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積分計算の極意 u 極 意 １
基本公式の利用
まずは、基本公式の積分ね(^_-)-☆
【例題１】
（１）
∫ x dx
（６）
∫ sin xdx
3
（２）
∫
（７）
x dx
（３）
∫ cos x dx
∫x
x dx
（８）
∫ f (ax + b) dx = F (axa + b) + C
1
∫ cos
2
x
（４）
∫ 1x dx
dx
（９）
(a ≠ 0) の利用
基本公式の x に係数があるときは、
分母にその係数をもってくるのよ！！
【例題２】
（１）
∫ ( 2x + 3) dx
（２）
∫ cos 2x dx （３） ∫ cos
（４）
∫e
（５）
∫ 3x + 1dx
3
5 x −1
dx
2
x dx
1
１
∫ tan
（５）
2
x dx
∫ e dx
x
u 極意２
和に変形
整関数
【例題３】（１）
∫
無理関数
x 2 ( x − 1) dx
2
n
1
（１） (x
（２）
∫
2
1
x x − 1dx
三角関数
（３）
∫ sin 2x cos 3xdx
分数関数
（４）
1
2
∫ x ( x + 1) dx
1
−1) の多項式に変形できるよ！！
（２）
の中が１次式に注目！！（２次式の場合は別の方法になるよ）
（３）積→和の公式を利用！！
→
⎧sin(x ± y) = sin x cos± cosx sin y
⎨
⎩cos(x ± y) = cos x cosy  sin x sin y
(x −1) の多項式に変形できるね。
より導こうね！！
（４）部分分数分離ね！！『引き裂く』んだよ∼∼！！
u 極 意 ３
❶
∫
左右関係を見極める！！ （微分の関係が左右にあるか、ってことね）
n
n +1
′ dx =
⋅
（ひとまとめとみた）
単なる数２の積分
∫
n +1
をひとまとめ（ x １文字）と思うと…
の微分が横にあれば、それを無視！！
x n +1
x dx =
n +1
n
に変身！！！！
【例題４】
（１）
∫ sin x cos x dx
（２）
∫ cos
3
x dx
（３）
∫
log x
dx
x
２
（４）
∫x
1− x 2 dx
（５）
∫
x
1+ x 2
dx
❷
∫e
′ dx = e
⋅
（ひとまとめとみた）
単なる基本積分
【例題５】（１）
∫ xe
u 極 意 ４
x2
dx
をひとまとめ（ x １文字）と思うと…
の微分が横にあれば、それを無視！！
∫e
x
dx = e x
（２）
∫ cos xe
に変身！！！！
sinx
dx
上下関係を見極める！！ （微分の関係が上下にあるか、ってことね）
′
∫
（ひとまとめとみた）
dx = log
の微分が上にあれば、それを無視！！
をひとまとめ（ x ひと文字）と思うと・・・
単なる対数の積分
1
∫ x dx = log x
三角関数の関係
【例題６】（１）
∫ tan xdx
（２）
∫ tan x dx
1
（３）
∫ sinx cos x dx
1
（４）
∫ sinx dx
1
指数・対数の関係
【例題７】（１）
∫
ex
dx
ex + 1
（２）
∫
e x − e− x
dx
e x + e −x
（３）
∫
ex
dx
e x + e −x
３
（４）
1
dx
∫ x log
x
に変身！！！！
u 極 意 ５
∫ f′⋅g
部分積分を極める！！（積分は名の割には『積に弱い！！』積→和にできないときは・・・）
= f ⋅ g − ∫ f ⋅ g′
∫ f ⋅ g′
or
= f ⋅g− ∫ f′⋅g
被積分関数が『積』になってるとき、
『どちらかの関数をこれから微分する（とありがたい）関数』と見るの。
例えば、被積分関数が x ⋅ cos x だと、 x を微分すると字数が下がって１になってありがたいよね！！
だから、『
x : f , cos x : g′ 』っておくの！！
【被積分関数の組み合わせパターン】
f ⋅ g′
f ⋅ g′
f ′⋅ g
❶（整関数）・（三角関数） →
❷（整関数）・（指数関数） →
❸（整関数）・（対数関数） →
❹（三角関数）・（指数関数）→
❶の【必殺技】
（ f
（整関数はこれから微分すると、字数が下がってありがたい！！）
（整関数はこれから微分すると、字数が下がってありがたい！！）
（この場合は、『対数関数をこれから微分する』と考える！！）
あとで紹介
は整式とするね）
∫ f ⋅ cos x dx = f ⋅ (sin x ) + f ′ ⋅ ( cos x ) + f ′′ ⋅ ( − sin x ) + 
（最初だけ）積分 ※
微分
微分
微分
∫ f ⋅ sin x dx も同様にできるよ！！
❷の【必殺技】
（ f
は整式とするね）
（１）
∫ f ⋅ e dx
（２）
∫ f ⋅e
x
−x
dx
= e x ( f − f ′ + f ′′ − f ′′′ + 
)
= −e−x ( f + f ′ + f ′′ + f ′′′ + 
４
)
【例題８】（１）
∫ x cos 2x dx
（２）
∫
x
xe 2 dx
（３）
∫ log x dx
【例題９】必殺公式で求めよ！！
（１）
∫ ( x + 1)
π
2
0
cos x dx
（２）
∫x e
3 x
u 極 意 ６
微分から作る！！
【例題１０】（１）
∫e
u 極 意 ７
❶【
∫
1
a2 − x 2
x
sin x dx
（２）
∫e
dx
x
cos x dx
最後は置換積分！！
dx
型】
❷【
⎛ π
π⎞
x = asin t ⎜− ≤ t ≤ ⎟
⎝ 2
2⎠
∫
a 2 − x 2 dx
型】
❸【
∫
1
0
1
4 − x2
dx
（２）
∫
1
0
1− x 2 dx
（３）
５
2
1
dx
+ x2
型】
⎛ π
π⎞
x = atan t ⎜ − ≤ t ≤ ⎟
⎝ 2
2⎠
円の一部型
置換したら『左・中・右』を確認ね！！
【例題１１】（１）
∫a
1
∫ 1+ x
1
0
2
dx
応⽤用問題
＜絶対値のついた関数の定積分＞
【１】 a が 1 ≤ a ≤ e の範囲を動くとき、関数 f ( a ) =
∫
1
0
e x − a dx の値が最⼩小となるような a の値を
求めよ。
（東京⼥女女⼦子⼤大）
＜定積分で表された関数①＞
π
【２】 f ( x ) = cos x + ∫ 3 f ( t ) sin t dt を満たす関数 f ( x ) を求めよ。
0
（早稲⽥田⼤大）
＜定積分で表された関数②＞
【３】
（１）任意の連続関数 f ( x ) において、
d x
f ( x − t ) dt = f ( x ) を⽰示せ。
dx ∫0
（２） ∫ f ( x − t ) dt = 2 f ( x ) − 4 を満たす関数 f ( x ) を求めよ。
x
0
（豊橋技科⼤大）
＜⾯面積①＞
【４】
（１）曲線 y = log ( 2 − x ) と両軸で囲まれた部分の⾯面積を求めよ。
（関⻄西⼤大）
（２）２曲線 y = sin x, y = cos 2x ( 0 ≤ x ≤ π ) で囲まれた部分の⾯面積を求めよ。 （関東学院⼤大）
６
＜⾯面積②＞
【５】
（１）曲線 y = xe− x の変曲点における接線の⽅方程式を求めよ。
（２）（１）の曲線とその変曲点における接線と x 軸とで囲まれた部分の⾯面積を求めよ。
（広島⼯工⼤大）
＜２曲線の交点が求まらない場合の⾯面積・⾯面積の２等分＞
π⎞
⎛
【６】 y = k sin x のグラフが y = sin 2x ⎜ 0 ≤ x ≤ ⎟ のグラフと x 軸の囲む部分の⾯面積を２等分する
⎝
2⎠
ように、定数 k の値を求めよ。
（⻘青⼭山学院⼤大）
＜回転体の体積（ x 軸回転）＞
【７】曲線 y = e x と、これに接し原点を通る直線 y = mx がある。これらと y 軸とで囲まれた図形を、
x 軸のまわりに回転してできる回転体の体積を求めよ。
（⽇日本⼥女女⼦子⼤大）
＜回転体の体積（ y 軸回転）＞
【８】曲線 y = log x と直線 y = 1 および両座標軸で囲まれた部分を y 軸のまわりに回転してできる
⽴立立体の体積を求めよ。
（類：信州⼤大）
７
＜⾮非回転体の体積＞
【９】
＜媒介変数表⽰示による曲線と⾯面積・体積＞
【１０】 x = a ( t − sin t ) , y = a (1 − cost )
( a > 0, 0 ≤ t ≤ 2π )
と x 軸で囲まれた部分の⾯面積 S を求めよ。
（⼭山⼝口⼤大・改）
＜曲線の⻑⾧長さ（道のり）＞
【１１】
（１）曲線 y =
3
2
( x + 1) 2 の −1 ≤ x ≤ 2 に対応する⻑⾧長さを求めよ。
3
（類：⼭山⼝口⼤大）
t 3
（２） xy 平⾯面上を動く点 P の時刻 t における座標 ( x, y ) が、 x =
, y = t 2 で与えられている。
3
点 P が時刻 t = 0 から t = 5 までの間に通過する道のりを求めよ。
８
（福島県⽴立立医⼤大）
＜⽔水⾯面の上昇速度＞
【１２】曲線 y = log x と x, y 軸および y = 10 で囲まれる領域を y 軸のまわりに回転して得られる器に
毎秒 v の⽔水を⼊入れる。次の問いに答えよ。
（１）⽔水の深さが y = h のときの⽔水の体積を求めよ。
（２）⽔水の深さが h のときの⽔水⾯面の上昇速度を求めよ。
（信州⼤大）
＜積分不等式の作成＞
【１３】
（１） 0 ≤ x ≤ 1 のとき、 1 ≤ 1 + x 2 ≤ 1 + x であることを⽰示せ。
dx
< 1 を証明せよ。
0 1 + x2
（２） log 2 < ∫
1
（類：静岡⼤大）
＜定積分と数列の不等式＞
【１４】不等式
log ( n + 1) < 1 +
1 1
1
+ +  +
2 3
n
を証明せよ。
（⾦金金沢⼤大）
＜区分求積法＞
【１５】次の極限を求めよ。
1
1 ⎞
⎛ 1
lim ⎜
+
+  +
⎟
n→∞ ⎝ n + 1
n+2
n + n⎠
（上智⼤大）
９