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埼玉工業大学
テーマ G04：
機械工学学習支援セミナー（小西克享）
合成ばね定数－1/5
合成ばね定数
１．並列ばねの合成ばね定数
ばね定数が kA [N/m]と kB [N/m]のばね A と B を並列につるした場合の合成ばね定数 k
[N/m]を求めます．ただし，ばね A と B の伸びは等しいものとします．
A
kA
B
A
kB
合成
B
kA
kB
k
x
F
F
図において，重りの質量を m [kg]，重力加速度を g [m/s2]とする．A と B のばねの伸びを
x [m]とおくと，フックの法則より
FA  k A x
FB  k B x
よって
FA  FB  k A  kB x
つぎに，合成ばねについて，
F  FA  FB  kx
①
②
が成立するので，①と②を比較すると，合成ばね定数は
k  k A  kB
となります．
２．並列ばねにおける力の作用点の位置
ばね定数が異なるばねで構成される並列ばねにバーの力の作用点の位置によって，ばね
の伸びがことなります．どのような条件のときにのびが等しくなるか求めてみましょう．
(1) バーの重さが無視できる場合
図のように，ばね定数が kA [N/m]と kB [N/m]のばね A と B を並列につるし，下端に重さ
の無視できる長さ l [m]のバーが水平に取り付けられているものとします．
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A
B
kA
機械工学学習支援セミナー（小西克享）
A
kB
O
合成
B
kA
合成ばね定数－2/5
kB
l
xA
k
xB

O lA
FB
FA
F
F
バーの左端から lA の位置に力 F [N] を加えるとき，モーメントのつり合いから
lFA  l  l A F
よって，ばね A に作用する力は，
 l 
FA  1  A  F
l 

また，
lA
F
l
ばね A と B の伸びを xA [m]と xB [m]とすると，フックの法則から
FB 
FA  k A x A
FB  k B xB
よって，
FA  l A  F
 1  
kA 
l  kA
F
l F
xB  B  A
kB l kB
xA 
このとき，バーの傾きは， xB  xA  l のとき
xB  xA 1  l A  F l A F  F  1 l A  1
1 
 1   
      
l
l 
l  k A l k B  l  k A l  k A k B 
F  1 l k k 
   A A B
l  k A l k Ak B 
sin  
より
 F  1 l A k A  kB 
 

 l  k A l k Ak B 
  sin 1 
となります．力 F が作用したとき，バーが水平になる条件は，
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sin  
F
l
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合成ばね定数－3/5
 1 lA k A  kB 
 
0
 k A l k Ak B 
より，
1 lA k A  kB

0
k A l k AkB
lA 
kB
1 k AkB
l
l
k A k A  kB
k A  kB
となり，力の作用点を O から
kB
l の位置にとればよいことがわかります．
k A  kB
(2) バーの重さが無視できない場合
図のように，ばね定数が kA [N/m]と kB [N/m]のばね A と B を並列につるし，下端に質量
m[kg]，長さ l [m]のバーが水平に取り付けられているものとします．
A
B
kA
A
kB
l/2
合成
B
kA
kB
k
l/2
O
l
xA
xB

O lA
F+W?
FB
mg
FA
F mg
バーの重力は
W  mg
です．重心はバーの中央にあります．バーの左端から lA の位置に力 F [N] を加えるとき，
モーメントのつり合いから
l
lFA  l  l A F  W
2
よって，ばね A に作用する力は，
1
 l 
FA  1  A  F  W
l 
2

また，
FB 
lA
1
F W
l
2
ばね A と B ののびを xA [m]と xB [m]とすると，フックの法則から
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機械工学学習支援セミナー（小西克享）
合成ばね定数－4/5
FA  k A x A
FB  k B xB
よって，
xA 
FA 1

kA kA
 l A 
1 
1   F  W 
l 
2 

FB 1  l A
1 
  F  W
kB kB  l
2 
このとき，バーの傾きは， xB  xA  l のとき
xB 
xB  x A 1  1  l A 
1  1
  1   F  W  
l
l  k A 
l 
2  kB
F1 l  1
1  W  1
1 
   A       
l  k A l  k A k B  2l  k A k B 
F  1 l k  k  W kB  k A
   A A B  
l  k A l k Ak B  2l k Ak B
sin  
1 
lA
 F  W 
2 
l
より
 F  1 l A k A  kB  W kB  k A 
 


l
k
l
k
k
A
A
B

 2l k AkB 

  sin 1  
となります．力 F が作用したとき，バーが水平になる条件は，
sin  
F  1 l A k A  kB  W kB  k A
 

0
l  k A l k Ak B  2l k AkB
より，
 1 l k  k  W kB  k A
F   A A B  
0
 k A l k Ak B  2 k Ak B
lA k A  kB 1 W kB  k A


l k Ak B
k A 2 F k Ak B
lA 
k Ak B  1 W k B  k A 
l
 
l 
k A  k B  k A 2 F k Ak B  k A  k B
W

kB  k A 
k B 
2F


となり，力の作用点は加える力 F の大きさによって変化し，場所を一定にはできないこと
がわかります．2 つのばね定数が等しい場合は，力の作用点はバーの中央になり，2 つのば
ねの伸びは等しくなります．
３．直列の合成ばね定数
ばね定数が kA [N/m]と kB [N/m]のばねを直列につるした場合の合成ばね定数 k [N/m]を求
めます．
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機械工学学習支援セミナー（小西克享）
合成
kA
kA
A
A
合成
k
k
xA
kB
B
B
合成ばね定数－5/5
x
kB
B
xB
F
F
図において，重りの質量を m [kg]，重力加速度を g [m/s2]とする．A と B のばねに加わる
力は，共に F [N]となる．よって，A と B のばねの伸びを xA，xB [m]とすると，フックの法
則より
F  mg  k A xA
F  mg  k B xB
よって
xA 
mg
mg
, xB 
kA
kB
ばね全体ののびは
x  xA  xB 
 1
mg mg
1
k k

 mg    mg A B
kA
kB
k Ak B
 k A kB 
となる．合成ばねについて，
F  mg  kx
③
④
が成立するから，④に③を代入すると，合成ばね定数 k [N/m]は
k k
k k
mg  kmg A B  k  A B
k Ak B
k A  kB
となります．
http://www.sit.ac.jp/user/konishi/JPN/Tech_inform/Pdf/CombinedSpringConstant.pdf
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