4回目の解答と解説(32ページ)

8月号
1学期の
重要ポイント総復習
数学講習
4回目の解答と解説(32 ページ)
(赤字は答案として書いてほしい部分を示しています。)
となる線分を
の二等分線
るときは,垂直二等分線を
図する。
垂直二等分線
求める点や線分が,
・ 2 辺から等しい距離にある点を求めるとき
どういう条件を満
B
考えよう!
A
英語
・ 2 点から等しい距離にある点や平面図形を折ったときの折
り目となる線分を求めるとき⇒垂直二等分線を作図する。
A
A
B
B
点 A が点 B に
なるように る。
り となる線分は,
線分 AB の垂直二等分線。
(例)
重なるように折り返したのだから,
M
A
BF=MF,BG=MG
D
F
G
等分線上にある。
※線分 BM はひかなくても
よい。
B
G
[1]
2 点 B,M を結び,線分 BM の垂直
[2]
線分 BM の垂直二等分線と辺 AB と
C
M
A
二等分線を作図する。(線分 BM はひ
かなくてもよい。)
D
F
2 点 B,M から等しい距離にある点 F,G
C
M
A
は 2 点 B,M を結んだ線分 BM の垂直二
B
数学
たせばよいのかを
⇒角の二等分線を作図する。
O
国語
り
D
F
B
G
C
の交点を F,辺 BC との交点を G とし
て,線分 FG をひく。
∠ACB=135
おう
形の
から,辺 AC は 180 -135 =45 より,45
の長さと
の
中心角 a °
のおうぎ形の弧の長
半径 r,中心角 a°
のおうぎ形の弧の長さを l,
a 倍,おうぎ形の
360
a 倍だった
面積は円の面積の
360
さは円周の
面積を S とすると,
l=2r r# a
360
S=r r2# a ,S= 1 lr
360
2
する。
l
a°
360°
O
S
ね。
r
数学 (11)
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8月号
1学期の
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数学講習
4回目の解答と解説(32 ページ)
ABC を右の図のように転がすとき,
A
A
辺 AC は点 C を中心として,
国語
B
m
135°C
180°-135°=45°より 45°回転する。
8 cm
B
よって,頂点 A が動いてできる線は,
長さ 2r cm
135°C 45°
(A )
m
点 C を中心とする半径 AC の円を,点 A から直線 m につくまで
2
8r cm
数学
作図すればよい。
頂点 A が回転して直線 m に重なった点を A′
とすると,求める長さ
は,おうぎ形 CAA′
の弧 AA′
で,求める面積は,おうぎ形 CAA′
英語
の面積になる。おうぎ形 CAA′
は半径 8 cm,中心角 45°
であるから,
`
45
=2r (cm)
360
45
の面積 r#82#
=8r (cm2)
・おうぎ形 CAA′
360
・ AA の長さ 2r#8#
おう
形 CAA′
の
S= 1 lr を利用する。
2
1 #2r#8=8r (cm2)
2
l
S
r
る円の中心を Q とすると,QP は OY の垂線であり,かつ OQ は∠XOY の二
等分線である。
(例)
辺 OY は点 P における求める円の接線になるから,求める円の中
X
心は,点 P を通る OY の垂線上にある。
また,求める円は OY にも OX にも接するから,求める円の中心は,
辺 OX,辺 OY から等しい距離にある。
すなわち,∠XOY の二等分線上にある。
O
P
Y
2 辺 OX,OY から
等距離にある
↓
X
[1]点 P を通る OY の垂線を作図する。
O
P
Y
X
[2]∠XOY の二等分線を作図する。
∠XOY の二等分線
を作図,だね。
O
[3] 点 P を通る OY の垂 線と ∠XOY
P
Y
X
の二等分線の交点を Q とする。点 Q
を中心として,QP を半径とする円
をかく。
Q
O
P
Y
(12) 数学
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4
国語
′
点 P と,辺 OX について対称な点 P′
,辺 OY について対称な点 P′
をとる。
′
なので,この長さがもっとも短くなるのは,ど
PA+AB+BP=P′
A+AB+BP′
のようなときかを考える。
右の図のように,点 P と辺 OX について対称な
X
P
′
点 P′
,辺 OY について対称な点 P′
をとる。
X
P
′
PA=P′
A,PB=P′
B
P
A
′
となる。
PA+AB+BP=P′
A+AB+BP′
O
′
の長さがもっとも短くなるの
P′
A+AB+BP′
B
Y
B
O
Y
英語
であるから,
A
数学
(例)
′
は,4 点 P′
,A,B,P′
が一直線上に並ぶとき。
′
すなわち,線分 P′
をひいて,OX,OY との
P′
交点をそれぞれ A,B とすればよい。
P
②
点 P と辺 OX について対称な
[1]
点 P′
を作図する。
・点 P を通る OX の垂線を作図
する。
(①∼③)
辺 OX について
点 P と対称な点 P
・垂線③上に辺 OX から点 P と
等距離にある点 P′
をとる。
(④)
O
P
る。
(⑤∼⑧)
①
⑦
P
③
A
⑤
B
Y
⑨
[2]
[1]
と同様にして,点 P と辺 OY
′
について対称な点 P ′
を作図す
X
④
⑥
辺 OY について
点 P と対称な点 P
⑧
′
[3]
線分 P′
をひいて(⑨),
P′
P
辺 OX,OY との交点をそれぞれ
A,B とする。
「もっとも短い長さ」
とあったら,一直線に
することを考えよう。
点の「軌跡」
A
ある条件を満たす点全体がつくる図形を,この条件を満たす点の「軌跡」
という。
たとえば,∠AOB の 2 辺から等距離にある点の軌跡は∠AOB の二等分線,
2 点 A,B から等距離にある点の軌跡は線分 AB の垂直二等分線,となるよ。
では,点 C から等しい距離 r にある点の軌跡は?
そう,点 C を中心とする半径 r の円になる。
O
B
A
B
軌跡については今後の学習でより詳しく考えていくことになる。今学習し
ていることもそこで役立つから,しっかり身につけておこう。
r
C
数学 (13)
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