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第9回レポート課題
(1)偏差応力は以下の式で与えられる．偏差応
力の全成分を具体的に書き表せ．また，偏
差応力の第１不変量が０になることを示せ．
学生番号：
氏
名：
sij = σ ij − δ ijσ m
(2)等方的圧力の付加によっては材料中のいか
なる面に作用するせん断応力も変化しない
ことを示せ．
（第11回講義はじめに提出）
(1a) 偏差応力
sij = σ ij − δ ijσ m
 sxx

 s yx
 szx

sxy
s yy
szy
sxz  σ xx τ xy τ xz  σ m 0
0
 
 
s yz  = τ yx σ yy τ yz  −  0 σ m 0 
0 σ m 
szz   τ zx τ zy σ zz   0
1
3
σ m ( = − p ) = (σ xx + σ yy + σ zz ) =
sxy = τ xy (= s yx = τ yx )
3
である（静水圧応力）から，
s yz = τ yz (= szy = τ zy )
sxx = σ xx − σ m
szx = τ zx (= sxz = τ xz )
= σ xx −
σ xx + σ yy + σ zz
3
2
1

σ xx − (σ yy + σ zz ) 
3
2

2
1

s yy = σ yy − (σ zz + σ xx ) 
3
2

2
1

szz = σ zz − (σ xx + σ yy ) 
3
2

せん断応力については
偏差応力＝通常の応力
=
テキスト：p.141, (10.7)式
クロネッカのデルタより，
対角成分以外は０になる
 1 (i = j )
 0 (i ≠ j )
δ ij = 
(1c) 偏差応力の第１不変量
第１不変量は，
(1b) 偏差応力の各成分
J1 ' = sii = s xx + s yy + s zz
ここで，
J1 ' = s xx + s yy + s zz
= (σ xx − σ m ) + (σ yy − σ m ) + (σ zz − σ m )
= σ xx + σ yy + σ zz − 3σ m
= 3σ m − 3σ m
=0
偏差応力の第１不変量は必ず０になる
(2a) 応力の座標変換から考える
簡単のため2次元問題で考える．x-y座標系からθ だけ回転
したx’-y’座標系への応力の座標変換式は次のようになる．
σ + σ yy σ xx − σ yy
σ x′x′ = xx
+
cos 2θ + τ xy sin 2θ
2
2
σ + σ yy σ xx − σ yy
σ y′y′ = xx
−
cos 2θ − τ xy sin 2θ
2
2
σ − σ yy
τ x′y′ = − xx
sin 2θ + τ xy cos 2θ
2
ここで等方的圧力pが付加され σ xx → σ xx − p, σ yy → σ yy − p
になったとすると， σ x′x′ → σ x′x′ − p, σ y′y′ → σ y′y′ − p となるの
に対して， τ x′y′ には何の変化も生じない．
等方的圧力 p の付加によってはいかなる方向 θ の面に
おけるせん断応力も変化しないことがわかる．
1
(2b) コーシーの関係式から考える
法線ベクトル n = {nx , n y , nz } をもつ平面における応力ベク
トルを t，垂直応力ベクトルを σ，せん断応力ベクトルを τ と
すると，コーシーの関係式から下記の関係が成立する．
T
σ xx τ xy τ xz   nx 

 
t = σ + τ = τ yx σ yy τ yz  n y 
τ zx τ zy σ zz   n z 


ここで等方的圧力 p が付加された状態（’）を考えると，
σ xx − p
τ xy
τ xz  n x 

 
t ′ = σ ′ + τ ′ =  τ yx
σ yy − p
τ yz  n y  = σ + τ − pn
 τ zx
τ zy
σ zz − p   nz 

となることは明らかである．ここで右辺の pn は垂直応力ベク
トル σ と平行であり，せん断応力ベクトル τ とは直交する．
(2c) コーシーの関係式から考える
以上より，
σ ′ = σ − pn
τ′ =τ
となり，垂直応力ベクトルは等方的圧力 p の影響を受ける
が，せん断応力ベクトルは受けないことがわかる．
等方的圧力 p の付加によってはいかなる方向 n の面に
おけるせん断応力も変化しないことがわかる．
塑性変形の本質は結晶中のすべり面におけるずれ（すべり）
であり，すべり面におけるすべり方向のせん断応力（分解せ
ん断応力）がすべりの駆動力となる．そのせん断応力が等
方的圧力の影響を受けないのであるから，等方的圧力は塑
性変形に寄与しない（降伏に関与しない）と言える．
2