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フーリエ級数
•  三角関数を用いて一般的な周期関数の級数
展開を考える
–  周期Tの周期関数
f (t+T) = f (t)
例えば矩形波を
三角関数の和で
近似
矩形波を近似
1次まで
3次まで
5次まで
19次まで
フーリエ級数
フーリエ級数
係数は
–  a0はf(x)の平均値の2倍
–  奇関数の場合にはan=0
–  偶関数の場合にはbn=0
矩形波の場合
矩形波の場合
矩形波の場合
フーリエ級数の複素数表現
フーリエ変換の複素数表現
フーリエ級数の複素数表現
ただし
負の周波数の概念が導入されている
（複素共役）
３．４　フーリエ変換
•  周期関数ではない関数もsin, cosで表す
３．４　フーリエ変換
３．４　フーリエ変換
フーリエ変換
複素フーリエ積分公式
フーリエ変換
•  フーリエ変換
•  逆フーリエ変換
フーリエ変換による
たたみ込み積分の解法
•  積分順序を入れ替える。このとき積分の範囲
に注意する
•  システムの出力を求めるには
– 時間領域ではたたみ込み積分
– 周波数領域では乗算
３．５　ラプラス変換
3.5.1　ラプラス変換の定義
•  フーリエ変換では以下のような条件が必要であった．
•  これでは例えばステップ関数には適用できないため、
より多くの関数へ拡張するため、扱う関数にe-σtをか
けたときに，次の条件が成り立つ場合を考える．
•  さらにσが十分に小さければ f(t) e-σtはf(t)に近づくの
で，これをフーリエ変換する．ただしt < 0ではf(t)=0
s = σ + jω とおくことでラプラス変換が導出される
•  ラプラス変換．
•  逆ラプラス変換
周波数領域での扱いではあるが，s領域での
扱いと表現する．
例題３．３
ラプラス変換を求めよ
1.  単位インパルス関数　δ (t)
2.  単位ステップ関数　u(t)
3.  単位ランプ関数　r(t) = t u(t)
ランプ関数
例題３．３　解答
1.  単位インパルス関数　δ (t)
例題３．３　解答
2.  単位ステップ関数　u(t)
例題３．３　解答
3.  単位ランプ関数　r(t) = t u(t)
ラプラス変換対表
•  制御理論ではラプラス変換の積分を解くこと
が目的ではなく、ラプラス変換を使ってs領域
で出力を求めることが重要．
•  従って，次のようなラプラス変換対表を用いる
ラプラス変換対表（その１）
ラプラス変換対表（その２）
3.5.2　ラプラス変換の定理
•  加法定理
•  定数倍
•  微積分
のラプラス変換を求めよ
微分の場合
•  部分積分を使う
積分の場合
•  微分の結果を使う
3.5.2　ラプラス変換の定理
•  微分（n階微分）
ただし
3.5.2　ラプラス変換の定理
•  積分（n階積分）
3.5.2　ラプラス変換の定理
•  たたみ込み積分
•  時間遅れ
•  最終値定理
–  システムの定常状態を求めるために、時間領域でt→∞を
求めなくても、周波数領域で求めることができる。
例題３．６
•  直列RL回路の出力電流をラプラス変換を用
いて求めよ。
–  直列RL回路の微分方程式
例題３．６
ラプラス変換を求める
ただし，i(0) = 0
表の(8)の逆ラプラス変換を使うと
ラプラス変換による微分方程式の解法
•  表に載っている形式であるならば、表を使うこ
とによって容易にラプラス変換が可能
•  特に線形微分方程式ならば、微分要素をsに
置き換えればよく、したがって解のラプラス変
換は有理関数（多項式の比）になる
–  ただし初期値の項は無視
ラプラス変換
ラプラス変換による微分方程式の解法
•  線形微分方程式の場合、ラプラス変換すると
•  この右辺も表に載っていれば、逆ラプラス変換をす
ることで、容易にy(t)が求められる
載っていない場合（より一般的な場合）の解法は？