1. No category

2014/11/22
2章
静止流体の力学
2.1 静止流体の
(pressure)
圧力は次の三つの性質を持つ．
(1) 静止流体中の圧力は
作用する．
(2) 静止流体中のある点の圧力は，
同じ値をとる．（圧力
の等方性，例題2.1で証明している．）
(3) 密閉した容器内の流体に加えた圧力は，容器内の全ての部分に同じ
強さで伝わる．…
原理
水面に接する高さhの仮想的な円柱の底面積A
に働く圧力pを考える．
円柱内の水
に働く力F（
と呼ぶ）は，水の密度を，
重力加速度をgとすると
F  pa A  Ahg
であるので，
[N]
pa 大気圧
自由
表面
h
p + dp
水圧pは次式で表される．
p
p 圧力
dh
(2.1)
A 底面積
F
 p a  gh [N]/[m2] = [Pa] (2.2)
A
p
F
 p a  gh
A
(2.2)
このように，水圧は深さhに依存するので，水の高さで表すことがあ
る．さらに，
における圧力p + dpは次式で表される．
(2.3)
p  dp  p  g h  dh
a
式(2.2)と(2.3)の差をとると
(2.4)
2.2 圧力の表し方と単位
を基準とする圧力を絶対
圧力（absolute pressure），大気圧を pA
pa
基準とする圧力を
圧力（gauge
pressure）という．
圧力がpA，pB pB
の時の
圧力pA (gauge)，pB
0
(gauge) は次式で表される．
正のゲージ圧
101.32 kPa : 標準大気圧
負のゲージ圧
（真空ケージ圧）
絶対真空
Vacuum
pA(gauge) = pA – pa > 0，pB(gauge) = pB – pa < 0
ここで，paは
大気圧である．
1
2014/11/22
SI単位系では圧力の単位はPaであるが, 他に次のものが使われる.
: 9806.65 Pa（Wgh = 103×9.80665×1）
: 133.32×103 Pa（Hggh = 13.595×103×9.80665×1）
: 1 mmHg
（at工学気圧）: 98.0665×103 Pa（9.80665N/10-4 m2）
（標準大気圧） : 101.32×103 Pa = 760 mmHg（Hggh =
13.595×103×9.80665×0.76）
bar
: 105 Pa（CGS単位系から発生）
: lbf/in2（英米で使われる．1 atm = 14.7 psi）
(= mAq)
ここで，
×103 kg/m3は0ºCにおける水銀の密度である．
なお，気象では標準大気圧（101.32 kPa）を慣例により
hPaと
いうようにhPaを用いて表している．
2.3 圧力の測定
ａ．
（液柱圧力計，manometer）： 圧力の時間的変動
（圧力変動）の小さい時の計測に適する．
最も単純なマノメータを右に示す．この例では，管内を流れる液体の
圧力pを測っており，圧力は次式で表される．
p
(2.6)
透明管
圧力が高い時には，長い透明管を使う代りに，
水銀などの高密度’の液が入った
マノメー
タを用いる．U字管において，
の原理によ
り，同一の液でつながった同一高さのA－Aの圧力
は等しいので，次式が成立つ．
p
より
p  pa   ' gh  gh1

(2.7)
a
（大気圧）
h
p
密度 
p
水面は
同じ高さ
a
等圧
h1
A
h
A
水準器の原理
’
（水銀）
管内の流体が気体の時には，水銀の代りに水をマノメータ液として
使うことが好都合であり，しかも式(2.7)のgh1は，一般に
と比較
して極めて小さいので（∵ << ’），無視して良い．
2
2014/11/22
1 
2
p
マノメータ（differential manometer）
1
2点間の圧力差が大きい時は
マノメータが好
h1
都合である．前例と同じく，同一の液でつながった同
一高さの点A－Aの圧力は等しいので，次式が成立つ．
2
h2
h
A
A
より
p
’
p1  p2   2 gh2   ' gh  1 gh1
(2.8)
（水銀）
ｂ．
圧力計： マノメータでは測りにくいほど高圧であって圧力
変動が小さい時に適する．
圧力計などがある．
ｃ．
圧力計： 圧力変動の測定が可能だが高価．抵抗線ひずみ
ゲージ式，半導体ひずみゲージ式などがある．
2.4 パスカルの原理
水圧プレス，
プレスへの応用（例題2.3）： 密閉した容器にお
いて受圧面積をA2 > A1とすると，p = F1/A1 = F2/A2より
と
なるので，小さな力で重いものを持ち上げることができる．
dy
2.5 図形の各種モーメント
(1) 断面一次モーメント
(2.10)
G
𝐼𝑥 =
𝑦 2 𝑑𝐴 =

×
𝑦 2 𝑏𝑑𝑦
2
G'
G
(2) 断面二次モーメント
𝑦2
b(y)
dA
1
全面積A
(2.11)
yG y1
𝑦1
y
y2
x'
x
(4) 断面二次モーメントの平行軸定理
平行軸の定理は，
断面二次モーメントIxを，
G
軸回りの断面二次モーメントIGを用いて表す時に使う定理である．式
(2.11)において，
とおくと
Ix  
2
1
 yG
2
 yG   2 dA  
G
2

 2 yG   2 dA
1
2
2

1
ここで，
y
2
2
1
1
dA  2 yG  dA    2 dA
2

,の起点は重心だから dA  0 ,
1
3
2014/11/22
dy
G軸回りの断面二次モーメント

2
2
1  dA  I G
を代入すると
G

y
y2
x'
x
h
2
(長方形の場合)
h
h
2  2 dA  2 2  2bd
h

0
2
G'
1
全面積A
yG y1
図心を通る軸回りの断面二次モーメントIG

2

× (2.13)
G
なお，教科書の式（2.13）では，x軸から図心
までの
はhと書いてある．
IG 
b(y)
dA
dA=bd
d
h
 3  2 2b  h 3
 2b   
 
3 2
 3  0

h
×
G
G'
公式として覚えること．
- h
2
b
(円盤の場合)
IG 

d

2  2dA　2 2
d

0
2

d2
d
d4
sin2  d cos cosd 
4
2
4


2 sin2 cos2 d
0
dA
dA
ここで，倍角の公式より
d
であり，
cos 4  1  2 sin 2 2 より


G
×
G'
d
 = (d/2) sin  より
d = (d/2) cos  d
また，dA = d cos  d
であるので，
d4 
d4
2


IG 
1

cos
4

d



32 0
32

4
1

 2 d


sin
4




4
64

0
公式として覚えること．その他の形状については工業力学・材料力学
等の本を参照すること．
4
2014/11/22
2.6静止している流体の圧力（静水圧）
2.6.1 平面壁に及ぼす力
水面から斜面に沿ってyの距離における圧力（ゲージ圧力）は
(2.15)
であるので，平板の面積Aに対する作用力（
，total pressure）は
y
F  g sin  y12 ydA ． (2.16)

ここで，O軸から面積Aの図心Gまで
の距離yGは
zG
(2.17)
z
y y1
y2
p=
 gz
yG
dy
dA
x
Gx
C
であるので，式(2.16)は次式となる．
F  g sin yG A  gzG A  pG A (2.18)
結局，全圧力Fは平板の
で与えられる．
yC
A
における水圧×平板の面積
圧力の中心
水圧によって平板に働く
は，通常，式(2.16)のように
積分して求める．しかし，円盤の時のように，全圧力F×
yc (center of pressure)として求める方が便利な場合がある．ycの定義式
は次式である．
g sin   ydA  yc   gy sin dAy  g sin   y 2dA
右辺は水圧によるモーメントの合計である．上式を簡単にすると，
 y dA  I x
yc 
 ydA yG A
2
(2.20)
が得られる．ここで，yGは図心までの距離，Ixは
の断
面二次モーメントである．次に，図心を通るG軸回りの断面二次モー
2
メントIGを用いると，平行軸の定理により I x  yG A  I G と表される
ので，式(2.20)は次のようにも書ける．
(2.22)
5
2014/11/22
水門に作用する水圧とトルク（回転モーメント）
長方形の水門の回転を止めるため
に必要な力Fを，
トルクの
釣合いから求めてみる．
面積
bdyに働く水圧による力は
で表されるので，
モーメ
ントdTは次式で与えられる．
dT  gzbdy y
z
h1
b
x
h
p = gz
(a)
したがって，水門全体に働く
x
y
F
dy
は次式となる．
h
 y 2 y3 
gbh 2
3h1  2h (b)
T  gb  h1  y ydy  gb h1
  
2
3
6

0
h
0
これが
と釣合うので
(c)
x
2.6.2 二次元曲面壁に及ぼす力
微小面dAに働く力は
であり，そのx方向とz方向の分力
は次式で与えられる．
z
z
dFx  gzdAsin   gzdAx,
p = gz
（∵dA sin  = dAx）
dA
pdA cos 
= pdAz
Fx   dFx  g  zdAx  gzG Ax,
zG
Ax ×GG
Ax

dAのx面への
投影面積dAx
(2.25)
面全体Aに働くx方向とz方向の分力は
pdA sin 
= pdAx
Az
dAのz面への
投影面積dAz
Fz   dFz  g  zdAz  gV (2.26)
∴Fxは図心の深さでの水圧gzG×曲面のx面への
Axに等しい．
Fzは曲面の上方にある
（Vは体積）に等しい．
結局,
と tan  
Fx
で大きさと方向が求められる．
Fz
6
2014/11/22
円筒を引き裂く力
円筒内部の圧力pによるx方向の分力は，p×曲面の
面積Ax
で与えられる．したがって，引き裂く力と材料の耐力の関係は次のよ
うになる．
T
t
2 T tl  pdl
引張応力
p
⇒
d
pdA
T
dA
拡大

x
T
T
l

p
pdA cos 
= p dAx
dAx = dA cos 
曲面のx面へ
の投影面積
ここで，Tは
応力である．このTが材料の
応力（引張強さ÷
安全率）以下となるように，配管や圧力容器の設計（材質や肉厚の決
定）が行われる．なお，引張強さは
によって決まるので，同じ材
料の場合，dが小でtが大なるほどpが大きくとれ，
性能が良いとい
える．
2.7浮力（buoyancy force）
(a)
の原理
面積A，高さhの物体に働く水圧による垂直方向上向きの力を(+)と
して考えると，
F   p0  gh2 A   p0  gh1 A  g h2  h1 A  ghA  gV
下の面
上の面
水面に浮いた物体では，水
面
に対する浮力を考
えれば良い．すなわち，物体
の
が浮力ghAと同じ
大きさになるように深さhは
決まり，その状態で浮く．
…これが浮力
大気圧 p0
h1
h2
h
面積A
p0 + gh1
p0 + gh2
(水平方向は釣合うので考えなくてよい)
7
2014/11/22
(a)船の安定性とメタセンタ
船が傾くと，浮力Fの中心C点を通る
軸（浮揚軸）と船の重量W
の作用軸がsだけずれるので，
のモーメントが発生する．
交点がメタセンタ
浮力 F
F
C'点を通る垂直軸
M

船の重心 G
C
傾く前の
浮力の中心
M
C'
s
W 船の重量
G
C'
s
傾いた時の
浮力の中心
W
このモーメントは，船が少し傾いた状態では船の重心Gに対して反
時計回りとなり，傾きを戻す
を生じる．しかし，大きく傾いた
状態では時計回りとなり，傾きは
方向になる．したがって，船
の
はこのモーメントの方向で決まる．その安定性を決めるのが，
メタセンタ（傾く前の
と傾いた時の浮揚軸の交点M）の位置で
ある．すなわち，Mが重心Gより
あれば復元力が働いて安定とな
り，Mが重心Gより
あれば不安定となる．
z
2.8流体静力学の基礎式
dy
静止流体中の微小六面体
に働く
のつり合いを考える．外力には圧力pによる力
と
（body force）があり，後者は単位質
量あたりにx, y, zの各方向に成分X, Y, Zを持つ．
p
p + x dx
（地表に垂直な上向きをz軸とすれば，重力に
よる作用は
で表わすことができる）
o
x
x方向の力のつり合いより，
𝜕𝑝
𝑝𝑑𝑦𝑑𝑧 − 𝑝 +
𝑑𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝜌𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑋 = 0
⇒
𝜕𝑥
同様に，
p
p
(2.29)
 Y ，
 Z
y
z
f dy
y
圧力pは座標（x, y, z）のみの関数であるので，
∂𝑝
∂𝑝
∂𝑝
𝑑𝑝 =
𝑑𝑥 +
𝑑𝑦 +
𝑑𝑧
∂𝑥
∂𝑦
∂𝑧
式(2.28)と
(2.30)
を代入すると
𝑑𝑝 = 𝜌(𝑋𝑑𝑥 + 𝑌𝑑𝑦 + 𝑍𝑑𝑧)
f
y
f
(2.31)
(x, y)
f
x
dx
df =
p
dz
dx
y
(2.28)
f dx +
x
f dy
y
f dx
x
(x + dx, y +dy)
dy
f
y
x
8
2014/11/22
水面などの
ではdp = 0となるので次式が成り立つ．
𝑋𝑑𝑥 + 𝑌𝑑𝑦 + 𝑍𝑑𝑧 = 0
(2.32)
上式は
ベクトル（X, Y, Z）と
ベクトル（x, y, z）の内積がゼロ
であること意味している．したがって，
（外力の方向を示す線）
と等圧面は垂直でなければならない．
2.9相対的静止の状態
容器内の流体に一定の
を作用させても，容器に対して相対的
な流れが起こらなければ，その流体はみかけ上，静止状態となる．こ
れを
の状態と呼ぶ．
z
2.9.1等加速度直線運動
質量mの流体粒子に働く力は重力
mgと
mの二つであり，それぞ
れz方向とx方向の逆方向であるので，
h
式(2.31)にX = -  ，Y = 0，
，を
代入すると
m

m


等圧面
F mg
x
z
(2.40)
となる．これを積分し，x = 0，z = hに
おいて
の境界条件を代入して積 h
分定数を決めると次式が得られる．
m

m


等圧面
F mg
x
𝑝 = −𝜌 𝛼𝑥 + 𝑔𝑧 + 𝐶 ，
より，
𝑝 − 𝑝a = −𝜌𝛼𝑥 + 𝜌𝑔 ℎ − 𝑧
(2.41)
上式にp = paを代入すると液面を表す式を求めることができる．液面
の傾きを与える式はその式を
すると求められる．
𝑑𝑧
𝛼
𝛼
= −
𝑧 = − 𝑥 + ℎ ， tan 𝜃 =
𝑑𝑥
𝑔
𝑔
(2.42)
液面は合力Ｆと
なり，液面から深さｚの位置では圧力はpa + gz
となるので，液中の
は液面と平行になる．
9
2014/11/22
2.9.2 鉛直軸まわりの
運動
周方向の力がなく，半径方向と
方向のみの力がある場合の圧力変化は
次の基礎式で表すことができる．
遠心力
mr2 
r

F
等圧面
mg
𝑑𝑝 = 𝜌 𝑅𝑑𝑟 + 𝑍𝑑𝑧
h0
z
（式の導出はノート2.5参照） (2.39)
角速度 
この問題では，質量mの流体粒子に働く力はzの負の方向の重力mgと
r方向の
の二つであるので，式(2.39)にR = r2， Z = - g，
を代入すると
(2.43)
𝑑𝑝 = 𝜌 𝑟𝜔2 𝑑𝑟 − 𝑔𝑑𝑧
これを積分し，r = 0，z = h0において
分定数を決めると次式が得られる．
の境界条件を代入して積
1
𝑝 = 𝜌𝑟 2 𝜔2 − 𝜌𝑔𝑧 + 𝐶 ，
2
1
𝑝 − 𝑝𝑎 = 𝜌𝑟 2 𝜔2 + 𝜌𝑔 ℎ0 − 𝑧
2
1
𝑝 − 𝑝𝑎 = 𝜌𝑟 2 𝜔2 + 𝜌𝑔 ℎ0 − 𝑧
2
より，
(2.44)
(2.44)
この式より，z = 一定の断面では
に比例して圧力が上
がることが分かる．
ポンプはこの原理を使っている．上式にp =
paを代入すると液面を表す式を求めることができる．
r 2 2
z
 h0
2g
(2.45)
この式から，液面は
であることが分かる．その傾きを与え
る式は式(2.45)をrで微分すると求められる．
(2.46)
なお，式(2.46)は液面と合力Ｆとが垂直になることからも導くこと
ができる．
10