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多次元信号処理
２次元信号のフーリエ変換
F (u , v)  
周波数も
２次元
f ( x, y ) 


f ( x, y ) exp{ j (ux  vy )}dxdy

次元の
べき乗

1
(2 )
2
  F (u, v) exp{ j (ux  vy)}dudv

１次元の場合と同様の性質が全て成り立つ
２次元の基本周波数： exp{ j (ux  vy )}
v
u
（図では、x  t1、y  t 2となっている。）
【疑問５】
本来、f ( x, y )とF (u, v)はフーリエ変換で
代数的に関係づけられているだけなのに、
( x, y )と(u , v)の間に方向といった幾何学的関係が
なぜ生まれるのか分からない？
２次元フーリエ変換の例
２次元フーリエ変換の例
MATLAB課題２
【離散フーリエ変換を習ってから】
２次元複素正弦波やインパルス、矩形波、ガウス関数
などの基本的な２次元信号のフーリエパワースペクトル
を３次元表示して見よう。
画像の周波数成分分解
低周波成分
中周波成分
高周波成分
画像のパワースペクトル
直流
成分
フーリエ変換
（パワースペクトル）
画像のパワースペクトル
周波数フィルタリング
フーリエ変換
逆フーリエ変換
肌画像の肌理解析
肌画像
パワースペクトル
肌理の復元
MATLAB課題３
【離散フーリエ変換を習ってから】
規則的な模様（テクスチャ）をした対象の画像を
撮影し、そのフーリエパワースペクトルを
３次元表示して見よう。
また、ある周波数領域を削除し、逆フーリエ変換を
行って見て、周波数領域と画像の特徴の間の関係を
調べてみよう。
１次元フーリエ変換と
２次元フーリエ変換の関係
１次元、２次元フーリエ変換の関係
投影計算
１次元、２次元フーリエ変換の関係
F (u , v)  

 f ( x, y) exp{ j (ux  vy)}dxdy

f ( x, y )のx軸への投影

Py ( x) 
 f ( x, y)dy

これのフーリエ変換

Pv (u ) 
 jux
(
)
P
x
e
dx
 y




f ( x, y )e  jux dxdy

 F (u ,0)
F[ f ( x, y )]  F (u , v)のとき、

f ( x, y )のx軸への投影Py ( x) 
 f ( x, y)dyのフーリエ変換

F (u ,0)
y
v
f ( x, y )
Py (x)
x
F (u , v)
F (u ,0)
F
u
MATLAB課題４
【離散フーリエ変換を習ってから】
実際の画像を使って
,0
が成り立つかどうか調べてみよう。
課題１３
課題９
Pv (u )  F (u ,0)
の関係が成り
立つのは、ｘ軸上への投影だけではないこと、
つまり、ｘ軸とθの角度をなす直線上への投影につ
いても成り立つことを示しなさい。
y
v

x
F

u
コンピュータ断層像（ＣＴ）の原理
チャレンジ課題１４
課題９
投影波形のフーリエ変換に基づいたＣＴ画像生成法をそ
のままディジタル信号処理によって実現しようとすると幾
つかの問題が生じ、きれいな画像が生成できない。その
理由を考えて見よう。
【ヒント】次回に述べる標本化における議論を参照。
チャレンジ課題１５
課題９
物理学者アラン・マクリオド・コーマック
（Allan MacLeod Cormack）と
電子工学者ゴッドフリー・ニューボルド・ハウンスフィールド
（Godfrey Newbold Hounsfieldが、
Ｘ線ＣＴの原理およびその実用化に対して、1979年にノー
ベル生理学・医学賞を受賞。
現在のＸ線ＣＴ装置では、画質の向上、被ばく量の低減、
高速撮影を実現するため、様々なＣＴ画像撮影法が使わ
れている。
先に述べた投影波形に対するフーリエ変換を使った方法
以外のＣＴ撮影法を調べてみよう。
信号処理の実例
逆フィルター
２１世紀社会の構造
情報ネットワーク社会
？
法律・規則
（守る）
Cyber-Physical
Integration
実世界
物理化学法則
（従う）
（１）貨幣・証券の電子化による電子経済の発展
情報ネットワーク社会
信用 保
証
認証
セキュリティ
価格評価
実世界
（２）IC・RFタグ・GPSによる物流・交通・人流のモニタリング
ID
役
職
氏
名
意
見
日
時
１１
部
長
中
村
賛
成
７
月
１２
課
長
山
本
？
８
月
情報ネットワーク社会
ビッグデータ
ナンバ
種別
色
京都500
あ1234
ワゴン
黒
大阪300
い6789
セダン
白
ID
種
別
年
齢
産
地
等
級
１１
ね
ぎ
１
京
都
秀
１２
牛
３
米
優
位置情報
個人ＩＤ
ICタグ
実世界
ICタグ
情報ネットワーク社会
計算・処理
ＩＤ付与
認証
対象認識
情報世界対象
数値
文字
図形
グラフ
木構造
変化のモデル化
シミュレーション
予測
関係・相互作用
実世界
実世界対象
人
自動車
犬
猫
不動産
情報ネットワーク社会
逆フィルタ
ディジタル化
ディジタル化
光景
カメラ撮影
（ボケ、ブレ）
実世界
写真
情報世界対象
数値
文字
図形
グラフ
木構造
実世界対象
人
自動車
犬
猫
不動産
実世界での変換のモデル化
実世界における歪み（変換）過程を
畳み込みとしてモデル化する。
のない）対象
f (t：実世界の真の（歪み
)
換後の）対象
g (t：実世界の歪んだ（変
)
を表わす関数
h(t：歪み（変換）の特性
)
g (t )  f (t ) * h(t )
逆フィルタ
畳み込みを使った劣化信号の復元
入力
変換器・通信路
出力
（線形で時不変な変換）
≠入力
との畳み込み
による歪み
画像の場合…
ピンボケ
理想的な画像
= 2次元ガウス関数
逆フィルタ
劣化画像
逆フィルタ
畳み込みを使った劣化信号の復元
入力
変換器・通信路
出力
（線形で時不変な変換）
≠入力
との畳み込み
による歪み
逆フーリエ変換
との積
による復元
逆フィルタ
とすれば
フーリエ変換
【疑問６】
逆フィルターは、畳み込み計算の逆変換を周波数
領域で計算しているだけで、何が問題であるのか、
何の役に立つのか分からない！
画像劣化のモデル
関数 h ：点広がり関数（PSF）
⇒ 画像劣化の性質を表す．
入力
との畳み込み
変換器・通信路
による歪み
（線形で時不変な変換）
位置不変な
画像劣化の
モデル
出力
＋
≠入力
フーリエ変換
とすると，
復元画像：
雑音
この項の影響は？
点広がり関数の例
原画像
劣化(ボケ）画像
A：ピンボケ
v
0
フーリエ
変換
u
0
逆フーリエ
変換
B：横方向のブレ
劣化（ブレ）画像
v
0
0
u
逆フィルタの問題点と改良
A：ピンボケ
◆単純な逆フィルタ
の場合，
v
0
u
0
が小さな範囲では，
雑音成分が非常に大きくなる．
B：横方向のブレ
が大きな範囲のみを利用．
閾値
v
例えば，Aの場合，
0
0
u
ウィーナ・フィルタ
◆単純な逆フィルタ：
⇒ ノイズ項を無視している
◆低周波成分のみの逆フィルタ：
雑音に弱い！
ボケが生じる！
⇒ SN比が比較的大きいと考えられる
低周波領域のみを利用する．
◆ウィーナ・フィルタ（Wiener filter）
* は複素共役を表す．
PN, PS はそれぞれ，雑音と
原信号のパワースペクトル．
雑音に関する（統計的）性質を
積極的に利用
⇒ 原画像と復元画像の
平均2乗誤差を最小とするような
変換を求める．
ウィーナ・フィルタの導出
･･･① 確率場　：F (u , v)とN (u, v)
･･･② 決定的関数：H (u , v)とM (u, v)
劣化：
復元：
を最小とする
平均
を求める．
※以下では，(u, v)を
省略して表記する．
F (u , v)とN (u, v)は独立
②
①
M について整理
平方完成
ウィーナ・フィルタの導出
ウィーナ・フィルタ（Wiener filter）
誤差の最小値
で平均2乗誤差
※ 通常，正確に求めることができないので，適当な定数
は最小となる．
で近似する．
※ 雑音成分がない（PN = 0）とすると，このフィルタは
に一致し，平均二乗誤差の最小値は 0 となる．
※ 確率場を用いた厳密な説明は，
「ディジタル画像処理（監訳：長尾眞，近代科学社，1978）」の第7章を参照すること．
結果の比較
劣化画像
低周波成分のみの
単純な逆フィルタ
ウィーナ・フィルタ
逆フィルタ
ピンボケ
横方向のブレ
チャレンジ課題１６
課題９
１．暗室の中で、真黒な紙に針で極小さな穴を開け、紙の後ろに
電球を置く。
２．カメラを紙の前方に置き、フォーカスを色々変えながら、紙の画
像を撮影すると、ピンボケによる点広がり関数を画像データとして
求めることができる。
３．紙にフォーカスを合わせた状態で、カメラのシャッタースピード
を遅くし、紙を縦や横に動かして画像を撮影すると、ブレによる点
広がり関数を画像データとして求めることができる。
４．２枚の色の異なった紙を前後に離して置き、フォーカスを変え
ながら２枚の紙の画像を撮影をするとどうなるかを考えてみよう。
５．撮影した風景写真１枚を分析して、撮影時に生じた劣化を求め
るには、どうすればよいか考えてみよう。
★最近米国で発売されたlight field cameraでは、撮影後に
画像のフォーカスを自由に変えることができる。
https://www.lytro.com/science_inside