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９
鉛直軸の回りに一定の角速度ωで回転している滑らかな水平円盤上の中心にいる A 君が、
円盤上の半径ＲにいるＢ君に向かって一定速度 v0 でボールを円盤上で転がした(t = 0)。C
君は円盤の外（静止座標系）でこの現象を観測していた。地球の自転の影響は無視する。
ボールと床の摩擦は無視できるものとする。 t = 0 で静止座標系の x 軸と回転座標系の x’
軸、および直線 AB は重なっていたとする。
(1)円盤の外の静止座標系で見ている C 君が見たボールの軌跡を求め、図示せよ。
(2)回転座標系で B 君が見たボールの軌跡を求め、図示せよ。
(3)Ｂ君がボールを受け取れる条件は何か。そのときの回転座標系でのボールの軌跡を図示
せよ。
(4)ωt<<１のとき B 君の見た軌跡の曲線の近似式を求めよ。
B
C 君の見た軌跡
y
A
0
（解答）
(1)
x = vot、y = 0 より
B 君の見た軌跡
y’
C 君は x 軸上の等速直線運動を観測する（上図）。
(2)(6.8 式)より
x
6
v0t = x′ cos ωt − y′ sin ωt
0 = x′ sin ωt + y′ cos ωt
5
4
x<<1
3
2
を x’y’について解く。または資料 4 の(10)式より
∴
A
0
B
1
0
x′ = vot cos ωt
①
y′ = −v0t sin ωt
-4
-2
0
2
4
6
-1
2
2
2
∴ x′ + y′ = (v0t )
-2
-3
B 君はスパイラル曲線（右巻き渦巻き）を描く運動を観測す
る。
（下図）(答)
(3)一般に N 回転に要する時間は
ωt＝2πN ∴ｔ＝2πN/ω
よって N 回転後の x’の値は①より R＝v0t=2πv0N/ω
受け取れる条件は
ωR＝2πv0N
（答）
上図は N＝１の軌跡
(4)ωt<<1 のとき近似的に sinωt≒ωt、cosωt≒１となる（下記）ので①より
x ′ = vo t cos ωt ≈ vo t
y ′ = −v0 t sin ωt ≈ −v0 tωt = −v0ωt 2
ゆえに t≒x’/v0 これを代入して
②
∴y’=‐(ω/v0)x’2 ・・・放物線（図の点線）（答）
ｔが 0 に近い最初のうちは真の軌跡（実線）と近似曲線（点線）はほぼ一致する。
テーラー展開(p．261)
f ( x) = f (0) +
(例)
x<<1 のとき
1 df (0)
1 d 2 f (0) 2
1 d n f (0) n
x+
x
+
⋅
⋅
⋅
x + ⋅⋅⋅
1! dx
2! dx 2
n! dx n
sin x = x − 16 x 3 + ⋅ ⋅ ⋅ ≈ x, cos x = 1 − 12 x 2 + ⋅ ⋅ ⋅ ≈ 1
8
x’