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流れ学第２ハンドアウト（４）笠木
P==k~îáÉêJpíçâÉë !"#$%&$'()*
非圧縮性流体を考える（液体，高速でない気体( Ma £ 0.3 )）
PKN
!"#$
物質の微小要素の運動と変形（ヘルムホルツの基本定理）
(a) 並進 ←質点 剛体
(b) 回転 連続体
(c) 互いに直交する 3 つの方向の伸縮
｝
｝
P( x1 , x2 , x3 )
r
単位時間の移動，変形を変位ベクトルで表す．
u
P¢
r
OO¢ = u0： u0 i r
変位ベクトル（ xi の関数）
dx
r
r
PP¢ = u ： ui u0
O¢
｝
O(0, 0, 0)
ui を u0 i の周りでテーラー展開すると
Ê ∂u ˆ
ui = u0 i + Á i ˜ dx j + LL
Ë ∂x j ¯ 0
1 Ê ∂u ∂u ˆ
1 Ê ∂u ∂u ˆ
= u0 i + Á i - j ˜ dx j + Á i + j ˜ dx j + LL
2 Ë ∂x j ∂xi ¯
2 Ë ∂x j ∂xi ¯
0
0
↑
並進 回転速度
歪速度
（テンソル）
（テンソル）
Sij = S ji
Wij = -W ji
反対称テンソル 対称テンソル
（3 つの独立成分） （6 つの独立成分）
(＊) 一般に反対称テンソルとあるベクトルは対応関係にある．
軸性ベクトル（axial vector or dual)
- 1 -
(3.1)
E N FF
!"#$
!"#$
Wij =
!"#$%&
1 Ê ∂ui ∂u j ˆ
2 ÁË ∂x j ∂xi ˜¯
ex.) W12 =
(3.2)
1 Ê ∂u1 ∂u2 ˆ
Á
˜ = -W 21
2 Ë ∂x2 ∂x1 ¯
1
ところで，Wij = 0 (if i = j ) だから，独立成分は 3 つしかない．あるベクトルを w k として
2
1
Wij = - 2 e ijkw k
(3.3)
と書ける．
Wij dx j =
1 Ê ∂ui ∂u j ˆ
1
1
1 v
v
dx j = e ijk Ê - w k ˆ dx j = e ijk Ê w j ˆ dxk = Ê w ¥ dx ˆ
Á
˜
Ë
¯
Ë
¯
Ë
¯i
2 Ë ∂x j ∂xi ¯
2
2
2
(3.4)
v 1 v
v
v
従って，位置ベクトル dx が dx + (w ¥ dx ) に変化する．ベクトルの長さは不変．
2
2
Ê dxv + 1 wv ¥ dxvˆ = dxv ◊ dxv + 2 dxv ◊ wv ¥ dxv + wv ¥ dxv ◊ wv ¥ dxv
(
) (
)(
)
¯
Ë
2
1 r
w
2
1 v
w は回転角速度
2
r
dx
r
1 r
w ¥ dx
2
r
dx の要素をある軸の回りで
回転する効果
Wij は xk 周りの角速度
一方，w k を渦度(vorticity)という．渦度は速度ベクトルの回転であり，
v
e1
v v
v
∂
v
v ∂u
w = rot u = — ¥ u = e ijk ei k =
∂x j
∂x1
u1
\ w k = e kji
∂ui
∂u
= -e ijk i
∂x j
∂x j
v
e2
v
e3
∂x 2
∂x3
∂
u2
∂
(3.5)
u3
x2
(3.6)
∂u2 ∂u1
ex.) \ w 3 = ∂x - ∂x
1
2
w3
（角速度の 2 倍）
x1
- 2 -
∂u
∂u
・u3 = 0 ， 1 = - a ， 2 = a とすると，u1 = - ax2 ，u2 = ax1 は連続式を満たす．
∂x2
∂x1
v x2
v x1
v
u1
u = a x12 + x22 = ar → u1 = u ，u2 = u
r
r
u2
Solid Rotation で角速度は a
\
∂w k
∂
∂x = ∂x
k
k
1 Ê ∂u
dq
∂u ˆ
= a = Á 2 - 1˜
2 Ë ∂x1 ∂x2 ¯
dt
Ê
∂ui ˆ
∂ui
∂ui
e
= -e ijk
= e ikj
∫0
ijk
Á
˜
∂x j ∂xk
∂x j ∂xk
∂x j ¯
Ë
(3.7)
(*) 交換テンソル e ijk : ベクトルの外積表現に用いられる
e ijk
Ï 1 (1, 2, 3,1, 2, 3)
Ô
= Ì-1 (1, 3, 2,1, 3, 2)
Ô0
Ó
(3.8)
・反対称テンソルの一つ e ijk = -e jik
v v
v
e1 e2 e3
v v
v
v
v
A ¥ B = A1 A2 A3 = ( A2 B3 - A3 B2 )e1 + ( A3 B1 - A1 B3 )e2 + ( A1 B2 - A2 B1 )e3
B1
B2 B3
v
= e ijk ei Aj Bk
v v
\ A ¥ B i = e ijk Aj Bk
(
)
(3.9)
v
・ここで，A = — = ∂ とすると
∂xi
v
v
v ∂B
B
B
—
¥
=
rot
= e ijk ei k
∂x j
v
∂B
— ¥ B i = e ijk k : xi 成分
∂x j
(
)
- 3 -
(3.10)
ex.)
y
ÏÔu = - ar sin q = - ar y = - ay
uq = ar
Ì
r
x
ÔÓv = ar cosq = ax
w z = a + a = 2 a
“強制渦”
forced vortex
ex.)
a
Ïu = - a y = - a y
ÔÔ
rr
x 2 + y2
r
Ì
x
Ôv = a 2
ÔÓ
x + y2
uq =
“自由渦”
∂v ∂u
x 2 + y2 - 2 x 2
x 2 + y2 - 2 y2
=a
a
wz =
+
=0
2
2 2
2
2 2
∂x ∂y
free vortex
x
+
y
x
y
+
(
)
(
)
(注) r = 0 Æ w z =
0
0
ex.) Rankine 渦（竜巻，吸込渦）
渦核
＜循環 (circulation)＞ G
渦線 dx dy dz
=
=
（各位置での渦度ベクトルに接する）
wx wy wz
v v
GC = Ú us ds = Ú us ◊ ds
C
C
us
(3.11)
Stokes
の積分定理を使う．
r
渦管
u
v v
v v
（ Ú (curl u ) ◊ ndA = Ú u ◊ ds ）
r
A
C
ds
面A
v v
v v
v v
GC = Ú (curl u ) ◊ ndA = Ú (— ¥ u ) ◊ ndA = Ú w ◊ ndA
A
A
- 4 -
｝
閉曲線 C
(3.12)
A
w n 法線成分
2 次元とすると
y
A
v v
r
GC = Ú u ◊ ds = - Ú w z dxdy
(3.13)
u r
C
A
ds
（ w z は反時計回り，G は時計回りを正とする）
w
x
C
x
0
流れが渦無しならば，循環は必ずゼロ
流線 → 流管（流量）
渦線 → 渦管（循環）
E O FF
! " # $ % & ' ( " # $ % )
Sij =
1 Ê ∂ui ∂u j ˆ
+
2 ÁË ∂x j ∂xi ˜¯
Ê S1
主軸変換を行うと，Á 0
Á
Ë0
(3.14)
0
S2
0
トレース Sii = S1 + S2 + S3 =
0ˆ
0 ˜ と対角化できる．S1 ，S2 ，S3 は主値．
˜
S3 ¯
∂ui
∂xi
辺長 1 の立方体が，1
( + Si ) に伸縮する．
体積 V ¢ = (1 + S1 )(1 + S2 )(1 + S3 )
= 1 + S1 + S2 + S3 + O( S 2 ) + LL
V¢ - V
= S1 + S2 + S3 : 体積歪み
V
非圧縮では S1 + S2 + S3 =
∂ui
=0
∂xi
(*) 対称テンソル Sij の主軸変換
Sij u j = lui = lu jd ij より
(
)
(
)
Sij - ld ij ui = 0 有意 → det Sij - ld ij = 0
l3 - I l2 + II l - III = 0
対称テンソルの場合，重根を含めて，l は 3 つの実根を持つ．
(m)
固有値 l( m ) に対し，固有ベクトル ui が求まる．
l( m ) が全て等しい → 等方テンソル
- 5 -
(**) Sij を ( x, y, z ) で書くと
1 Ê ∂u ∂v ˆ
∂u
， Sxy = Á + ˜
2 Ë ∂y ∂x ¯
∂x
∂v
1 Ê ∂v ∂w ˆ
˜
Syy = ， Syz = Á +
∂y
2 Ë ∂z ∂y ¯
Sxx =
Szz =
1 Ê ∂w ∂u ˆ
∂w
+ ˜
， Szx = ÁË
2 ∂x ∂z ¯
∂z
・Sxx の歪み
Sxx > 0 膨張
Sxx < 0 圧縮
・Sxy の歪み
∂u
∂v
= const > 0
= const > 0 ∂y
∂x
単純せん断
Ê 0 t 0ˆ
Sxy のみがゼロでない Á t 0 0˜
˜
Á
Ë 0 0 0¯
純粋せん断（45°主軸）
ex.)
u = Cy ，v = w = 0
∂ui
w k = -e ijk ∂x
j
i = 1，j = 2 の時のみ値を有する
1
Cdy Æ
w x = 0 ，w y = 0 ，w z = - C
\
2
dy
単純せん断＝（純粋せん断）＋（回転）
1
¨ Cdy
2
- 6 -