第 3 講 微分方程式による梁のたわみ計算
2014 構造解析学 第 3 講 微分方程式による梁のたわみ計算 前講までは物理量関係図（再録）の左半分について考えてきた。ここからは、静定のはりに荷重 が作用したときに、はりのたわみとたわみ角を求める問題（図の右半分も含めて）を考えてみるこ とにする。静定のはり（平面骨組の場合は並進２方向、回転１方向に対して過不足なく拘束しうる だけの支点反力を有している構造系）では、部材力（曲げーﾓｰﾒﾝﾄ、せん断力、軸力）は釣合式を 解くことによって得ることができる。従って、物理量関係図の左半分はカンタンに解けることにな り、はりの長さ方向の位置を変数（x）とした場合の曲げモーメントの関数 M（x）は前講までの知 識で容易に得ることができる。よって、部材力式により曲率の関数を求めれば、あとは積分により、 曲率→たわみ角→たわみ と求めていけばよいことになる。 P(x) x y(x) θ(x) たわみ 荷重強度 ×-1 積分 微分 微分 せん断力 積分 たわみ角 微分 曲げﾓｰﾒﾝﾄ 微分 部材力式 M(x)＝EIφ(x) 解析の流れ 曲率 φ(x)＝ たわみ角 θ(x)＝ たわみ ｙ(x)＝ 積分 3-1 ×-1 曲率 積分 2014 構造解析学 Question Q.1 等分布荷重が作用しているとき、たわみ曲線は何次関数で表される？ Q.2 曲率の関数がわかっているとき、たわみ曲線を求めるために境界条件はいくつ必要？ Q.3 では、荷重強度の関数のみがわかっているときは、境界条件はいくつ必要？ 演習 3-1 長さ L のはりのたわみ曲線 y(x)、および中央点のたわみ y max を求めよ。ただし、曲げ剛 p(N/m) 性 EI は一定とする。 ymax 手順 1 まずは Q 図と M 図を描いてみる。 L 手順 2 描いた図から、関数 Q(x), M(x) を求める。 手順 3 部材力式 M(x)=EIφ(x) により、φ(x) を求める。 手順 4 φ(x)を一回積分して、－１を掛けて、たわみ角関数θ(x) を求める。 手順 5 もう一回積分して、y(x)を求める。 手順 6 境界条件を二つ探して、これを当てはめることにより、積分定数 C 1 、C 2 を定める。 3-2 2014 構造解析学 演習 3-1 長さ L のはりのたわみ曲線 y(x)、および中央点のたわみ y max を求めよ。ただし曲げ剛性 EI は一定とする。 P(N) 手順 1 まずは M 図と Q 図を描く L/2 手順 2 中央点の左右で曲げモーメントの関数系が ymax 違うので，ここで場合わけをして，それぞれに たわみ関数を求める． L L 《左半分》 《右半分》 手順 3 積分定数を確定する． 《境界条件》 3-3 2014 構造解析学 《連続条件》 たわみは たわみ角は 手順 4 結局，たわみ関数と中央点のたわみは 積分定数確定のために必要な、支点条件 OR 連続条件 たわみ y たわみ角 dy θ= dx ピン・ローラー y=0 固定端 y=0 y(左)＝y(右) 中間支点 y(左)＝y(右) ＝0 M = EIφ = − EI せん断力 2 d y dx 2 Q= dM d3y = − EI 3 dx dx d2y M = − EI 2 = 0 dx θ= dy ＝0 dx 自由端 中間ヒンジ 曲げモーメント d2y M = − EI 2 = 0 dx d3y Q= − EI 3 = 0 dx M(左)＝M(右)＝0 Q(左)＝Q(右)(注） θ (左)＝θ(右) M(左)＝M(右) (注） （注）右側の物理量を右→左の座標系で表示した場合，右辺に－（マイナス）が付く． 3-4
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