 12 ㎝の
ひし形の1辺の長さ
(ｲ)
1辺が 4 ㎝の
正方形の対角線
( ｵ)
(ｳ)
1辺が 6 ㎝の
正三角形の高さ
上底が 5 ㎝、下底が 11 ㎝、
高さが 7 ㎝の等脚台形の等辺の長さ
次の図の x の長さを求めなさい。
(ｱ)
(ｲ)
(ｳ)
χ
15
4
3
9
45°
χ
4
χ
(ｵ)
(ｴ)
(ｶ)
10
25
3
60°
χ
χ
30°
χ
20
( ｷ)
(ｸ)
(ｹ)
6
6
χ
45°
χ
60°
χ
45°
6
3年
問5
数学科 『三平方の定理』(ピタゴラスの定理)
次の 2 点間の距離を求めなさい。
(ｱ)
A(1 , 2 ) , B(4 , 6 )
(ｲ)
A(2 , 1) , B(6 , 7 )
(ｳ)
A(− 3 , 1) , B (2 , 6 )
(ｴ)
A(− 5 , − 6 ) , B (2 , − 3)
問6
次の問いに答えなさい。
(ｱ) 半径 10 ㎝、中心からの距離が 6 ㎝のところにある弦の長さ。
(ｲ) 半径 6 ㎝の円の中心から 16 ㎝離れた点から引いた接線の長
さ。
(ｳ) 半径 3 ㎝の円と、半径 5 ㎝の円が外接していると
きの共通接線の長さ。
(ｴ) 半径 10 ㎝の球を、中心から 8 ㎝のところを平面で切断したときの
切断面の面積。
―6―
3年
問7
数学科 『三平方の定理』(ピタゴラスの定理)
―7―
次の x ， y の長さを求めなさい。
(ｲ)
( ｱ)
( ｳ)
x
7
2
x
y
x
45°
3
5
(ｴ)
10
( ｵ)
(ｶ)
y
30°
x
y
2 2
45°
6
x
x
3 2
3
( ｷ)
(ｸ)
(ｹ)
75°
2 6
x
x
3 7
60°
60°
y
問8
x
2 3
5 7
y
次のそれぞれの長さを求めなさい。
(ｱ) 縦 1 ㎝，横 4 ㎝，高さ 2 ㎝の直方体の対角線の長さ。
2㎝
4㎝
(ｲ)
1 辺が 5
1㎝
3 ㎝の立方体の対角線の長さ。
5 3
3年
数学科 『三平方の定理』(ピタゴラスの定理)
―8―
(ｳ) 底面の半径が 4 ㎝，高さが 8 ㎝の三角すいの母線の長さと表面積。
8㎝
4㎝
(ｴ) 底面が 1 辺 4 ㎝の正方形、母線の長さが 8 ㎝の正四角すいの高
さと表面積。
8㎝
4㎝
(ｵ)
1 辺が 6 ㎝の正四面体の高さと体積。
6㎝
問9
右の図は、AC＝5 ㎝、CB＝6 ㎝、∠ACB＝90°の直角三
D
角形 ABC を底面とし、DC＝8 ㎝を高さとする三角すいであ
る。
2 辺 AD,BD の中点をそれぞれ P,Q とするとき、次の問いに
答えなさい。(1998 学力検査)
(ｱ)
2 点 A,Q 間の距離を求めなさい。(三平方の応用)
Q
8㎝
P
6㎝
(ｲ)
3 点 P,Q,C を通る平面でこの立体を切り、2 つの立体に
分けるとき、
頂点 A を含む方の立体の体積を求めなさい。
C
B
5㎝
(三角すいの体積)
A