目次 §1 複素数の構成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 § 1.1 実数の公理と性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 § 1.2 複素数の構成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2014 年度 東京理科大学 理学専攻科 数学特論 2A (担当:須田学) No. 1 履修上の注意 教科書は使用しない.参考図書は,次の 2 冊である. • 複素数の幾何学,片山考次,岩波書店,1982 年 (品切れのため新品での入手は困難.古本で入手可能.例えば,神保町の明倫館,インターネット書店の四方堂など.) • 幾何の有名な定理,矢野健太郎,共立出版,1981 年 扱う内容は「複素数平面による初等幾何学」である.高等学校の数学 III の複素数平面の内容も含む.評価は,試験,レポート, 出欠により総合的に行う.講義に関連する内容で自由レポート (任意) を提出すれば,評価に加味する. § 1 複素数の構成 複素数は,i2 = −1 をみたす文字 i を形式的に与え,実数 x, y に対して,x + yi の形で表される数として説明されることが多い が,そもそもこの i を勝手に与えている部分に違和感があるだろう.また,“+” の意味や yi における y と i の関係も不透明であ る.そこで,実数の公理を認めて,複素数を厳密に構成 する.まずは,実数の公理を復習しておこう. § 1.1 実数の公理と性質 実数の公理 以下の性質 (1)–(3) をみたす数の集まり R に対して,その要素を実数とよぶ. (1) すべての x, y ∈ R に対して, • 2 つの数 x, y から新たに 1 つの数を作る規則である加法 x + y (∈ R) • 2 つの数 x, y から新たに 1 つの数を作る規則である乗法 x · y (∈ R) • 成立するかしないかどちらか一方に決まる関係 x ≦ y が定められている (x · y を xy と略記することもあるが,ここでは省略しない). 16 が成立する. 1 –⃝ (2) x, y, z ∈ R に対して,次の⃝ ⃝ 1 (x + y) + z = x + (y + z) ⃝ 2 0 ∈ R が存在して,すべての x ∈ R に対して x + 0 = x = 0 + x が成立する. ⃝ 3 すべての x ∈ R に対して,x + y = 0 = y + x をみたす y ∈ R が存在する. (y は x に対して 1 つに定まり −x と表される.当然,x + (−x) = 0 = (−x) + x をみたす.) ⃝ 4 x+y =y+x ⃝ 5 (x · y) · z = x · (y · z) ⃝ 6 1 ∈ R が存在して,すべての x ∈ R に対して x · 1 = x = 1 · x をみたす. ⃝ 7 0 でない すべての x ∈ R に対して,x · y = 1 = y · x をみたす y ∈ R が存在する. (y は x に対して 1 つに定まり x−1 と表される.当然,x · x−1 = 1 = x−1 · x をみたす.) ⃝ 8 x·y =y·x ⃝ 9 x · (y + z) = x · y + x · z 10 0 ̸= 1 かつ 0 ≦ 1 ⃝ 11 x ≦ x ⃝ 12 x ≦ y かつ y ≦ x ならば x = y ⃝ 13 x ≦ y かつ y ≦ z ならば x ≦ z ⃝ 14 x ≦ y と y ≦ x のうち少なくとも一方が成り立つ. ⃝ 15 x ≦ y ならば x + z ≦ y + z ⃝ 16 0 ≦ x かつ 0 ≦ y ならば 0 ≦ x · y ⃝ (3) R が連続性の公理をみたす(詳細はこの講義では扱わない). 2014 年度 東京理科大学 理学専攻科 数学特論 2A (担当:須田学) No. 2 問1 16 のうちで法則や公理がいくつかある.それらを確認せよ. 1 –⃝ 実数の公理において,⃝ 問2 実数の公理を用いて,次を示せ.ただし,x, y を実数とする. 2 における 0 (∈ R) が 1 つしか存在しないこと (1) ⃝ 3 で,y が x に対して 1 つに定まること (2) ⃝ (3) −(−x) = x 6 における 1 (∈ R) が 1 つしか存在しないこと (4) ⃝ 7 で,y が x (̸= 0) に対して 1 つに定まること (5) ⃝ (6) x ̸= 0 のとき,(x−1 )−1 = x 問3 実数の公理を用いて,次の等式を示せ.ただし,x, y を実数とする. (1) 0 · x = 0 (2) (−1) · (−1) = 1 (3) (−x) · y = −(x · y) = x · (−y) (4) (−x) · (−y) = x · y (5) (−1) · x = −x (6) x ≦ y ならば −y ≦ −x (7) x ≦ 0, 0 ≦ y ならば x · y ≦ 0 (8) 0 ≦ x · x (注意) 一般に,x · x を x2 と表す x 差と分数は次のように定義される.実数 x, y に対して,x − y を x + (−y),y ̸= 0 のとき, を x · y −1 で定義する: y x − y = x + (−y), 問4 y ̸= 0 のとき x = x · y −1 y ( ) 1 −1 特に x = 1 として, = y . y 実数の公理を用いて,次を示せ.ただし,x, y, z を実数とする. (1) x + y = z ⇔ x = z − y (3) y ̸= 0 のとき,x · y = z ⇔ x = (5) x ̸= 0, y ̸= 0 のとき, x ̸= 0 y (2) z y x が定義されないこと 0 (4) y ̸= 0 のとき,x · y = 0 ⇔ x = 0 1 y (6) x ̸= 0, y ̸= 0 のとき, x = x y 実数 x, y に対して,x < y を「x ≦ y かつ x ̸= y 」で定義する.このとき,x ≦ y が「x < y または x = y 」を意味することも 10 は 0 < 1 を意味する。さらに,よく知られている実数の性質がすべて証明されるが,この講義では深入 証明できる.また,特に⃝ りしない.以下,実数の性質をすべて認める ことにする.また,自然数,整数,有理数,実数の包含関係 N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R も認 める. 2014 年度 東京理科大学 理学専攻科 数学特論 2A (担当:須田学) 問5 No. 3 実数の公理を前提として,次の数を構成する方法を簡単に述べよ. (1) 自然数 (2) 整数 (3) 有理数 (4) 無理数 この講義では,実数を前提として,自然数などを構成したが,ペアノの公理による自然数を前提として, 自然数 (ペアノの公理) → 整数 → 有理数 → 無理数 → 実数 の順で,数の体系を広げる方が正攻法である.その理由は,実数を前提とする場合, ことにある.この構成法に興味のある者は, • 数の体系,蟹江幸博訳,丸善出版,2014 年 • 数をとらえ直す,柳原弘志・織田進,裳華房,2005 年 • 幾何入門,砂田利一,岩波書店,2004 年 • 数の構造,竹内啓,教育出版,1979 年 • 数の概念,高木貞治,岩波書店,1949 年 などを参考にしてみるとよいだろう. これまで,x = y ならば x + z = y + z, x · z = y · z を認めてきたが,これらは,等号の公理から証明することができる. 等号の公理 (参考文献: 数学の基礎,島内剛一,日本評論社,1971 年) • 公理 1 ∀x : x = x • 公理 2 P (x) を x に関する命題で y を含まないものとするとき, ( = の反射律) ∀x, y : ( x = y ∧ P (x) ) → P (y) 問6 等号の公理を用いて,次を示せ. (1) ∀x, y : x = y → y = x ( = の対称律) (2) ∀x, y, z : ( x = y ∧ y = z ) → x = z 問7 ( = の代入法則) x, y, z ∈ R について,次を示せ. (1) x = y ならば x + z = y + z ( = の推移律) ヒント:等号の公理,問 6 の結果を利用せよ. (2) x = y ならば x · z = y · z 2014 年度 東京理科大学 理学専攻科 数学特論 2A (担当:須田学) No. 4 自然数を構成する公理であるペアノ (Peano) の公理を紹介しておく. ペアノ (Peano) の公理 集合 N は特別な元 1 と,写像 S : N → N を持ち,以下の性質を満たすものとする. (1) 1 ∈ / S(N). (2) S は単射である (i.e. S(n) = S(m) ⇒ n = m). (3) A ⊂ N が,次の性質 (i),(ii) を満たせば,A = N. (i) 1 ∈ A (ii) n ∈ A ならば S(n) ∈ A (i.e. S(A) ⊂ A) このとき,N を自然数の集合といい,N の元を自然数という.また,S(n) を「n の次の自然数」という. 素朴な意味での自然数 1, 2, 3, · · · とペアノの公理により規定される自然数の関係は,次のようにして与えられる: 2 = S(1), 3 = S(2) = S(S(1)), 4 = S(3) = S(S(2)) = S(S(S(3))), ··· . このとき,N = {1, S(1), S 2 (1), · · · , S n (1), · · · } と表したくなるが, の意味 が与えられていないので,厳密には正しくない.これを避けるため,ペアノの公理では,無限に続く手続きを利用せず,(1)–(3) で一挙に自然数の集合を特徴づけている点に着目して欲しい. 問 8 (数学的帰納法が正しいことの証明) ペアノの公理から,自然数の和が定義され,S(n) = n + 1 と表すことができる (証明 略).これを認めて,自然数 n に関する命題 P (n) について, (i) P (1) が真, (ii) P (n) が真と仮定するとき,P (n + 1) も真 とするとき,任意の n に対して P (n) が真であることを示せ. § 1.2 複素数の構成 以下,実数の性質や計算法則等をすべて認める ことにして,i2 = −1 をみたす複素数を厳密に構成していく. R と R の直積 V = { (x, y) | x, y ∈ R } に,等号,加法,実数倍を次のように定める. • 等号 (x1 , y1 ) = (x2 , y2 ) ⇔ • 加法 (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = • 実数倍 c(x, y) = (c ∈ R) このとき,α, β, γ ∈ V, c, d ∈ R に対して,次の法則が成り立つ. (I) (α + β) + γ = α + (β + γ) (II) α + β = β + α (III) ∃o ∈ V, ∀α ∈ V, o + α = α = o + α (問 2 と同様に o は一意に存在することが証明できる) (IV) ∀α ∈ V, ∃β ∈ V, α + β = o = β + α (問 2 と同様に β は一意に存在することが証明でき,β を −α と表す) (V) c(α + β) = cα + cβ (VI) (c + d)α = cα + dα (VII) (cd)α = c(dα) (VIII) 1α = α 問9 (ただし,1 ∈ R) (I)–(VIII) を証明せよ.特に,o, −α を決定せよ. (I)–(VIII) をみたすので,V は である. 2014 年度 東京理科大学 理学専攻科 数学特論 2A (担当:須田学) No. 5 さらに,α = (x1 , y1 ), β = (x2 , y2 ) ∈ V に対して,乗法を α·β = ∈V · · · (∗) で定義すると,α, β, γ ∈ V に対して,次の法則が成り立つ. (IX) (α · β) · γ = α · (β · γ) (X) α · β = β · α (XI) ∃ε ∈ V, ∀α ∈ V, ε · α = α = α · ε (問 2 と同様に ε は一意に存在することが証明できる) (XII) o ̸= ∀α ∈ V, ∃β ∈ V, α · β = ε = β · α (XIII) α · (β + γ) = α · β + α · γ, (問 2 と同様に β は一意に存在することが証明でき,β を α−1 と表す) (α + β) · γ = α · γ + β · γ 問 10 (IX)–(XIII) を証明せよ.特に,ε, α−1 を決定せよ. 乗法を (∗) のように定義した V を改めて C と書き,C の元を複素数という: C = { (x, y) | x, y ∈ R }, ( 問 11 α = (−3, −2), β = (1) α · β ただし,加法,実数倍は前ページのように,乗法は (∗) のように定義. ) 1 , 5 , γ = (3, −4) ∈ C に対して,次を計算せよ. 2 (2) γ −1 (3) α · (β · γ) 問 12 i · i = (−1)ε をみたす i ∈ C が存在して,C = { xε + yi | x, y ∈ R } と書けることを示せ. (注意) i2 = i · i と表す 問 13 写像 f : R → C; x → (x, 0) を定義し,R′ = {f (x) | x ∈ R} ( = Im f ) とおくと,R′ ⊂ C である.このとき,f の値域を R′ に制限した写像 f : R → R′ ; x → (x, 0) を考える.このとき,次に答えよ. (1) f : R → R′ が全単射であることを示せ. (2) f : R → R′ が環準同型であることを示せ. ∼ (3) (1),(2) より,環同型 f : R → R′ ; x → (x, 0) を得るので,対応 x ↔ (x, 0) により,R と R′ (⊂ C) は環として同一視で きる.この同一視により,i2 = −1 をみたす i ∈ C が存在し,C = { x + yi | x, y ∈ R } と書けることを示せ.
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