2番 a を自然数(すなわち 1 以上の整数)の定数とする。 白球と赤球があわせて 1 個以上入っている袋 U に対して、次の操作 (∗) を考 える。 (∗) 袋 U から球を 1 個取り出し、 ( i ) 取り出した球が白球のときは、袋 U の中身が白球 a 個、赤球 1 個となるようにする。 ( ii ) 取り出した球が赤球のときは、その球を袋 U へ戻すことなく。 袋 U の中身はそのままにする。 はじめに袋 U の中に、白球が a + 2 個、赤球が 1 個入っているとする。この袋 U に対して操作 (∗) を繰り返し行う。 たとえば、1 回目の操作で白球が出たとすると、袋 U の中身は白球 a 個、赤球 1 個となり、さらに 2 回目の操作で赤球が出たとすると、袋 U の中身は白球 a 個のみとなる。 n 回目に取り出した球が赤球である確率を pn とする。ただし、袋 U の中の個々 の球の取り出される確率は等しいとする。 (1) p1 , p2 を求めよ。 (2) n = 3 に対して pn を求めよ。 【2014 東京大学文系】 解答 袋に白球 x 個、赤球 y 個入っている状態を (x, y) と表す。 (1) (a + 2, 1) から赤を取り出す確率は、 p1 = 1 a+3 (a + 2, 1) |{z} → (a, 1) |{z} → (a, 0) W R と移る確率は、 p2 = 1 a+2 a+2 × = a+3 a+1 (a + 3) (a + 1) (2) n(n = 3) のとき、袋の状態は (a + 1) か (a, 0) かである。この2つの状態間の推 移か下図の通り。 n 回目に袋の状態が (a + 1)、(a, 0) になる確率をそれぞれ An , Bn とすると、推 移図より、 c Darumafactory -1- RadicalMath a a+1 An+1 = a An + Bn a+1 A + B = 1 n n (a, 1) An+1 − a+1 1 =− a+2 a+1 (a, 0) 1 a+1 Bn を消去して、 a An+1 = An + 1 − An a+1 1 =− An + 1 a+1 これを、 1 ( ) a+1 An − a+2 と変形して、 ( )n−1 ( ) a+1 1 a+1 An − = − A1 − a+2 a+1 a+2 ( )n−1 ( ) 1 a+2 a+1 = − − a+1 a+3 a+2 ( )n−1 1 1 = − a+1 (a + 3) (a + 2) ( )n−1 a+1 1 1 ∴ An = + − a+2 a+1 (a + 3) (a + 2) よって、 1 pn = An−1 × a+1 ( )n−1 1 1 1 = − − a+2 a+1 (a + 3) (a + 2) c Darumafactory -2- RadicalMath
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