1. No category

問 「ダランベールの収束判定法」を用いて，次の正項級数の収束・発散を調べよ．
en
(1) n
n n
c
(2)
log n
ただし，c > 0 は定数である．
解答 (1) 与式より，
an =
en
nn
とおくと，
an+1
en+1 nn
= n
an
e (n + 1)n+1
(
)n
e
n
=
n+1 n+1
e
1
)n
=
·(
n+1
1
1+
n
であるから，その極限値を計算すると，
an+1
e
1
)n
= lim
lim (
n→∞ an
n→∞ n + 1 n→∞
1
1+
n
= 0
lim
< 1
となる．したがって，ダランベールの収束判定法により与えられた正項級数
∞
∑
an
n=1
は収束する．
(2) 与式より，
an
cn
=
log n
(c > 0)
とおくと，
an+1
cn+1 log n
= n
an
c log (n + 1)
log n
= c·
log (n + 1)
であるから，その極限値をロピタルの定理を用いて計算すると，
an+1
log n
= c lim
n→∞ an
n→∞ log (n + 1)
n+1
= c lim
n→∞
n
= c
lim
となる．したがって，ダランベールの収束判定法により与えられた正項級数
∞
∑
an
n=1
は，c < 1 のとき収束し，c > 1 のとき無限大に発散する．
一方，c = 1 のときはダランベールの収束判定法では収束・発散を判定できない
が，与えられた正項級数
∞
∑
n=1
an
cn
=
log n
=
∞
∑
n=1
1
log n
は無限大に発散する．