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演習プリント
第 1 回 非線形方程式の数値解法 (不動点反復法・NR 法)
学籍番号
氏名
提出しなくてはいけない場合は, 学籍番号と氏名をはっきり書くこと. 解読できない場合は無効とする.
また, 複数枚に渡る場合は本用紙を表紙にすること.
√
1. 【反復法一般】 2 の近似値を反復法を用いて求めるため, x2 = 2 の数値解を求めたい. まず
f (x) = x2 − 2 と置くと以下が成り立つ.
f (x) = 0
⇔
x2 = 2
次に関数 gi (x) (i = 1, 2, 3) を考えよう.
1
1
2
+ x − , g3 (x) =
2
x
2
x
いずれに対しても「f (x) = 0 ⇐⇒ gi (x) = x」が成立する. (各自確認せよ.)
g1 (x) = x2 + x − 2,
g2 (x) =
以下の問に従って, x2 = 2 の数値解を求めよ. ただし, 「c が数値解である」の定義は 「|f (c)| <
10−4 」 とする.
(1) g(x) = g1 (x) として反復法を行い, 下の表を埋めよ.
(2) g(x) = g2 (x) として反復法を行い, 下の表を埋めよ.
(3) g(x) = g3 (x) として反復法を行い, 下の表を埋めよ.
(4) (1)-(3) の結果を比較し, 考察せよ. 特に, 収束するものについてはその速度 (1 次収束, 2 次
収束) についても考察せよ.
(1)
(2)
(3)
n
xn
|f (xn )|
n
xn
|f (xn )|
n
xn
|f (xn )|
0
0
0
1
1
1
2
2
2
3
3
3
4
4
4
5
5
5
6
6
6
7
7
7
8
8
8
9
9
9
10
10
10
11
11
11
12
12
12
13
13
13
14
14
14
http://www2.kobe-u.ac.jp/~akagi56/class/ にこれまで配布したプリント, 未解説の演習の解答
などがあります. 確認してください.
√
2. 【NR 法】 2 の近似値を求めるため, x2 = 2 の数値解を求めたい. そこで f (x) = x2 − 2 = 0 の
数値解を求めるために, 以下で定義される関数 g(x) を用いた反復法を計算せよ.
g(x) = x −
f (x)
f 0 (x)
(1) 上の g(x) の式に f (x) = x2 − 2 を代入し, g(x) を x の式として表せ (つまり, f (x) を含ま
ない形で表せ)
(2) 初期値 x0 を一つ選べ
(3) 反復法を実施し, 計算結果を下表に記入せよ. ただし, 数値解の条件は |f (x)| < 10−4 とする
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
xn
|f (xn )|