1. EDUCATION

2。
のよう
に
れて
ピ
スの
表現さ
タゴラ
定理はど
きたか
中学校の数学 で学習する定理のなか
で,と りわけなじみ深 い定理 の 1つ である。直角三角形の三辺には α2+′ =
2と ぃ
θ
ぅ関係が成 り立つ とい うことを知 ったとき,そ の意外な事実に感動 した
ピタゴラスの定理
(三 平方の定理)は
人も多いのではないだろうか。
さて,そ のピタゴラスの定理は,現在 の中学校 の教科書では図 2.1の ように
｀
表 現 され て い る.
定理
直角三 角形の直角をはさむ 2辺 の
長さをcと
長さをα
, ら
,纂 通の
すれ ば,次 の関係が成 り立 つ 。
α2+ら 2=c2
図 2.1 現在 の 中学校教科書 の ビタゴラスの定理
:
現在のピタゴラスの定理は, このように直角三角形の三辺の関係 として表現
されている.し かし, ピタゴラスの定理が以前からこのように表現されていた
かというと,そ うではない。明治時代になって欧米の科学技術が 日本に紹介さ
れ定 着 して い く過程 の なか で,数学 の教 科 書 に見 られ る ピタ ゴ ラ スの定理 の 表
現 は,現在 の それ と異 な って い る。
以下では, ピタ ゴラスの定理 はこれまで どのように表現 されて きたかについ
て,歴 史的に振 り返 ってみたい。 この定理 を例 に しなが ら,本 来欧米 の学問 で
あ った科 学 (数 学 )を いかに 日本語的に適切 に表現す るかに取 り組んだ人 々の工
夫 と努力 を明 らかに したい と思 う。 そ して最後に,現在 の教科書 で二辺の関係
として表現 されて い るピタゴラスの定理 の意味 につ いて考 えてみ た い。
2δ
2.1
2
ピタゴラスの定理はどの ように表現 されてきたか
ピ タ ゴ ラス の 定理 とその 証 明
2.1.1 もう 1つ の ビタゴラスの定理の表現
大正時代 の 中学校 (旧 制 中学校 )は ,尋 常小学校 6年 間の義務教育 を終 えた
生徒 が進学す る 5年 制 の 男子 中等学校 であった。当時 中学校 の数学費 は「算
術」
,「 三角法」 の 4つ の科 目に分 かれてお り,そ れぞれの科
,「 幾何」
,「 代数」
目に応 じて異なる教科書 が使 われて い た。図 2.2に あげ たの は,大 正 5(1916)
年 に出版 された幾何 の教科書 に載 って い るピタ ゴラスの定理 である。 その 内容
は,三 辺上の正方形 の面積 の関係 につ いて加法が成 り立つ とい う内容 であ り
,
現在 の ピタゴ ラスの定理 の表現 とは異なって い る。
直角三 角形 二於 テ,斜 邊 ノ
二
上 ノ正方形 ハ,他 ノニ邊 ノ上 ノ正方形 ノ和 等
192 -― 理 ワ〇
シ 。(Pythagorasノ 定理
直角 三 角形
ABC二
)
3
於
テ Bcフ ソ ノ斜 邊 ナ リ
D
トス.然 ″ トキ´ヽ
BCa=AB2+AC2
ナ″ ベ ン.
図 22
大正時代 の 中学校教 科書 の ピタゴラスの定理
ここに示 したように,現 在の教科書 と大正時代 の教科書 に見 られるピタゴラ
スの定理 の表現は異なっている。両者 ともその事実 だけが教科書で示されてい
るわけではない.そ れがなぜ成 り立つのか とい う証明も重要な事柄 として扱わ
‐
れてい る。
2.1.2 表現 されなかった ピタゴラスの定理
a)江 戸時代の算術書『塵劫記』
ピタゴラスの定理に相当する事実 は, 日本 のみならず諸外国においてもな な
21
・
27
ピタゴラスの定理 とその証明
り昔から知 られていた.3,4,5と い う数値 を使 って三角形 を作 ると直角三角
形になるとい う事実
(ピ
タゴラスの定理の特殊な場合)も ,お そらく日常生活
のなかで伝承 されてきた庶民の知恵であったのだろ う。
ところで,欧 米の科学技術が取 り入れられる以前の 日本 の場合, ピタゴラス
の定理はどう扱われていたのだろ うか ? 江戸時代 を通 じて庶民の算術書 の代
表であった『塵劫記』 とい う本 をとりあげてみたい。寛永 4(1627)年 に最初 に
世に出た『塵劫記』は後世に大 きな影響 を与えた算術書 であった。庶民は この
本 を通 して算術 を学んだのである。
ピタゴラスの定理に類する内容 を見る前に,簡 単 にこの本の内容 を紹介 して
おこう。 いまか ら約 400年 前に出された『塵劫記』の内容は,現 在われわれが
日ごろ使 ってい る数量のい ろいろな表現 の仕方や計算方法 のなかに生 きて い
る。たとえば,大 きな数 を表現す るときに使 う位 の名称 がそ うである。『塵劫
記』の初めの部分には,そ の名称が 21個 あげてある
.
一,十 ,百 ,千,万 ,億 ,兆 ,京
(け
い),咳 (が い),稀
(じ ょう
),溝 に う),澗 (か ん),正 (せ い),載
恒河沙
(こ
うが しゃ),阿 僧祗
(ふ か しぎ),無 量大数 (む
(あ
(じ
い),極
ょ),穣
(ご
く),
そうぎ),那 由他 `さ
(な ゆた),不 可思議
りょうたいす う)
私 たちはせ いぜ い兆 ぐらい までしか使わないが,現在使われてい る数の位の
名称 は江戸時代 の『塵劫記』にすでに見ることがで きる.ま たこの本には,現
在小学校で習 う「三二が四」か ら始まる九九の呼び名やそろばんでの計算の仕
方 も示されてい る
.
この『塵劫記』は,問 題 とその解答力り頂々に並べ られた算術書であ り,一 見
すると問題集の ような本である.し か し,問 題 の解答は示 されてい るが,そ の
解答がどうい う考え方で出て くるかについては詳 しい解説はない.そ こに見 ら
れる問題は多種多様であ り,土 地の測量,桶 の容積 を求める問題,本 こ りが立
ち木の高さを求める独特 の方法等々,当 時の実際的な生活を題材 とした問題が
ほ とんどである。特にそれ らの問題のなかで興味深 いのは,実 際的な生活には
役立ちそうにない娯楽的な問題がい くつか見 られる.点 である。数学は,今 や 多
くの人に嫌われる教科 となって しまったが,当 時は数学 の問題 を解 くこと自体
が,人 々にとって一種の楽 しみでもあったことを物語ってい る。
28
2
ピタゴラスの定理はどのように表現されてきたか
そ こで娯楽的な問題 の 1つ 「ねず み算」 をとりあげてみ よう
.
「1月 に,ひ とつがいのネズミがいて,子 を 12匹 生む.月 末には親 と子を合 わせ
て 14匹 になる。 これらのネズ ミが 2月 には,1月 に生 まれた子ネズ ミも成長 し
てそれぞれ 12匹 の子ネズ ミを生む.そ の結果 2月 末には全部で 98匹 になる。こ
のようにして親 も子も,月 々に 12匹 ずつ子を生む とすると,12月 末にはネズ ミ
の総数 はい くらか ?」
この問題 の解答は,次 の ように書かれてい る。
「法に,ね ずみ二疋に七を十二たび掛 くれば,右 のねずみの高としれ申候也」
要す るに,そ の結果は,2×
712と
ぃ ぅことであ り,そ の数 27,682,574,402
匹 とい うのが答だ とされている。
どうして 2× 712と ぃ ぅ式が得 られ るのだろうか ?
その解説 は『塵劫記』
には書かれていないので,現代流にこの問題 を解 いて,そ の式が正 しいのか ど
うか を確 かめてみよう。
まず,π か月後のネズ ミの数 を α
″として,α ″とα″
+1と の関係式 を求めてみ
る。前め月のネズ ミの数 が ら とすると,つ が いの数は %/2と なる。その 月に
生 まれたネ ズ ミの数は ら/2× 12と なるので,次 の月のネズ ミの数は,前 の 月
の数 と合 わせて,の 十の/2× 12と なる。 したが って
,
α
"+1-%十 下
とい う関係式が成 り立つ.数 列
ので,そ の一般項は α″=14× 7″
×12=7α ″
(α ″
)は ,初 項 a=14,公 比 7の 等 比数列 な
1=2× 7″ である。 2=12の とき,α 12=2× 712
とな り,『 塵劫記』の答は正 しい答 といえる。
b)事 実としてのビタゴラスの定理
さて,『 塵劫記』では ピタゴラスの定理 は どう扱われ て い るのだろ うか ?
問題 と解答を順次並べ た同書には, ピタゴラスの定理 に相当する文章 も証明 も
見当たらない。 しか し,そ のなかにある問題 と解答を検討 してみると,当 時 ピ
タゴラスの定理 の事実 は知 られていたことがわかる。その問題 とい うのは「勾
配 の延び」の問題である
.
ここで,「 勾配 の延び」 とい うのは,図 2.3の 直角 三角 形 ABCに お いて
,
2.1
ピタ ゴ ラ スの定理 とその証 明
BCの 長 さ
を取 り去 っ た ADの 長 さ で
あ る。 BCを 一 定 に し た と
斜辺 ACか ら下辺
ヽ
き,ABの 長 さに応 じて AD
の長 さは変化す る.『 塵劫記』
には,ABが 1寸 刻 み に 1尺
尺
に な る ま で の ADの 長 さ
図 2.3
(延 び)が 示 して あ る.こ れ
は家 を建 て るとき軒先 が どの くらい 出 るか を知 るため に計 算 され て い た ら し
.
い
.
ABの 長 さが 5寸 の とき,ADの 長 さは,『 塵劫記』では 1寸 1分 8厘 3糸
と記されてい る。1尺 は 10寸 ,1寸 は 10分 ,1分 は 10厘 ,1厘 は 10豪 ,1身
は 10糸 なので,ADの 長さは 1.1803寸 とい うことになる。 これをメー トル法
直すと,1寸 は約3.03
￨と
cmな
ので,ADの 長さ1.1803寸
￨ま
約3.576309
cm
である
.
`る
今度はピタゴラスの定理を用いて実際に計算してみ と,ADの 長さは
/25+100-10の 計算で 1.1803… 寸となるから,『 塵劫記』に示された値は正
確な値である。ADの 長さが 1寸 1分 8厘 3糸 という結果は,現 代の精度でい
,
えば,lcmの 1,000,000分 の 1の 精度 の測 定値 であ る。 これは きわめ て高 い
精度 である.こ の ような高 い精度 の結果は,測 定器具 ど使 って得 るこ とは到底
不可能 である.ピ タ ゴラスの定理 の事実 を使 わなければ,得 られない結果 であ
る。
『塵劫記』に載 って い る問題 とその解答 を検討 してみ る と, ピタゴ ラスの定
理に相当する事実は当時知られていたことがわかる。 しかしながら,そ の事実
を明確 に表現 した文章は見当たらないのである
それでは,事 実 を明確 かつ誤解 のないように表現す る,そ してその表現 の意
.
味することが一般的に正 しい とい うことを論理的に証明する,現 在 の数学 に見
られるこのょ うな当た り前 の考 え方の源は, どこにあるのだろうか ? この源
をら きとめるには,こ の定理 の名称 にもなっている「 ピタゴラス」 とい う名前
の人物が生 きた古代 ギ リシャまでさかのぼ らなければならない。
2
θθ
2.1.3
ピタゴラスの定理はどのように表現されてきたか
ビ タ ゴ ラス の 定 理 の 証 明
｀
a)証 明の始 まり『ユークリッド原論』
紀元前 3世 紀 ごろの古代 ギ リシャで編集 され た幾何学 の本に 『ユー クリッ ド
原論』 とい うものが ある。 この本 の形式 と論理 の組み立て方は,そ の後 の数学
研究の模範となり,い わば数学の「バイブル」的存在であった。またこの『ユ
ークリッド原論』は 19世 紀末まで中等学校の幾何学の教科書 としてそのまま
使われた本でもあった。
13巻 か らなる『ユー ク リッ ド原論』 の 第 1巻 を見 る と,ま った く不親切
;
無愛想 な本 である.序 文 もな く,い きな り幾何学 の用語 の定義か ら始 まる。 そ
れに続 いて「公 準」 (「 公理 」)が あげ られ,命 題 1の 証 明,命 題 2の 証明 と続
き,最 後 の命題 48の 証明で終 わ る。 これが 第 1巻 の 内容 である。他 の巻 も同
様 に,命題 を示 してそれ を論理的に証明す るとい うパ ダー ンが繰 り返 され る。
第 1巻 の最初 の 内容 を簡単に概観 してお こ う。 まず,定義 は「′
点」
,「 線」か
ら始 ま り
,
1)点 とは部分のない ものである。
2)線 とは幅のない長 さである。
3)線 の端 は である。
,点
:
とい う具合 に 23個 の用語の定義 が示 されて い る。 そのなかには現在小学校 の
算数 で習 う「正三角形」,「 正 方形」 「長方形」 な どの図形 の定義 も出て くるの
,´
で ある。 た とえば定義 15は 円の定義 であ り,次 の ように述べ られて い る。
「円とはその図形の内部にある一定′
点から曲線に至る距離がすべ て等 しいような
曲線によって囲まれた平面図形のことである.」
23個 の定義 に続 いて,5つ の公 準 が あげ られて い る
.
5つ の公準
‐
1)任 意の点から任意の点に直線を引 くこと
2)有 曝直線を連続して一直線に延長す ること
3)任 意の点と距離 (半 径)と をもって円を描 くこと
4)す べ ての直角は互いに等 しいこと
21
31
ピタゴラスの定理 とその証明
5)1直 線が 2直 線に交わ り同 じ側 の内角 の和 を 2直 角 よ り刻ヽさ くす るな らば
,
この 2直 線は限 りな く延長 され ると 2直 角 より刻ヽさい角 のある側 において交
わること
これはみな当た り前のことばか りで,い ったい何 の意味があるのだろ うと思
いた くなる.と ころが,実 はこのあとに続 く命題の証明にとっては欠かせない
重要な事柄なのである。要するに,こ こにあげられてい る公準は,命 題 の証明
を行 う際に証明なしに使 ってよい命題 であ り,い わば証明の前提なのである。
したがって,数 学で 1つ の事柄 を証明す る場合,こ の公準に相 当す る前提
,証 明を行 う
(現 在 では一般に「公理」 と呼ばれてい る)が 明示 されなければ
ことはできないのである。 これは申学校 の図形の学習でも同 じことである.た
とえば「二等辺三角形の両底角は等 しい」の証明の場合,三角形の合同条件 を
ヽ
いわば公準 として証明を行 うのである。
それでは,『 ユー クリッ ド原論』の最初 にある命題 を使 って,そ こでの証明
はどんなものかを見てみよ う。
b)「 与えられた有限の直線の上に正三角形を作ること」を証明する
この命題は証明するまでもな く,紙 に直線を引いて,コ ンパ ス を使 って同じ
長 さの辺をとれば,簡 単 に正三角形を作図す るこ とができる。 しか し『ユー ク
リッ ド原論』 では,正 三角形 を作 ることができることを,先 の公準 だけか ら諭
理的に導いてい るのである
(図 2.4).
ABに お いて,点 A を中心 として半径 ABの 円 を,同 様 に点 Bを 中心 と
して半径 ABの 円 をか くこ とが で きる (公 準 3).2つ の 円 の 交 点 を Cと し,そ
線分
れ ぞれ点 A,Bと 結 ぶ こ
とが で き る (公 準 1).
円 の 定 義 よ り,AB=
AC, AB=BC,
同 じも
のに等 しい もの どう しは
等 しいの で,AC=BC.
ゆ えに三 角 形
ABCは 正
三 角形 とな る
.
という証明である。
図 2.4
θ2
2.ピ
タゴラスの定理はどのように表現 されてきたか
実際 に作図ができるか どうかが問題なのではな く,設 定 された前提 (公 準)
から論理的に導 くことがで きるか どうかが問題なのである.こ のように論理的
に導かれた命題が一般に「定理」 と呼ばれる命題であ る。
現在 の数学 で も,あ る事柄が正 しい ことを証明す るのに,実 際に作 図 した
り,実 際に測定 した り,実 験 した りして確 かめることだけでは十分 とはみなさ
れない.論 理的な推論が要求されるのである。 まさに命題 を明確 に文章に「表
現す る」
,そ してそれを論理的に「証明す る」 とい う数学の学習の基本的な考
え方は,『 ユー クリッ ド原論』か ら始まるのである
.
c)ピ タゴ ラスの定理 と証 明
ピタゴラスの定理は,こ の『ユー クリッ ド原論』第 1巻 の最後から 2番 目の
命題 47に ある。それは次の ように表現されてい る
.
命題 47:「 直角三角形において直角の対辺の上の正方形は直角をはさむ 2辺 の上
の正方形の和 に等 しい。」
こ れ に続 く第 1巻 最 後 の 命 題 48は ,「 三 角 形 に お い て 1つ の辺 上 の正 方 形
が ,残 りの 2辺 の 上 に立 つ正 方形 の和 に等 しけれ ば,三 角 形 の残 りの 2辺 の な
す角 は直角 で あ る.」 とい う内容 で あ り、 命題 47の 逆命題 とな って い る。
要 す るに,全 部 で 48命 題 か らな る第 1巻 は, ピタ ゴ ラ スの定 理 を証 明す る
こ とを 目標 に して論理 的 に組 み立 て られ て い る.た とえ る と, ピタ ゴ ラスの 定
理を頂点 とするピラミッドを作るように,そ の証明の基礎 となる命題が 1つ
つその順番を考慮 しながら組み立てられているのが,第 1巻 なのである。
1
それでは,命 題 47,す なわちピタゴラスの定理 の証明ぼどの ようなものだ
ろうか,そ の概略を述べてみよう (図 2.5)。
∠Aを 直角 とす る直角三角形 ABCに おいて,そ れぞれの辺上 に正方形 を作図
す る.頂 点 Aよ り辺 BCに 垂線 を下 ろ し,図 の よ うに補助線 AG,CG,AD,
JDを 引 く。 まず,△ ABGと △ CBGに 注 目す る と,底 辺 BGと 高 さ ABと が
等 しいの で,△ ABG=△ CBG.△ CBCと △ DBAに お いて 2辺 とその間 の角
が 等 しいの で,△ CBG≡ △ DBA。 また,△ DBA=△ DB」 であ る.ゆ えに
,
△ ABG=△ DBJ。 これ よ り正 方形 ABGF=長 方形 BDKJ,同 様 に して,正 方
形 AcHI=長 方形 JKEC.し たが って,正 方形 ABGF+正 方形 ACHI=正 方 形
BDECが 成 り立つ
.
.
21
ピタゴラスの定理 とその証明
"
以上のように, ピタゴラスの定理自体を文章として表現 し しか もそれ を証
明するとい う考え方は,古 代ギ リシャの『ユークリッド原論』に まで さか のぼ
,
れる
.
K
図 2.5
一方,江 戸時代の『塵劫記』の場合, ピタゴラスの定理 に相当する事実は 日
本でも知 られていた。 しかしながら,こ の事実が直角三角形の三辺において成
り立つ事柄 として文章で表現され,そ れが論理的に証明されるとい うことはな
かった。
ところで,現 在 のわれわれが数学 を含め て科学的研究 を行 う際 に継承 して い
る考 え方 は,『 塵劫記』 の伝統 か,そ れ とも古代 ギ リシャの『ユ ー ク リッ ド原
ヽ
論』 の考 え方 か とい えば, もちろん後者である.『 ユ ー ク リ ィ ド原論』か ら始
ま り,そ の後 ヨー ロ ッパ で発展 した数学 の考 え方 が本格的に 日本 に移入 された
のは明治時代 になってか らである.そ の際, ヨー ロ ッパ の 言語 で書かれた数学
の論理 をいかに して適切 に 日本語で表現す るか とい う問題 に,当 時 の 人々 は取
り組 まなければな らなか った
.
そこで,以 下で￨ま こあ問題に取り組んだ日本最初の数学者の努力と工夫を明
らかにしたいと思う
.
2.ピ タゴラスの定理はどのように表現されてきたか
数 学 の 日本語 表現 と菊池 大麓
2.2
2.2.1 縦書 き ピタゴラスの定理
日本 の近代化 を強力に進め ることに した明治政府 は,欧 米 の社会制度,科 学
技術 を取 り入れ るための政策 を矢つ ぎばや に行 って い った。西洋 の近代学校制
度 をわが国に定着 させ る目的で明治5(1872)年 に公布 され た「学制 」 もその 1
つ である.こ れによ り今 日の学校教育 の制度的な基礎 が作 られたので ある。 当
然 のこ となが ら,小 学校 ,中 学校 の学科 には,数 学 を含め た西洋の諸科学 も教
をいかに 日本語で表現 し,数 学 とい う学問の考 え方 を定着 させ発展 させ るか と
い う問題 は,数学 とい う学科 の教科書 をいかに作 って い くか とい う問題 で もあ
ったのである。
第二百三十六條 直角三角形 ノ斜邊上 二作 ンル正方形 ハ自余雨邊
上 二作 ンル雨正方形 ノ和 二等 シ
＞８ ヲ以テ所題 ノ直角 三角形 トシＭＰＱ フ以テ三邊上 二作 ンル
正方形 トシ而シフト月 ヲＣ
Ｂ卜正交 二作り畑田ヲ引 キな口及 ビ８ロ
ナル雨三角形 二就テ考 フルニＣ鮎 二於ヶル角
ハπ角 二直角テ加 ヘタルモノヨリ成 ルフ観 ル
且ス甲形 ノｍ及ビｍハ乙形 ノＲ
Ｃ及ピ∝二等 シ
由テ雨直角三角形 ノ相 等 シキヲ知 ル然 ルニ
な里 三角 形 ハ之 卜正高及 ビ底邊 フ同 ジウ スル直角形 ８可ｕノ牛
二等 シタ８日三角形 ハ之 卜正高及 ビ底邊 ヲ等 シウスル正方形 Ｐ
ノ牛 二等 シ絶 テ直角形 Ｒ及 ビ正方形 Ｐハ等積形 ナリ
同理 二体 り直角形 ｓ及 ピ正方形 Ｑノ等積形 ナルヲ知 ル
故 ニリｔ 即 チＭｌ お 二等 シ
縦書 きピタ ゴラスの定理
図 26
︲
︲
︲
︲
︲
︲
︲
︲
︱
︲
︱
︲︲ ︱
︲
︲跛 鵬 世 ︲
︲
︱鰍 ︱︱
︲
︲肺順牌卜師︲
︲︲
︱
︲ｉ
︲肺鰈︲
︲︲
ｉ
︲Ｌ 肛 Ｗ 紙 ︲︲
︲︲
肺鵬︲
ｌ肛＝順雌肥脚 ︲
肝 腋 １
︲Ｉ Ⅳ 肝 世廠 ︲
柵儡鵬
︲︲ 情 雌 ︱
︲
︱性肝Ｌ懸＝牌陣艤ｒ肝鴫ｌ
︲
︲
ｌ
ｉ
柵︲
︲
︲ ︱
︲︱︱ ︱
■ ︱︱ トト ト Ｆ 卜 ﹂ Ｆ ト ト ト ト 旧 ︱
ｉ
︱
︲
︲
︱しｒ︲
︲ｍ 鵬 鵬 旧 ︲
︲
︲
・
︲
︲
︲
︱
︱
︲
︲
︲
︲
︲
︱︲ ︱ ︱
︲
︲
︲
︱
︲
︲︲
科 として位 置づ け られて い る。 したが って, ヨー ロ ッパ の言語で書 かれた数学
2.2 数学の日本語表現と菊池大麓
%
明治初期 には数学 の教科書 は原書がその まま使 われて いたが,徐 々 にその翻
訳書 が使 われ るよ うになった。 その ときに,ま ず問題 となったのは,教科書 の
文章 を縦書 きとす るか,横 書 きとす るか とい う問題 であった.そ のころ出版 さ
れた翻訳教科書 の多 くは縦書 きの教科書 であ り,横 書 きで書 かれた数学 の来 章
を 日本 の伝統的な縦書 きで表現 した もので あ った。 その縦書 き数学教科書 のな
かの ピタ ゴラスの定理 が図 2.6に あげ たものである。
この縦書 きの ピタ ゴラスの定理 が載 って い るのは,明 治22(1889)年 に出版 さ
れた野 口保興 とい う人 の書 い た 『数理学 平面幾何学之部』 とい う教科書 であ
る。 この本 のタイ トル となってい る「数理学」 とい う用語 に も注 目す る必要が
あ る。 これ は 当 時使 わ れ て い た Mathematicsの 訳 語 の 1つ で あ る.当 時
Mathematicsの 訳語 として使 われた用語 には「数学」,「 数 理学 」,「 算学」 な
どがあ り,Mathematicsの 用語す ら,明 治 20年 代 にあって もまだ統 一 されて
い なかったので ある。
数学 の専 門用語 の訳語お よび数学 の 日本語表現 が統一 されて い なか った明治
20年 代 に, 日本流 の数学 の文章表現 を工 夫 し,独 自の数学 の教科 書 の作成 に
努力 した人物が菊池大麓 であった。
2.22
菊池大麓 の ビタゴラスの定理
,明 治時代 を通 して 日本 の数学 の近代化 に重要 な
役割 を演 じた人物 であ る.12歳 の ときに幕府派遣留学生 として イギ リスに渡
り,ケ ンプ リッジ大学で数学・物理学 を修め て優 秀 な成績 で卒業 した.菊 池は
約 11年 間の留学 を終 えて帰国 し,明 治 11年 早 々に帝国大学 (現 東京大学)教
菊池大麓 (18551917)は
授 に就任 し,数 学 の講義 を担当 した。24歳 の若 さであった。明治 14年 には帝
国大学 に数学科 を創設 し,数 学研究 の普及 と発展 の基 礎 を築 いた。菊 池は 日本
人初 の西洋数学 の専 門家であ った。
当時帝国大学 の数学教授 であった菊池が明治21(1888)年 に執筆 した 『初等幾
何学教科書』 は,そ の後 の 日本 の数学教育 を決定づ けた教科書 であった。 どの
ような点で, この教科書 が重要 なのか ? まず,ビ タ ゴラスの定理 とその証明
を例 に して菊地 の工 夫 を見 てみ よう (図 2.7).
2.2.3 数学 の 日本語表現 のモデル『初等幾何学教科書』
点であ
まず,こ の教科書 の特徴 の第 1′ 点は,横 書 き数学教 科書であるとい う′
2.ピ タゴラスの定理はどのように表現されてきたか
定理
ノ
直角 三角形
9・
二 於 テ, 斜邊
ハ llLノ ニッノ 邊
ノ 和 二 等 シ・
正方形
方形
三角形 JttC二 於テ 角
レキハ
然′
BCノ
BACヲ
上 ノ 正方形 ハ
ノ 上
ノ 上ノ 正
直角 ナリ トセ ヨ
:
BA tt AC′ 上 ノ 正方形
ノ 和 二 等 シカ″ 可 シ・
ナレル 護明 フ 掲 ク・)
(此 定理 ハ 頗 ル 重要 ナル フ 以テ ニ ッ′ 異
第一
'證
BCノ
形
BDEC
明法・
上 二 正方
ヲ:
上 =正 方形
AB ′
BAFGブ
J
ACノ 上 二 正方形
ACHK ヲ 作 レ
AL ヲ BD 二 平 行 ニ
引 キ ; AD,CG フ 結
;
ヒ付 ケも
角
角
CBD,ABGハ
ABCヲ 双 方
各 直角 ナル ヲ 以 オ, 相等 ン
;
ヘ 加 フ ィハ
,
図 2.7『 初等幾何学教科書』での
る。先ほどの例に見 られるように,そ のころ縦書 きの数学教科書 も出版 されて
お り,縦 書 き,横 書 きが混在 していた時代であった。菊池のこの教科書 は,著
者が当時の西洋数学の第一人者であった こと,そ れに文部省か ら出版されたと
い うこともあってその影響は大 きく,そ れ以後 の数学教科書では横書 きが普通
となったのである。
また,図 2.7に あげたこの教科書 のピタゴラスの定理 を見て気づ くことは
普通われわれが数学で使 う記号が使われていない点である。 これがこの教科書
,
22
角
ABDハ
然 レハ
GBC二
等 ン,
ABD,GBC二
三角形
ニ ッノ 邊
爽角
角
AB,BDハ
ABD今
爽角
θ7
数学 の 日本語表現 と菊池大麓
於 テ,
ニ ッノ 邊
夫 々
GBC二
等 シキ
GB,BC二
等 ンク ,
ヲ 以 テ,
ニッノ 三 角形 ハ 全 ク 相等 シ;
今
BAC,BAFハ
■,9・
各 直角 ナル ヲ 以 テ ,
FACハ
ナ リ;
ー 直線
I, 3,
GBC
同 シ 底邊 GBノ 上 二 在 ワ
Hl,2.
故 二 正方形 BFハ 三 角形 GBCノ ニ倍 ナ リJ
同様 二 矩 形 BLハ 三 角形 ABDノ 三倍 ナ フ
故 二 矩形 BLハ 正方形 BF, 即 ABノ 上 ノ 正方形 ■ 等
卜 正 方形 BF′ 、 同 シ 高 サ ニ ンテ
故 二 三角 形
,
;
;
同様 二 矩形
CLハ AC
′ 上 ノ 正方形 二 等 ンキ ノ 證 明
スル ヲ 得 :
而 ンテ 矩形
BL tt CLハ
合セテ
BE,
即
BCノ
上ノ 正
方形 二 等 ン
;
散二
BCノ
上 ′ 正方形 ↑
AB tt ACノ
上 ノ 正方形
ノ
′
和 二 等 シ・
ピタゴラスの定理 と証明
の第 2の 特徴である。 たとえば ∠ABCと 記号 で書 くべ きところを「角 ABC」
としたり,等 号「 =」 が使われていない。そのころこのよ うな記号が使われて
いなかったとい うのではな く,数 学の記号をあえて使わない とい うのが菊池の
意図であった。現在では「 ∠ABC」 とい う記号 は,「 角 ABC」 と読む のが普
通である。 しか し,そ のころはこの記号の読み方は人によってい くつかの読み
方があり,一 定 していなかったのである.そ こでその読 み方 を何 とか統一 しよ
うとしてあえて記号 を使わず,菊 池は「角 ABC」 と書 いたのである。
■
"
ピタゴラスの定理はどのように表現されてきたか
2
第 3の 特徴は,数 学における日本語文章表現 の統一である.当 時の 日本で
書 き言葉 と話 し言葉には独 自のスタイルがあ り,教科書の文 をその まま口述す
ることは都合が悪かったとい う。そこで実際の数学の授業 では,教 師 も生徒 も
教科書の文章 を話 し言葉に直 したうえで教授 し,学 習するのが実情であった
1ま
.
しか し幾何学の専門的な内容が書かれた教科書を話 し言葉に直す場合,そ の文
章の意味があいまいになった り,誤解 をまねいて しまった りする。 このよ うな
弊害 を防 ぐために菊池が工夫 したのは,従 来の教科書の文体 を変更 して,可 能
なか ぎり口述 しやす いような文章 にす ることであった。
・…・とせ よ」
そこで数学の文 章表現 に,「・
,「 然 る ときは …… な るべ し」
,
「…… を結び付けよ」 とい う形式 を教科書に取 り入れ ることにしたのである。
書 き言葉の多少の不 自然さを犠牲にしてまで守 り抜 こ うとしたのは,幾 何学 と
い う学問の厳密性であった。幾何学的な概念
(用 語)の 明確な表現 と論理的に
進め られる定理の証明の厳密性がより重要であったのである。そして菊池が幾
何学 を学ぶ学生に期待 したのは,幾 何学 における明確 な表現や証明の厳密性 を
学ぶことによって, 自分の考えを明白に, しか も順序正 しく述べ る習慣 を身に
つけさせ ることであったのである。実際,菊 池は この本の序文で次の ように述
べ てい る。
「 自己 ノ思想 ヲ明 白二順序正 シク述 ブル ノ習慣 ヲ得 シムルハ 又幾何学 ヲ学 ブ ノ教
育上 ノ価値 ヲ増スモノナ リ.」
現在 の数学 の教科書 の文章は横 書 きが普通である, とい うよ りそのこ とさえ
意識 しないほ どになって い る。 またそこでは 日常 の話 し言葉 とも,普通 の書 き
言葉 とも違 ってお り,独 特 の言葉づかいが なされて い る。 た とえば「…… とす
る」,「 ゆえに……」,「・……せ よ」,「 つ ま り……」 などとい う表現 が 出て くる
.
語尾か らい えば少 々命令調で,親 しみに くい文章が並 んでい る。 ここに も数学
の専 門的な内容 を表現す る際に,厳 密 に表現 す ることを第一に考 えた菊池 の考
え方が現在 に生 きて い るとい える
.
2.3 三辺の関係か ら面積の関係 を導 く
2.3
″
三 辺の関係 か ら面 積 の 関係 を導 く
2.3.1 2つ の正三角形の面積に等 しい正三角形
さて,大 正期 の教科書
(図
2.2),そ れに明治時代の教科書
(図
2.7)で のピ
タゴラスの定理は,共 通 して直角三角形の三辺上の正方形の面積 の関係につい
て述べ た定理である。 しか し,現 在 では直角三角形の三辺の関係 を述べ た もの
がピタゴラスの定理である.そ の表現 の違 いはどのような意味をもつのだろ う
か
.
そ こで,次 の 問題 を考 えて もらい た い。
「2つ の正三角形 が与 え られた とき,そ の 2つ の正三角 形の面積 の和 に等 しい正
三角形 を求め よ.」
さて,こ の問題 の代表的な解答 をあげてみ よう (図 2.8).
まず,与 えられた 2つ の正三角形 の一辺 をそれぞれ χ,ノ とお き,求 め る正
一角形 の一 辺 を zと して,2を χ,ノ で表 す.2つ の正三 角 形 の 面積 をそれ ぞ
れ Sl,S2,求 め る正三 角 形 の面積 を S3と す ると,そ れ ぞれ の 面積 は次の式
で表 される
.
Sl=シ ,二
争
ヽ
S2=)'='L S3==ZfZ=fノ
ここで,S3=Sl+S2と いう関係が成 り立つので
,
f〆 =争
2+,2
であ る。
これ よ り
,
zは z=/χ 2+夕 2の 式で与えられる。
図 28
2
ピタゴラスの定理はどのように表現 されてきたか
`θ
この問題の解答 としては z=/χ 2+ノ 2で ょぃのであるが,ほ かにこの問題
2+ノ 2を
もう一度見直
を解 く方法はないだろうか ? そこで,答 の式,z=vケ
2と
2+ノ
も見れ る。す ると,各 正三角形の一辺
してみよう。 この式は z2=χ
χ,夕 ,zに はどんな図形的な関係が読み取れるだろうか ? これは,ピ タゴラ
スの定理 であり,χ ,夕 ,Zを 使 って三角形を作 るとzを 斜辺 とする直角三角
形 とな るこ とをこの式 は意味 して い る。 したが つて,こ の 問題 は,代 数 的 な計
算 を しな くて も,与 え られ た 2つ の正 三 角 形 の辺 を使 って直角 を作 り,そ の斜
辺 を一 辺 とす る正 三 角 形 を作 図す れ ば,そ れが求 め る正 三 角 形 (Ⅲ )な の で あ
る (図
2.9)。
図 2.9
2.3.2「 拡張 ピタゴラスの定理」
上 の例 が示すように,直 角三角形の斜辺上 の正方形 は他 の二辺上 の正方形の
面積 の和に等 しい.こ れは,正 方形に限 ったことではない.正 三角形の面積に
ついて もそのことが成 り立つ。それでは, どのような図形 であればこのことが
成 り立つのであろ うか ? 長方形,台 形,二 等辺三角形についてはどうだろ う
ｉ
ＩⅧ
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︱
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か?
これに関して「拡張 ピタゴラスの定理」 と呼ばれ る定理がある。『ユー クリ
2.3 三辺の関係から面積の関係を導 く
41
ッ ド原論』では,普 通 のピタゴラスの定理 とは別に,次 のよ うな定理 として示
されている
.
「直角三角形において直角 に対す る辺上 の図形 は直角 をはさむ 2辺 の上 の相似 で
かつ相似 な位 置に描かれた図形 の和に等 しい。
」
要 す るに,直 角 三 角 形 の三辺上 の 3つ の 図形 カサロ似 でか つ 相 似 な位 置 に あれ
ば,そ れ らの面積 に関 して加 法性 が 成 り立 つ の であ る。
また菊池大麓の『初等幾何学教科書』にも,普 通のピタゴラスの定理 とは別
の定理 として次のような定理がある (図 2.10).内 容 は『ユークリッド原論』
と同じである。
「直角三角形 ノ斜辺上 二書 キタル直線形ハ他 ノニ ツノ辺上 二書 キタル之 卜相似 ニ
シテ相似 ノ位置ニアル直線形 ノ和 二等 シ.」
図 210
2.3.3 三辺の 関係か ら「拡張 ピタゴラスの定理」 を導 く
しか し,現在 の 中学校 ,高 等学校 の教科書 には「拡張 ピタ ゴ ラスの定理」 は
文章 の形では出て こな い。 それでは,な ぜ現在の教科書には「拡張 ピタ ゴラス
の定理」 が表現 されて いな いの だろ うか
とに して,直 角 三 角形 の三辺 の関係
を導 くことが可能だか らである
.
?
それは,相 似 な図形 の面積比 をも
α7+う 2=θ 2か
ら「拡張 ピタ ゴ ラスの定理」
ク
2
ピタゴラスの定理はどのように表現されてきたか
直角三角形 の辺 上 の相似 な図形 を I,Ⅱ ,Ⅲ とし,そ れぞれ の 面積 を Sl,
S2,S3と す る.I∽ Ⅱ∽ Ⅲだか ら,Sl:S2:S3=α 2:ら 2:ι 2で ぁ る。 す な
わ ち,Sl=滋 2,s2=々 ι2,s3=力 θ2と ぉ け る。 ただ し,力 は実数 .直 角 三 角
形の三辺にお いては α2+ι 2≡ θ2が 成 り立 つ (ピ タ ゴラスの定理 ).
′
〕+シ =キ
よって,Sl+S2=S3が 成 り立つ。
菊池 の教科書 の ように正方形 の面積 の 関係 として ピタ ゴ ラスの定理 を扱 え
ば,こ れ とは別 に「拡張 ピタ ゴラスの定理」 を定理 として述べ なければならな
くなる。 しか し直角三角形の辺 の 関係 としての ピタ ゴ ラスの定理 としておけ
ば,「 拡張 ピタ ゴラスの定理」は論理的に導 き出せ るので,別 に定理 としてあ
えて述べ な くて もよいの である。
『ユー ク リッ ド原論』に見 られ るように, ピタ ゴ ラスの定理 は もともとは正
方形 の面積 の関係 を述べ た定理 であ り,戦 前 の 日本 の幾何 の教科書 の 多 くはこ
れ を踏襲 して いた。 しか し現在 の 中学校 の教科書 はこれ と異な り,直 角 三角形
の三辺の関係 として ピタ ゴラスの定理 を扱 って い る。三辺の関係 としての ピタ
ゴラスの定理 は,平 面上や立体 図形内の直角三角形の辺の長 さを求め るときに
スムー ズ に使 える重要 な定理 であ る と同時 に,そ れは「拡張 ピタ ゴラスの定
理 」 も論理的に内在 して い る定理 なの である
お わ りに
現在 の ピタ ゴラスの定理は, きわめてシンプルに表現 されて い る.し か し
,
現在 の ような表現になるまでには,昔 の 人々の工 夫があ ったのである。 そ もそ
も事実 を明確 に文章表現す るとい う考 え方が希薄であった 日本 の社会 に,欧 米
の科学的な考 え方が定着す る過程 には 多大 な努力が払われた とい える.日 本
の伝統的な縦書 きに対 して,横 書 きで表現 し, また 日述 しやす い書 き言葉 を作
りあげた菊池大麓 は,今 日の数学 の文章表現 に貢 献 した人物 のひ とりであっ
た。
以上見てきたように, ピタゴラスの定理の表現には 2つ のタイプが区別でき
る。直角三角形の三辺上の正方形の面積 の関係 と表現するか,辺 の関係 として
お
わ
り に
表現す るかの違 いであった。 これ らの表現の違 いは些細 な もので あるが,そ の
意味す るところは大 きい.辺 の関係 として表現 された現在の ピタ ゴ ラスの定理
は「拡張 ピタ ゴラスの定理 」 を論理的に導 き出す ことので きる定 理 であ り,前
者 の表現 よ りもその意味す る内容が広 い とい える。 この ような考察 をしてみ る
と,表 現 された ものか らどんな意味 を読み取 るか も,い かに表現す るか とい う
こ とと同様 に重 要 な問題 で あ る とい え る
(山 本
.
信也)
参 考文 献
1)藤 田 宏監修 (1996):新 しい数学 3,東 京書籍
2)I.S.プ ラウン,M.I.ワ ルター (1990):い かにして問題 をつ くるか―問題設定の技
術 (平 林一栄監訳),東 洋館出版
3)菊 池大麓 (1888):初 等幾何学教科書 平面之部,文 部省編纂局
4)菊 池大麓 (1897):幾 何学講義第一巻,大 日本図書
5)黒 田 稔 (1916):幾 何 学教 科書 〔平面〕,培 風館
6)中 村幸 四郎ほか訳 (1971):ユ ー クリッ ド原論,共 立 出版
7)中 村幸四郎 (1981):数 学史,共 立出版
8)野 口保興 (1888):数 理学 平面幾何学之部,通 信講学社
9)小 倉金之助 (1932):数 学教育史,岩 波書店
10)大 矢真― (1975):ピ タ ゴラスの定理 ,東 海大学出版会
11)佐 藤健一 (1994):江 戸庶 民 の数学,東 洋書店
12)吉 田光由 (1979):塵 劫 記 (復 刻版 ),岩 波書店
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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．
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貯
２
卸
畦
琳
︶
う
Ｆ
ム :外 国人の見た 「 日本語表現技法上達法」②
―
―‐―‐
―。
・
逆問題で見 る日本語表現
語 で相手の意志 を理解す ることを自然科学の逆問題 (与 え られた結
― 夕〕か らその原因または法 則 を同定す る問題 )に た とえよ う.逆
解 く場合 ,(1)解 が 存在 す る,(2)解 が唯一 (unique)で あ る とい
の条件 が満足 されれば,問 題 は適切 (well― posed)で あ る。 そ う
れば,問 題 は不適切 または悪条件
(ill―
posed)と な る。悪 条件 下
切な解 を得 るために,事 前情報や拘束条件 などを利用 して,非 常に
1
煩雑な計算 を行 う必要 がある。
日本語では,主 語を隠 した り,あ るいはわざと言及 しなかった りす るこ
とが特徴の 1つ である.主 張をあい まいにして,そ の解釈 を相手に任せ る
ことで,円 滑な人間関係 を図ろうとしてい るのであろう。朝 日放送のサ ン
デープ ロジェク トを見れば,そ のことが よくわかる。司会者の日原総一朗
氏は,い つ も「それで,何 がいけない ? 何が困る ? 何 がだめ ?」 と
,
言葉 を濁す政治家 たちを追及 して い る。番組に出演 して い る政治家 たち
は,「 いけない」
,「 困る」
,「 だめ」の主語 をやすやす と明言 しないこ とで
自分 の主張に対 して責任 を負わない ようにしている。
,
逆問題 の立場で解釈すると, 日本語 の読み手または聞き手は,主 語に関
する解 が唯一でない とい う悪条件 の逆問題にたびたび直面す る。 日常生活
︱ト ー
︱ ー 肝 ＝ ︱︱
︱
ー
︱
＝ ︱ ︱︱
一 ●︱ ︱ ●
¨
■
ーー
では,悪 条件 に対処す ることはそれほ ど深刻な問題ではない.事 前情報
(社 会経験)と 拘束条件 (社 会規則)を 参照すればよい.し か し,技 術論
文では,悪 条件 に対処するために,読 み手の神経回路が余計な計算 を行わ
なければならず,大 変苦労する。
学生 の書 いたレポー トには,主 語があいまいなケース も少な くない。 た
とえば,「 条件 が変わると,精 度が悪 くなった」 と書かれても,一 体何 の
条件が変わ って,何 の精度が悪 くなったのか を前後 の文章 も含めて何回も
読み返さない とわか らないことが しば しばある。 もちろん,学 生たちがわ
ざと言葉 を濁 してい るわけではな く, 日常的習慣 を無意識に学問の世界に
持 ち込んでしまっただけである。学生に「主語 をはっきりして下さい」 と
注文 をつけたときに,「 先生,前 後 の文章 を読めばわか ります よ」 と答 え
られたことが何回もあった。私には,い つ も「先生,神 経回路 をもっと回
して悪条件 と戦 え」 と聞 こえた。
逆 問題 を考 えなが ら, 自分 のレポー トをもう一度検討 してみましょう。
(楊
子 江)
^理 科系の
本語表現
栗 山 次 郎 編著
朝倉書店
編著者略歴
栗 山次郎
1944年
1969年
大 分 県 に生 まれ る
1975年
愛知教 育大 学 助教 授
現
九 州工 業 大 学 情 報 工 学 部 教 授
在
九 州 大 学 大 学 院 文 学 研 究科修 士 課 程 修 了
理科系の 日本語表現技法
1999年 4月 20日
定価はカバーに表示
初 版 第 1刷
朝
発行所 罰
朝 倉
書
郎 造
発行者
次 邦
栗
山 倉
編著者
店
東京都新宿 区新小 川lr1 6 29
郵 便 番 号 1628707
電 話 03(3260)0141
く
検 印省 略 〉
FAX o3(3260)0180
http://― asakura co jp
◎ 1999 く
無断複写・転載を禁ず〉
シナ ノ印刷 ・ 渡 辺 製 本
ISBN 4-254-10160-O C3040
Printed in Japan
日 <日 本複写権 セ ン ター委 託 出版物 ・ 特別 扱 い >
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