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赤阪 正 純 (htt“ グ nupH web.fc2 com)
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微分法は,関 数 υ=/(2)上 の点 A(α ,/(α ))に おける接線の方程式を求めることから始ま
ま
り
するま昨t7J
しかしながら曲線上にただ 1点 のみで接する直線を引くことなど現実問題として不可能なので 我 々 極
`よ
限の考えを用いて接線の傾きを定義するのでした
,
一ｈ
A,Bを
中
まず,関 数 υ=/(″ )上 に 2点
直線 AB
イ慣 竜11
とり
,
A(α ,/(α )),B(α 十力,ノ (α +力 ))と します
2点
A,Bを 通る直線を考えます
直線 ABの 傾
ll;鎌
きは
A!ミ あ
,
…①
です (こ の直線 ABの 傾きを 2点
…い ます )
率 とも 言
ここで ,点
直線
Bを 点 Aに 限 りな く近 づ けて い くと
,
ABは 点 Aに お ける接 線 に限 りな く近 づ いて
い きます
k
α十 カ
.
力 とは点
点
AB間 の平均変化
Aと 点 Bの
″座標 の 差 (間 隔 )な ので
Bが 点 Aに 限 りな く近 づ くとい うこ とは ,力
が
限 りな く 0に 近 づ くとい う こ とです .し たが って
A(α ,/(α ))に
きの式① で,力
↓ Bを Aに 近づけていく
,
υ
直74PA3
,
ぽ
おける接線の傾きは,先 ほどの傾
を0に 近づければよく
,
rl繰
Aに おけ〕
胸中
とい うように極限の形で表現 され ます
接線 を直接 に求めるのは不可能 なので,接 線 に近
存線
づ ける とい う方法をとるのです
1・
「く7■ 1を ,、 か
この極限値を υ=/(″ )上 の点 A(α ,/(α ))に
おける微分係数とよび,/′ (α )で 表します (ま たは
α+カ
問 陽 (1ル ヽど砒・ん,障 くな3
単に″=α における微分係数といいます)
a∼
tく (微 分係数 の定義
バ α十力)一 /(α )
ん
υ=/(″ )の ″=α における微分係数 /(α )
微分係数/′ (α )と は,曲 線υ=ノ (″ )上 の点A(α ,/(α ))に おける接線の傾きを意味している
―→「定義 に従 って微分係数 を求めよ」 と言われたら,こ の 定義 に従 って極限値 の計 算を します
「υ=/(″ )の ″=α における接線のltIき を求めよJ
「υ=ノ (″ )の ″=α における微分係数を求めよ」
「ノ′
」
(α )を 求めよ
とい う言 い 回 しは , どれ も同 じ意味 で す
ヽ ︱ 、 ｆ ｉ ｌ プ
´注
.
習静か御
クス7・ 3ら ,tみ ,た ゃ3?
ri.web fc2 com)
y=/(″ )の
′
い
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関
ま
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か
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υ
洗
Pointく (導 関数 の定義・微分 の定義
7F′
(″ )を
求めることを微分するという
.
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萩姜`=う と ぅす3」 ●孝普う
え嗜ほ しちがうんな可が―
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スの=胸 玉壁与三Ω
υ=/(■ )の 導関数
関数 /(″ )か ら導関数
,
/(″ )と
/′
ヽ
数
， 関
そ
さて,微分係数 ′(α )は αの値によって定まるので,α についての関数とみなすことができます
∠豊」ゴ 二」皇2と したものを
で,定数 αを関数としての変数 ″でおきかえて,ノ ′
(π )=)嶋
劣
―→「定義 に従 って微分せ よJと 言われた ら,こ の導関数 の定義 に従 って極限値の計算 をします
.
挙
とて も重 要 な注意
☆
たものが,微 分係数 ′(α )す なわち曲線 y=/(″ )上 の
逆に言うと,導 関数 ノ′
(″ )に ″=α を代入し
よく
点A(α ,/(α ))に おける接線の傾きです よく「υ=/(■ )の 接線の傾きが/′ (″ )で ある」という人がい
P.Tス 〕 ますが,こ れは鳳雙いです 導関数 /′ (″ )に ″=α を代入して初めて点A(α ,/(α ))に おける接線の傾
´2‐
き ′(α )に なるのです /′ (α )は 傾きではありません 微分係数/′ (α )と 導関数/′ (″ )を しっかりと区別
エ
ラ
た
Jt,
し
ご滲ノみよく諄乙∼
しよ う
y=/(″ )=″ 2+3″ を定義に従って微
例】
【
【
例】 υ=/(″ )=″ 2+3″ のとき,定 義に
従って微分係数 /′ (1)を 求めよ
分せ よ
ｍ
ｍ
ｍ
向 ｉ 同
ｉ 痢 ｉ
︲
︲
︲
一
一 ︷
一
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″
／
/(″
+ん )― /(″ ) (´
薇うχ穴iに
'
カ
(″
十 力)2+3(″ 十 力)―
カ
″2+2″ 力 +力 2+3″
/′
(1)=胸
(22+3″ )
←′
晟み教
彙
・メ
/(1+力 )一 /(1)
=胸
=脇
+3/1-″ 2_3″
ウ0う
えなあ3
'■
0.メ リ hlrOセ イ ヘ
先 ほどの ように 「定義 に従 って ¨ 」 と指示 された ら,極 限値計算 をせねばな りませ んが,一 般的 には,次
の公式,ル ール に従 って計算するのが普通 です
書 いて あ るので各 自で見 て おいて くだ さい
― >PoinK(微 分 の公式)
(″
=3″ 2,(″
3)′
(″ )′
=1,
(ο
2)′
)′
なぜ ,こ のよ うな公式 ,ル ール が成立するのかは教科書 に
´
―
ん
は
ク い灘
,見
Pointく (微 分計算 のルール
① 項別にそれぞれ微分する
② 係数は残る
③ 展開してから微分する
=2″
=0(ο
は定数 )
一般的に,Cr)′ =π ″ηlが 成立します
先ほどの 【
例】を公式を用いて計算 してみると
【
例】 υ=/(″ )=″ 2+3″ を微分せよ - 0微
分の公式より,′ (″ )=2″
【
例】 υ=ノ (″ )=″ 2+3″ のとき,微 分係数 ′(1)を 求めよ
- 0/′
-こ
(″
マィrぅ と
t7J(7も
ιで多巧
+3
)=2″ +3よ り,/′ (1)=2・
L,■ キ
カンタン
1+3=5
のように, とても簡単に計算することができるので,こ れからは公式を使 って微分 していこう
.
斃￢