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熱物理学演習問題 (6)
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[1]
準静的断熱過程 d′ Q = 0 で気体が外部になした仕事は、
理想気体の準静的断熱過程では dU = nCV dT, pV =
熱力学第一法則より
nRT, d′ Q = 0 であるから、熱力学第一法則は
nCV dT = −
−∆W = −∆U
nRT
dV
V
p1 V1
=−
γ−1
マイヤーの関係式 Cp − CV = R を用いると、
[(
V1
V2
]
)γ−1
−1
[3]
dT
dV
+ (γ − 1)
=0
T
V
終状態での空気の温度は、ポアソンの関係式より
(
)7/5−1
1
300.15 ×
≈ 396[K]
0.5
両辺を積分して、
ln T + (γ − 1) ln V = const.
T V γ−1 = const.
∴ pV
γ
[4](a)
(
= const.
∂x
∂y
) (
z
∂y
∂z
) (
x
∂z
∂x
)
= −2z 2 y −2 × 4zx−1 ×
y
y
4z
= −2z 2 x−1 y −1
= −1
(b)
[2]
始状態、終状態の温度をそれぞれ T1 =
p1 V1
R , T2
=
x, y を独立変数とすると、z の全微分は
( )
( )
∂z
∂z
dz =
dx +
dy
∂x y
∂y x
p2 V2
R
とすると、気体の内部エネルギー変化は
∫
T2
∆U =
CV dT
dx = 0 として、dz で割ると
( ) ( )
∂y
∂z
1=
∂y x ∂z x
T1
= CV (T2 − T1 )
ポアソンの関係式より、 TT21 =
[(
∆U = CV T1
V1
V2
[(
)γ−1
(
V1
V2
)γ−1
(1)
となるので
これより
]
−1
]
(
∂z
∂y
)
=(
x
1
∂y
∂z
)
(2)
x
また、dz = 0 として、(1) 式を dy で割ると
( ) ( )
( )
∂z
∂x
∂z
0=
+
∂x y ∂y z
∂y x
)γ−1
V1
p1 V1
= CV
−1
R
V2
[( )
]
γ−1
V1
p1 V1
− 1 (∵ Cp − CV = R)
=
γ−1
V2
(2),(3) 式より、よって
( ) ( ) ( )
∂x
∂y
∂z
= −1
∂y z ∂z x ∂x y
1
(3)