Document 531883

問題24 円筒容器内の強制対流
z
問題23と同様に基礎方程式と簡単化を行う。
23と異なる点
vθ
€
周方向に体積力が作用している。
Fθ
r
€
静止している
€
円筒容器
簡単化
して
R
€
ν
d ! 1 d(rvθ ) $ Fθ
#
&+ = 0
dr " r dr % ρ
(粘着条件)
境界条件にも注意!
€
(発散しない)
vθ = 0 at r = R
vθ = 有限 at r = 0
1 d(rvθ )
α
= − r2 + A
r dr
2µ
α 4 A 2
r + r +B
さらに積分 rvθ = −
8µ
2
積分する
境界条件①より
0=−
Fθ = α r
α 3 A
R + R
8µ
2
解くべき式: d ! 1 d(rvθ ) $ α
#
&=− r
"
dr r dr % µ
整理して
①
②
d(rvθ )
α
= − r 3 + Ar
dr
2µ
α
A B
vθ = − r 3 + r +
8µ
2
r
A=
α 2
R
4µ
境界条件②より
B=0
α 3 α R2
α
vθ = − r +
r = r(R 2 − r 2 )
8µ
8µ
8µ
z
問題25 回転無限円柱周りの流れ
固体の無限円柱(無限に長い)が無限に広がる液体の中で中心軸を中心として角
速度ωで回転している。円柱表面の速度はRωで,接触する液体の速度はRωと
なっている。また,無限に広がる無限遠では液体は静止していると考えることが
できる。無限長さの円柱なのでz方向には変化していない。速度はθ方向のみで
その流速のr方向の分布を求める。
運動の式,円筒座標,θ成分
€
ω
vθ
€
∞
無限円柱
€
R
 ∂  1 ∂ (rvθ )  1 ∂ 2vθ 2 ∂v r ∂ 2vθ 
∂vθ
∂vθ vθ ∂vθ v rvθ
∂vθ
1 ∂P
F
+ vr
+
+
+ vz
= ν 
+ 2 − €
+ θ
+ 2 2 + 2
∂t
∂r
r ∂θ
r
∂z
r ∂θ ∂z 
ρr ∂θ
ρ
∂r  r ∂r  r ∂θ
基礎
方程式
軸対象→
流速はθ成分のみ→
vr = vz = 0
簡単化
∂
=0
∂t
€
定常状態→
解くべき式
d ! 1 d(rvθ ) $
ν #
&=0
dr " r dr %
d ! 1 d(rvθ ) $
#
&=0
dr " r dr %
A 2
さらに積分 rvθ = r + B
2
積分する
最終的に
R 2ω
vθ =
r
∂
=0
∂θ
底の影響がない→
∂
=0
∂z
€
外力なし→
Fθ = 0
∂P
=0
∂θ
vθ = Rω at r = R
vθ = 0 at r = ∞
軸対象なのでθ方向の圧力勾配はない→
境界条件
流体の存在する範囲に注意!
流体はRから無限遠まで
1 d(rvθ )
=A
r dr
A B
vθ = r +
2
r
d(rvθ )
= Ar
dr
境界条件①より
(粘着条件)
(無限遠)
境界条件②より
Rω =
B
R
A=0
B = R 2ω
①
②