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神戸大学海事科学部 2014 年度後期 応用数学 4 講義ノート
11 線積分
11.1 スカラー場の線積分
φ = φ(x, y, z) を連続なスカラー場とし，C 1 級の空間曲線 C : r = r(t) = (x(t), y(t), z(t)) (a ≤ t ≤ b)
を考える．いま，区間 [a, b] 曲線の分割 a = t0 < t1 < · · · < tn = b をとり，対応する C の分割点を
Pi = r(ti ) (i = 0, . . . , n) とする．
Pn = r(b)
Pi−1
△si
Pi
P0 = r(a)
上図のように，∆si を i 番目の分割に対応する部分の曲線の長さとする．また △ti = ti − ti−1 とおき，
|△| = max1≤i≤n △ti とする．そして曲線の第 i 番目の部分から任意に点 (xi , yi , zi ) を選んでおき，次の和を
考える．
Sn =
n
∑
φ(xi , yi , zi )△si .
i=1
n → ∞ かつ |△| → 0 としたとき，Sn は分割の仕方に無関係に，一定の値 S に収束する．これを
∫
S=
φds
C
と書き，φ の C 上の線積分という．いま，
∫
△si =
ti
√(
ti−1
)2 (
)2 (
)2
dy
dz
dx
(t) +
(t) +
(t) dt
dt
dt
dt
より，
Sn =
n
∑

φ(xi , yi , zi ) 
i=1
∫
−→
n→∞
|△|→0
従って，
ti
√(
ti−1
√(
b
φ(x(t), y(t), z(t))
a
∫
∫

)2 (
)2 (
)2
dx
dy
dz
(t) +
(t) +
(t) dt △ti
dt
dt
dt
dx
(t)
dt
√(
b
φ(x(t), y(t), z(t))
φds =
C
1
△ti
∫
a
)2
(
+
dy
(t)
dt
上の線積分の定義で，△si の代わりに △xi = xi − xi−1 を用いて
n
∑
(
+
)2
dz
(t) dt.
dt
)2 (
)2 (
)2
dx
dy
dz
(t) +
(t) +
(t) dt
dt
dt
dt
を得る．
Sn =
)2
φ(xi , yi , zi )△xi
i=1
1
∫
として，n → ∞, |△| → 0 の極限を取ったものを
いて
∫
C
∫
b
φ(x, y, z)dx =
C
∫
と書ける．同様にして
C
∫
∫
b
φ(x, y, z)dy =
C
φ(x, y, z)dy,
a
φ(x, y, z)dx と表す．これは C のパラメータ表示を用
φ(x(t), y(t), z(t))
a
∫
C
dx
(t)dt
dt
φ(x, y, z)dz も定義され，
∫
dy
φ(x(t), y(t), z(t)) (t)dt,
dt
∫
b
φ(x, y, z)dz =
C
φ(x(t), y(t), z(t))
a
dz
(t)dt
dt
と表される．
11.2 ベクトル場の線積分
ベクトル場 A = A(x, y, z) に対しても以下のように線積分を定義しよう．A は連続であるとし，先ほど
と同様に C 1 級の曲線 C : r = r(t) = (x(t), y(t), z(t)) (a ≤ t ≤ b) を考える．そして区間 [a, b] 曲線の分割
a = t0 < t1 < · · · < tn = b をとり，対応する C の分割点を Pi = r(ti ) (i = 0, . . . , n) とする．
A(Pi−1 )
Pn = r(b)
Pi−1
Pi
△si
△r i
P0 = r(a)
−−−−→
また上図のように，△r i = Pi−1 P ，∆si を i 番目の分割に対応する部分の曲線の長さとする．また △ti =
ti − ti−1 とおき，|△| = max1≤i≤n △ti とし，次の和を考える．
Sn =
n
∑
A(Pi−1 ) · △r i =
i=1
n
∑
A(Pi−1 ) ·
i=1
△r i
△si .
△si
この和は n → ∞, |△| → 0 としたとき，分割の取り方によらずに一定の値 S に収束する．これを上式の表示
に合わせて
∫
∫
A(x, y, z) · dr =
S=
C
A(x, y, z) · tds
C
と書き，A の C 上の（接線）線積分という．スカラー場の線積分のときと同様に，
Sn =
n
∑
A(Pi−1 ) ·
i=1
△r i
△ti
△ti
と書いてから n → ∞, |△| → 0 の極限を取ることにより，
∫
∫
A(x, y, z) · dr =
C
b
A(x(t), y(t), z(t)) ·
a
と表すことができる．
2
dr
(t)dt
dt
11.3 線積分の性質
ベクトル場の線積分に関する基本的な性質を挙げておく．
命題 11.1. A, B をベクトル場，α ∈ R とする．
∫
(1)
∫
∫C
(2)
∫
(A + B) · dr =
A · dr +
∫ C
αA · dr = α
A · dr.
C
B · dr.
C
C
証明. C は r(t) (a ≤ t ≤ b) によりパラメータ表示されているとすると，
∫
∫
b
(A + B) · dr =
(A(x(t), y(t), z(t)) + B(x(t), y(t), z(t))) ·
C
∫
a
b
dr
=
A(x(t), y(t), z(t)) ·
(t)dt +
dt
∫a
∫
=
A · dr +
B · dr
C
∫
dr
(t)dt
dt
b
B(x(t), y(t), z(t)) ·
a
dr
(t)dt
dt
C
よって (1) が示された．同様に
∫
∫
b
αA · dr =
C
αA(x(t), y(t), z(t)) ·
a
∫
b
A(x(t), y(t), z(t)) ·
=α
∫a
dr
(t)dt
dt
dr
(t)dt
dt
A · dr
=α
C
より (2) も示される．
ベクトル場の線積分は曲線の向きによって積分値の符号が変わるので注意が必要である．C の向きを反対に
した曲線を −C と書く．C = {r(t)|a ≤ t ≤ b} とすると，−C は −C = {r(a + b − t)|a ≤ t ≤ b} とパラメー
タ表示できる．
−C
C
命題 11.2.
∫
∫
−C
A(x, y, z) · dr = −
A(x, y, z) · dr
C
が成立する．
3
証明.
d
dr
(r(a + b − t)) = − (a + b − t) より，
dt
dt
(
)
∫
∫ b
dr
A · dr =
A(x(a + b − t), y(a + b − t), z(a + b − t)) · − (a + b − t) dt
dt
−C
a
∫ a
dr
=
A(x(t), y(t), z(t)) ·
(t)dt
dt
b
∫ b
dr
A(x(t), y(t), z(t)) ·
(t)dt.
=−
dt
a
ここで，１行目から２行目への等式には a + b − t 7→ t という変数変換を用いた．
注意
11.3. 命題 11.1 の性質はスカラー場の線積分に対しても成立するが，命題 11.2 はスカラー場の線積分
∫
φds に対しては成立しない．より正確に言うと，
C
∫
∫
φds =
−C
∫
が成立する．一方
φdx に対しては
∫
C
∫
−C
∫
φds
C
∫
φdx = −
φdx
C
∫
φdx の表示には x′ (t) が現れる（従って変
√
数変換 a+b−t 7→ t とするとこの項から −1 が出てくる）のに対し， C φds の表示には (x′ )2 + (y ′ )2 + (z ′ )2
が現れる（従って変数変換しても −1 が出てこない）という違いによる．
が成立する．
−C
φdy,
−C
φdz に対しても同様である．これは
C∫
２つの曲線 Ci = {r i (t)|ai ≤ t ≤ bi } (i = 1, 2) に対し，C1 と C2 の和を以下のように定義する．まず
{
r 1 (t)
r(t) =
r 2 (t − b1 + a2 )
a1 ≤ t ≤ b1
b1 ≤ t ≤ b1 + (b2 − a2 )
とおき，C1 + C2 = {r(t)|a1 ≤ t ≤ b1 + (b2 − a2 )} と定める．直感的には C1 + C2 は C1 と C2 を繋げた曲
線と考えることができる．
C1
C1 + C2
C2
しかし C1 の終点と C2 の始点が一致している必要はない．このとき次が成立する．
命題 11.4.
∫
∫
∫
A · dr =
C1 +C2
A · dr +
C1
4
A · dr.
C2
証明.
∫
∫
C1 +C2
b1 +(b2 −a2 )
dr
(t)dt
dt
a1
∫ b1
∫ b1 +(b2 −a2 )
dr
dr
=
A(r(t)) ·
(t)dt +
A(r(t)) ·
(t)dt
dt
dt
a1
b1
∫ b1
∫ b1 +(b2 −a2 )
dr 1
d
=
(t)dt +
(r 2 (t − b1 + a2 )) dt
A(r 1 (t)) ·
A(r 2 (t − b1 + a2 )) ·
dt
dt
a1
b1
∫ b1
∫ b2
dr 1
dr 2
=
(t)dt +
(t)dt
A(r 1 (t)) ·
A(r 2 (t)) ·
dt
dt
a2
∫a1
∫
=
A · dr +
A · dr.
A · dr =
C1
A(r(t)) ·
C2
ここで，３行目から４行目への等式では t − b1 + a2 7→ t という変数変換を用いた．
上の命題もスカラー場の線積分に対しても成立する．
5