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2014 年度 高１数学 α 演習１（一般角と弧度法）
1
次の角を弧度法に直せ．
(1) 30◦
2
(3) 15◦
5π
(2) 12
(3) 74 π
(2) π
4
(3) π
6
(6) 3π
(7) −330◦
(8) 135◦
(11) − 74 π
(12) −120◦
(13) 90◦
(4) −π
(5) − 32 π
(9) 10
3π
(14) − 54 π
(10) −300◦
次の扇形の弧の長さ ℓ と面積 S をそれぞれ求めよ．
(1) 半径 4，中心角 π
3
5
(4) − 23 π
次の角を，同じ動径を表すもの同士で分類せよ．
(1) π
3
4
(4) −270◦
次の角を度数法に直せ．
(1) π
4
3
(2) 135◦
(2) 半径 5，中心角 150◦
θ の動径は第何象限にあるか．
角 θ の動径が第 2 象限にあるとき， 3
(15) 94 π
6
半径がそれぞれ 6 と 1 で，中心間の距離が 10 の 2 つの円がある．この円の外側に 1 本
の紐を一回りかけるとき，その長さを求めよ．
( √ )
座標平面上の 2 点 P 1， 3 と Q(1，0) を結ぶ線分 PQ がある．線分 PQ を原点 O を中
心にして反時計回りに π
3 だけ回転させるとき，線分 PQ が通過してできる図形の周の長さ
L と面積 S を求めよ．
y
7
√
3
P
Q
O
1
x
解答
1
(1) π
6
(2) 3π
4
π
(3) 12
(4) − 3π
2
2
(1) 45◦
(2) 75◦
(3) 315◦
(4) −120◦
3
(1) と (10)
(2) と (11) と (15)
(8) と (14)
(9) と (12)
(3) と (7)
(4) と (6)
(5) と (13)
4
(1)
ℓ
=
=
(2)
ℓ
=
=
5
4· π
3
4π
3
S
5 · 5π
6
25π
6
S
=
=
=
=
1 · 4 · 4π
2
3
8π
3
1
25π
2 ·5· 6
125π
12
π + 2nπ < θ < π + 2nπ (n ∈ Z) なので，
2
π 2n
θ
π 2n
+
π< < +
π
6
3
3
3
3
π
3
y
θ
3 の動径が存在し得る領域は右図の斜線
θ の動径は k ∈ Z と
部分．したがって， 3
π
2
して



 n = 3k のとき第 1 象限



n = 3k + 1 のとき第 2 象限
n = 3k + 2 のとき第 4 象限
にある．
π
2
O
π
2
π
6
x
6
下の図から，紐が真っ直ぐに張られる部分の長さは，2 ·
√
√
102 − 52 = 10 3．したがって，
全体の紐の長さは
√
√
2π
4π
26π
10 3 + 1 ·
+6·
= 10 3 +
3
3
3
1
5
10
2π
3
4π
3
7
y
線分 PQ が通過してできる図形は右図の斜
P′
P
線部分である．2 点 P，Q が回転移動した
後の点をそれぞれ P′ ，Q′ とすると，
⌢
⌢
L = PQ + PP′ + P′ Q′ + Q′ Q
√
π √
π
=
3+2· + 3+1·
3
3
√
= 2 3+π
π
3
Q′
π
3
O
Q
1
S = △OPQ + (扇形 OPP′ ) − △OP′ Q′ − (扇形 OQQ′ )
= (扇形 OPP′ ) − (扇形 OQQ′ )
1 2 π 1 2 π
=
·2 · − ·1 ·
2
3 2
3
π
=
2
(∵ △OPQ ≡ △OP′ Q′ )
x