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幾何学 B（担当：酒井）
２０１４年１０月１３日
演習問題
1. U = R2 \{0} 上の 1 次微分形式を次で与える．
ω :=
(1) 接ベクトル場 X := −x2
−x2
x1
1
dx
+
dx2
(x1 )2 + (x2 )2
(x1 )2 + (x2 )2
∂
∂
+ x1 2 について，ω(X) を求めよ．
1
∂x
∂x
∫
(2) 曲線 γ : [0, 2π] → U, γ(t) = (cos t, sin t) について，線積分
ω を求めよ．
γ
2. γ : [t0 , t1 ] → U を Rn の開集合 U 内の C 1 級曲線とする．τ : [s0 , s1 ] → [t0 , t1 ] は τ (s0 ) =
t0 , τ (s1 ) = t1 となる C 1 級の単調増加関数とし，γ
e := γ ◦ τ : [s0 , s1 ] → U と定める．このと
き，U 上の 1 次微分形式 ω について，
∫
∫
ω= ω
γ
γ
e
が成り立つことを示せ．すなわち，線積分の値は曲線のパラメータのとり方に依らない．
3. U を y に対する Rn の星形の開集合とし，y と x ∈ U をむすぶ線分を γx : [0, 1] → U, γx (t) =
∂fj
∂fi
tx + (1 − t)y と表す．f1 , . . . fn ∈ C 1 (U ) は積分可能条件 j =
(i, j = 1, . . . , n) をみ
∂x
∂xi
1
n
たすとする．このとき，1 次微分形式 ω := f1 dx + · · · + fn dx に対して，
∫
F (x) :=
ω
γx
と定義すると，F ∈ C 2 (U ) であり，dF = ω が成り立つことを示せ．