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第８回
○仕事とエネルギー
力 F の作用を受けながら運動する質点が，図の軌道に沿って
A 点から B 点まで移動したとする。
軌道上を運動する質点の運動方程式：
m
dv
=F
dt
(1)
の両辺それぞれと速度ベクトル v ( ≡ dr dt ) との内積を， A 点を通過する時間から B 点を通過する時間
まで積分すると，次式が得られる。
B
K(B) − K(A) = ∫ F ⋅ dr
(2)
A
ここで K(A) と K(B) は，それぞれ A 点と B 点における質点の運動エネルギーであり，右辺に含まれる
F ⋅ dr = Fx dx + Fy dy + Fz dz
(3)
は質点が軌道上の r の位置から dr の微小変位をする間に力 F が質点にする仕事である。
ここで，
∂U
∂U
∂U
i+
j+
k= −Fx i − Fy j − Fz k = −F
(4)
∂y
∂z
∂x
と表せる関数 U(x, y, z) （ポテンシャルまたはポテンシャル関数と呼ぶ）が存在するとき，この力は保存
力であるという。保存力に対しては
∫
B ⎛ ∂U
B
∂U
∂U ⎞
F ⋅ dr = − ∫ ⎜
dx +
dy +
dz ⎟ = − ∫ dU = U(A) − U(B)
A
A ⎝ ∂x
A
∂y
∂z ⎠
B
(5)
となり，質点が A 点から B 点まで移動する間に力がした仕事は， A 点におけるポテンシャルと B 点に
おけるポテンシャルの差に等しくなる。
このとき，(2)式と(5)式から，次式が成り立つことがわかる。
K(A) + U(A) = K(B) + U(B)
(6)
上式からわかるように， A 点と B 点において，運動エネルギーとポテンシャル（エネルギー）の和
が等しい。この和を力学的エネルギーと呼ぶ。
(6)式の関係は， B 点の代わりに軌道上の任意の点 C を選んでも，同じように成り立つから，質点
が軌道に沿って運動している間ずっと力学的エネルギーが一定値をとる（力学的エネルギーが保存され
る）ことがわかる。すなわち，力学的エネルギーの一定値を E とすると
K +U = E
(7)
である。また， A 点と B 点を通る閉じた経路を質点が一周する間に力がする仕事は
!∫ F ⋅ dr = ∫
B
A (1)
F ⋅ dr + ∫
A
B (2)
F ⋅ dr = ∫
B
A (1)
F ⋅ dr − ∫
B
A (2)
F ⋅ dr = 0
(8)
のようにゼロとなる。したがって，保存力のもとで軌道を一周すると質点の運動エネルギーとポテンシ
ャルエネルギーのそれぞれの値が元にもどることがわかる。
○ ポテンシャルの勾配 (4)式の左辺が表すベクトルを， ∇U または gradU で表し， U の「勾配」と呼ぶ。すなわち， gradU ≡ ∇U ≡
∂U
∂U
∂U
i+
j+
k
∂x
∂y
∂z
(9)
また，(10)式の演算子を一つのベクトルのように扱い「ナブラ」と呼ぶ。
∇≡
∂
∂
∂
i+
j+ k
∂x ∂y
∂z
(10)
勾配は，秋学期に学習する電磁気学でも重要な役割を担う（ほかに「発散」と「回転」が登場する）。
○ 保存力とポテンシャルの例
【 演 習 】 以下の保存力のとポテンシャル（関数）を求めなさい
(2) ばねの弾性力（ U =
(1) 一様重力（ U = mgz ）
1 2
mM
k x ） (3)万有引力 （ U = −G
）
2
r
○エネルギー積分
単振動の解法２のように，(7) 式のエネルギー保存の関係を利用して運動の解を求めることができる。 直線運動の場合には，
2
m ⎛ dx ⎞
+ U(x) = E
2 ⎜⎝ dt ⎟⎠
(7’)
から，次式を計算すればよいことがわかる。 m x
dx
= ±t
∫
2 x0 E -U(x)
(11)
【 演 習 】 単振子の周期をエネルギー積分の方法を用い，次の手順で求
θ0
めなさい。
(1) 位置を表す変数として振り子のふれ角 θ を用いて一様重力のポテ
ンシャルを表しなさい。ただし，簡単のため，最大ふれ角 θ 0 の位
l
θ
置でポテンシャルがゼロとなるように定めなさい（ E = 0 ）。
U(θ ) = mgl (cos θ 0 − cos θ )
(12)
(2) 質点の速さ v = ℓ(dθ dt) と(12)式を用いてエネルギー保存の式を表
m
しなさい。
2
m l 2 ⎛ dθ ⎞
+ mgl (cos θ 0 − cos θ ) = 0
2 ⎜⎝ dt ⎟⎠
(13)
(3) (13)式を変形して(11)式に対応する式を求め， sin(θ 2) = k sin ϕ （ただし， k = sin(θ 0 2) ）の関係が
ある新たな変数 ϕ を用いて表しなさい。 t=
ℓ
g
∫
dϕ
ϕ
1− k 2 sin 2 ϕ
0
（楕円積分）
(14)
(4) (14)式を利用して単振子の周期 T を表しなさい。
T =4
ℓ
g
∫
π 2
0
dϕ
1− k 2 sin 2 ϕ
（完全楕円積分）
(15)
(5) (15)式右辺の被積分関数を級数に展開して計算し，単振子の周期 T を表す近似式を求めなさい。最
大ふれ角 θ 0 として適当な大きさを与えて，微小振幅周期からのずれを計算しなさい。
T = 2π
ℓ
g
⎞
⎛
k2
1+
+"⎟
⎜⎝
4
⎠
(16)
たとえば θ 0 = 10° のとき，約 0.2% 周期が長くなる。1 日につき約 2 分 40 秒の遅れに相当する。