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2014 年度後期 数学 C 確認問題５（解答）
2014 年 11 月 11 日 配布
作成者：若杉 勇太
学籍番号：
氏名：
５．三角多項式による近似
ここでは，複素フーリエ級数
f (x) ∼
∞
∑
cn e
inx
1
cn =
2π
,
n=−∞
∫
π
f (x)e−iny dy
−π
に対してベッセルの不等式を導いてみよう．そこで
N
∑
fN (x) =
cn einx
n=−N
とおき，また一般に複素数 dn (n ∈ N ) を係数にもつ三角多項式
N
∑
FN (x) =
dn einx
n=−N
および全２乗誤差
∫
EN =
を考える．
問 5.1
∫
π
−π
π
−π
|f (x) − FN (x)|2 dx
N
∑
|FN (x)|2 dx = 2π
|dn |2
n=−N
を示せ．
[解]
∫
π
∫
|FN (x)| dx =
π
(
2
−π
=
−π
dn e
n=−N
N
∑
∫
n,m=−N
= 2π
)(
N
∑
N
∑
inx
N
∑
m=−N
π
−π
dn dm ei(n−m)x dx
|dn |2 .
n=−N
1
)
dm e
−imx
dx
問 5.2
∫
N
∑
π
−π
f (x)FN (x)dx = 2π
cn dn
n=−N
を示せ．
[解]
∫
∫
π
−π
f (x)FN (x)dx =
(
π
f (x)
−π
N
∑
=
∫
dn
N
∑
dn e
−inx
dx
n=−N
π
f (x)e−inx dx
−π
n=−N
= 2π
)
N
∑
cn dn .
n=−N
問 5.3 EN は dn = cn (−N ≤ n ≤ N ) のときに限り最小値
∗
EN
=
∫
π
−π
|f (x)|2 dx − 2π
N
∑
|cn |2
n=−N
を取ることを示し，これからベッセルの不等式
∞
∑
|cn |2 ≤
n=−∞
1
2π
∫
π
−π
|f (x)|2 dx
を示せ．
∫
EN =
π
∫−π
π
=
−π
∫
π
=
−π
∫
π
|f (x) − FN (x)|2 dx
(
)
|f (x)|2 − 2Re f (x)FN (x) + |FN (x)|2 dx
N
∑
(
|f (x)|2 dx + 2π
−π
)
n=−N
N
∑
|f (x)| dx + 2π
2
=
−2Re cn dn + |dn |2
|cn − dn | − 2π
2
n=−N
N
∑
|cn |2 .
n=−N
∗ を取る．また E ≥ 0
これより，EN は dn = cn (−N ≤ n ≤ N ) のときに限り最小値 EN
N
∗
から EN ≥ 0 も成立し，従って
N
∑
|cn |2 ≤
n=−N
1
2π
∫
π
−π
|f (x)|2 dx
となる．上の不等式は全ての N ∈ N について成立するから，N → ∞ として，
∞
∑
1
|cn | ≤
2π
n=−∞
∫
π
2
2
−π
|f (x)|2 dx.