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「制御工学」第４回
主要な時間関数のラプラス変換（続き）
主要な時間関数のラプラス変換（続き）
ラプラス変換運用の基本方針
ラプラス逆変換
べき関数
ラプラス変換の諸定理
単位インパルス関数
（2014.5.9）
鹿児島大学・工・電気電子 田中哲郎
1
2
ラプラス変換運用の基本方針
変換表 公式1) δ(t)
変換表 -- 教科書p.15，表2.1
!
(1)変換／逆変換は変換表を活用
∞
(2)定理との組み合わせ
δ(t) =
公式7)∼9)
(3)定義通りの積分計算
• どうしても必要な場合のみ（通常はやらない）
3
1
f (t)δ(t) dt = f (0)
−∞
• 公式1)∼6)は覚える
• 公式4)∼6)
単位インパルス関数
〈定義〉
衝撃
ディラックのデルタ関数
f (t)：任意の関数
!
∞,
0,
t=0
t "= 0
(2.13)
f (t) = 1 のとき
! ∞
!
1 · δ(t) dt =
−∞
∞
−∞
← 形式的な書き方
単位
δ(t) dt = 1
(2.14)
4
単位インパルス関数 δ(t)
公式6) tn （nは自然数）
※δ(t)は積分の中で意味を持つ．
L {t } =
n
※δ(t)は普通の関数ではない．
分布（distribution），超関数（hyperfunction）
〈関数列による定義〉
0
∞
面積 1
1
∆
=
=
面積 1
δ(t)
=
∆→0
0
∆
t
0
0
L {δ(t)} = 1 … ラプラス変換における
最も基本的な時間関数
t
=
=
5
!
∞
tn e−st dt
#∞ ! ∞ $
"0
n n−1 % −st
1 n −st
−
dt
− t
e
− t e
s
s
0
0
n & n−1 ' 0
L t
s
n n − 1 & n−2 '
·
L t
s
s
1
n n−1
1 & 0'
·
··· L t
s
s
s
n!
1/s
n+1
s
6
定理 d) 複素領域の推移則
変数 s
〈定理〉
L {f (t)} = F (s) のとき
!
"
L eat f (t) = F (s − a)
ラプラス変換の諸定理
s→s−a
複素領域の推移則
に書き換え
時間領域の推移則
時間微分のラプラス変換
平行移動
シフト
s→s−a
公式4) → 公式7)
公式5) → 公式8)
公式6) → 公式9)
例）公式4) → 公式7)
時間積分のラプラス変換
7
ω
L {sin ωt} = 2
= F (s)
s + ω2
!
"
L e−at sin ωt = F (s + a) =
ω
(s + a)2 + ω 2
8
定理 c) 時間領域の推移則
変数 t
遅れ
f (t)
f (t)u(t)
f (0)
0
２種類ある
t
0
右へ移動 (a > 0)
0
0
教科書
・進み
L {f (t)} = F (s) のとき
L {f (t − a)} = e−as F (s)
※ ラプラス変換で扱う
ラプラス変換
〈定理：１階〉
L {f (t)} = F (s) のとき
!
"
df (t)
L
= sF (s) − f (0)
dt
初期値
L
!
d f (t)
dt2
2
"
L {f (t)} = F (s) のとき
※ むだ時間要素
−as
L {f (t − a)} = e F (s) ※ ディジタル制御 -- z変換
進み
左へ移動 (a < 0)
f (t − a)u(t − a)
f (0)
0
!
!
f (0) = f (t)!
a
= s F (s) − sf (0) − f (0)
0
t
ラプラス変換
成立しない
※積分されない部
分の補正項が必要
10
〈定理：１階〉
t=0
条件
!
df (t) !!
!
f (0) =
dt !t=0
!
L {f (t − a)} = e−as F (s)
(a < 0)
定理 f) 時間積分のラプラス変換
(1) 微分
2
右へ移動 (a > 0)
9
定理 e) 時間微分のラプラス変換
〈２階〉
遅れ
積分されない
時間関数は，f (t)u(t)
t
a
{
・遅れ
〈定理〉
f (t − a)u(t − a)
f (0)
時間領域の推移則
要注意
(2) t = 0
L {f (t)} = F (s) のとき
1階積分
!" t
#
F (s) 1 (−1)
L
f (τ ) dτ =
(0)
+ f
s
s
0
初期値
f (◦)
微分の階数
※ 特に必要のない限り，積分を微分に直して，
微分の変換を行った方が良い．
初期値 初期値
11
12
時間微分・時間積分のラプラス変換
◎ 微分・積分の変換において初期値を無視すると，
{
・時間微分 --- かける s
・時間積分 --- わる s
逆の操作
交流理論のフェーザ
jω
s
兄弟関係
フーリエ変換
ラプラス変換
! ∞
! ∞
L {f (t)} =
f (t)e−st dt
F {f (t)} =
f (t)e−jωt dt
−∞
0
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